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2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理及答案解析.docx

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理及答案解析.docx

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 .1.设 i是虚数单位，表示 z 的共轭复数 .若 z=1+i，则 +i =( )A. -2B. -2iC. 2D. 2i 解析： z=1+i，， +i = = .答案： C.2.“ x 0” 是 ln(x+1) 0 的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不

2、充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析： x 0， x+1 1，当 x+1 0 时， ln(x+1) 0； ln(x+1) 0， 0 x+1 1， -1 x 0， x 0， “ x 0” 是 ln(x+1) 0 的必要不充分条件 .答案： B.3.如图所示，程序框图 (算法流程图 )的输出结果是 ( ) A. 34B. 55C. 78D. 89 解析：第一次循环得 z=2， x=1， y=2；第二次循环得 z=3， x=2， y=3；第三次循环得

3、 z=5， x=3， y=5；第四次循环得 z=8， x=5， y=8；第五次循环得 z=13， x=8， y=13；第六次循环得 z=21， x=13， y=21；第七次循环得 z=34， x=21， y=34；第八次循环得 z=55， x=34， y=55；退出循环，输出 55，答案： B4.以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位 .已知直线 l 的参数方程是 (t为

4、参数 )，圆 C的极坐标方程是 =4cos ，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ( )A.B. 2C.D. 2解析：直线 l 的参数方程是 (t 为参数 )，化为普通方程为 x-y-4=0；圆 C 的极坐标方程是 =4cos ，即 2=4 cos ，化为直角坐标方程为 x2+y2=4x，即 (x-2)2+y2=4，表示以 (2， 0)为圆心、半径 r 等于 2 的圆 .弦心距 d= = r，弦长为 2 =2 =2 ，答案： D.5. x、 y 满足约

5、束条件，若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为 ( )A. 或 -1 B. 2或C. 2或 1D. 2或 -1解析：作出不等式组对应的平面区域如图： (阴影部分 ABC).由 z=y-ax 得 y=ax+z，即直线的截距最大， z 也最大 .若 a=0，此时 y=z，此时，目标函数只在 A 处取得最大值，不满足条件，若 a 0，目标函数 y=ax+z的斜率 k=a 0，要使 z=y-ax 取得最大值

6、的最优解不唯一，则直线 y=ax+z 与直线 2x-y+2=0平行，此时 a=2，若 a 0，目标函数 y=ax+z的斜率 k=a 0，要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一，则直线 y=ax+z 与直线 x+y-2=0，平行，此时 a=-1，综上 a=-1 或 a=2，答案： D 6.设函数 f(x)(x R)满足 f(x+ )=f(x)+sinx.当 0 x 时， f(x)=0，则 f( )=( )A.B.C. 0D. -解析：函数 f(x)(x R)满足 f(x+

7、)=f(x)+sinx.当 0 x 时， f(x)=0， f( )=f( )=f( )+sin =f( )+sin +sin=f( )+sin +sin +sin=sin +sin +sin= .答案： A. 7.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 ( ) A. 21+B. 18+C. 21D. 18解析：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为 2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为 1，几何体的表面积为： S 正方体 -2S

8、棱锥侧 +2S 棱锥底= =21+ .答案： A. 8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 .其中所成的角为 60 的共有 ( )A. 24对B. 30对C. 48对D. 60对解析：正方体的面对角线共有 12 条，两条为一对，共有 =66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有 6 对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有： 3 6=1

9、8.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 .其中所成的角为 60 的共有： 66-18=48.答案： C.9.若函数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为 3，则实数 a 的值为 ( ) A. 5或 8B. -1或 5C. -1或 -4D. -4或 8解析： -1 时， x - ， f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1 -1；- x -1， f(x)=-x-1+2x+a=x+a-1 -1；x -1， f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1 a-2， -1=3或 a-2=3， a=8或

10、a=5， a=5时， -1 a-2，故舍去； -1时， x -1， f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1 2-a；-1 x - ， f(x)=x+1-2x-a=-x-a+1 - +1；x - ， f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1 - +1， 2-a=3 或 - +1=3， a=-1或 a=-4，a=-1时， - +1 2-a，故舍去；综上， a=-4或 8.答案： D.10.在平面直角坐标系 xOy中 .已知向量、， | |=| |=1， =0，点 Q满足 = ( + )，曲线 C=P| = cos + sin ，

11、0 2 ，区域 =P|(0 r | | R， r R.若 C 为两段分离的曲线，则 ( )A. 1 r R 3B. 1 r 3 RC. r 1 R 3D. 1 r 3 R 解析：平面直角坐标系 xOy中 .已知向量、， | |=| |=1， =0，不妨令 =(1， 0)， =(0， 1)，则 = ( + )=( ， )， = cos + sin =(cos ， sin )，故 P 点的轨迹为单位圆， =P|(0 r | | R， r R表示的平面区域为：以 Q 点为圆心，内径为 r，外径

12、为 R 的圆环，若 C 为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故 |OQ|-1 r R |OQ|+1， |OQ|=2，故 1 r R 3，答案： A二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分 .11.若将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移个单位，所得图象关于 y 轴对称，则的最小正值是 .解析：将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移个单位，所得图象对应的

13、函数解析式为 y=sin2(x- )+ =sin(2x+ -2 )关于 y 轴对称，则 -2 =k + ， k z，即 =- - ，故的最小正值为，答案： .12.数列 a n是等差数列，若 a1+1， a3+3， a5+5 构成公比为 q 的等比数列，则 q= .解析：设等差数列 an的公差为 d，由 a1+1， a3+3， a5+5构成等比数列，得：，整理得：，即 +5a 1+a1+4d.化简得： (d+1)2=0，即 d=-1. q= = .答案： 1.13.

14、设 a 0， n是大于 1的自然数， (1+ ) n的展开式为 a0+a1x+a2x2+ +anxn.若点 Ai(i， ai)(i=0，1， 2)的位置如图所示，则 a= . 解析： (1+ )n的展开式的通项为，由图知， a0=1， a1=3， a2=4，，，， a2-3a=0，解得 a=3，答案： 3.14.设 F 1， F2分别是椭圆 E： x2+ =1(0 b 1)的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E 于 A、B两点，若 |AF1|=3|F1B|， AF2 x 轴

15、，则椭圆 E 的方程为 .解析：由题意， AF2 x 轴， |AF2|=b2， |AF1|=3|F1B|， B(- c， - b2)，代入椭圆方程可得， 1=b 2+c2， b2= ， c2= ， x2+ =1.答案： x2+ =1.15.已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，均由 2 个和 3 个排列而成，记 S= + + + + ，S min表示 S所有可能取值中的最小值 .则下列命题正确的是 (写出所有正确命题

17、，与 | |有关，故错误；若 | | 4| |，则 Smin=S3=4| | | |cos + -4| | | |+ - + =0，故正确；若 | |=2| |， Smin=S3=8| |2cos +4 =8 ， 2cos =1， = ，即与的夹角为 .综上所述，命题正确的是，答案： . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75分 .16.(12分 )设 ABC 的内角为 A、 B、 C 所对边的长分别是 a、 b、 c，且 b=3， c=1， A=2B.( )求 a 的值；( )求

18、 sin(A+ )的值 .解析： ( )利用正弦定理，可得 a=6cosB，再利用余弦定理，即可求 a的值；( )求出 sinA， cosA，即可求 sin(A+ )的值 .答案： ( ) A=2B，， b=3， a=6cosB， a=6 ， a=2 ； ( ) a=6cosB， cosB= ， sinB= ， sinA=sin2B= ， cosA=cos2B=2cos2B-1=- ， sin(A+ )= (sinA+cosA)= .17.(12分 )甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直

19、接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛 .假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立 .( )求甲在 4 局以内 (含 4 局 )赢得比赛的概率；( )记 X 为比赛决胜出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值 (数学期望 ).解析： (1)根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论 .(2)利用离散型随机

20、变量分别求出对应的概率，即可求 X 的分布列；以及均值 . 答案：用 A 表示甲在 4 局以内 (含 4局 )赢得比赛的是事件， Ak表示第 k 局甲获胜， Bk表示第k局乙获胜，则 P(Ak)= ， P(Bk)= ， k=1， 2， 3， 4， 5( )P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A2+P(A1B2A3A4)=( )2+ ( )2+ ( )2= .( )X的可能取值为 2， 3， 4， 5.P(X=2)=P(A 1A2)+P(B1B2)= ，P(X=3)=P(B1A2A

21、3)+P(A1B2B3)= ，P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)= ，P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= ，故分布列为： E(X)=2 +3 +4 +5 = .18.(12分 )设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3，其中 a 0.( )讨论 f(x)在其定义域上的单调性；( )当 x 0， 1时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x的值 .解析： ( )利用导数判断函数的单调性即可；( )利用 ( )的结论，讨论两根

22、与 1 的大小关系，判断函数在 0， 1时的单调性，得出取最值时的 x 的取值 .答案： ( )f(x)的定义域为 (- ， + )， f (x)=1+a-2x-3x 2，由 f (x)=0，得 x1= ， x2= ， x1 x2，由 f (x) 0得 x ， x ；由 f (x) 0 得 x ；故 f(x)在 (- ， )和 ( ， + )单调递减，在 ( ， )上单调递增；( ) a 0， x 1 0， x2 0，(i)当 a 4时， x2 1，由 ( )知， f(x)在 0， 1上单调递增，

23、f(x)在 x=0和 x=1处分别取得最小值和最大值 .(ii)当 0 a 4时， x2 1，由 ( )知， f(x)在 0， x2单调 dz，在 x2， 1上单调递减，因此 f(x)在 x=x2= 处取得最大值，又 f(0)=1， f(1)=a，当 0 a 1 时， f(x)在 x=1处取得最小值；当 a=1时， f(x)在 x=0和 x=1处取得最小值；当 1 a 4 时， f(x)在 x=0 处取得最小值 .19.(13分 )如图，已知两条抛物线 E 1： y2=2p1x(

24、p1 0)和 E2： y2=2p2x(p2 0)，过原点 O的两条直线 l1和 l2， l1与 E1， E2分别交于 A1、 A2两点， l2与 E1、 E2分别交于 B1、 B2两点 . ( )证明： A1B1 A2B2；( )过 O 作直线 l(异于 l1， l2)与 E1、 E2分别交于 C1、 C2两点 .记 A1B1C1与 A2B2C2的面积分别为 S1与 S2，求的值 .解析： ( )由题意设出直线 l1和 l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到

25、的坐标，然后由向量共线得答案；( )结合 ( )可知 A 1B1C1与 A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案 .答案： ( )由题意可知， l1和 l2的斜率存在且不为 0，设 l1： y=k1x， l2： y=k2x. 联立，解得 .联立，解得 .联立，解得 .联立，解得 . ， .， A1B1 A2B2；( )由 ( )知 A 1B1 A2B2，同 ( )可证 B1C1

26、B2C2， A1C1 A2C2. A1B1C1 A2B2C2，因此，又， .故 . 20.(13分 )如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， A1A 底面 ABCD，四边形 ABCD为梯形， AD BC，且 AD=2BC，过 A1、 C、 D 三点的平面记为， BB1与的交点为 Q. ( )证明： Q 为 BB1的中点；( )求此四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积之比；( )若 AA1=4， CD=2，梯形 ABCD的面积为 6，求平面与底面 ABCD所

27、成二面角的大小 .解析： ( )证明平面 QBC 平面 A1D1DA，可得 QBC A1AD，即可证明 Q 为 BB1的中点；( )设 BC=a，则 AD=2a，则 = = ， VQ-ABCD= = ahd，利用 V 棱柱 = ahd，即可求出此四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积之比；( ) ADC中，作 AE DC，垂足为 E，连接 A1E，则 DE 平面 AEA1， DE A1E，可得 AEA1为平面与底面 ABCD所成二面角，求出 S ADC

28、=4， AE=4，可得 tan AEA1= =1，即可求平面与底面 ABCD所成二面角的大小 .答案： ( ) 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，四边形 ABCD为梯形， AD BC，平面 QBC 平面 A 1D1DA，平面 A1CD与面 QBC、平面 A1D1DA的交线平行， QC A1D QBC A1AD， = ， Q为 BB1的中点；( )连接 QA， QD，设 AA1=h，梯形 ABCD 的高为 d，四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积为 V1，

29、V2，设 BC=a，则 AD=2a， = = ， VQ-ABCD= = ahd， V1= ， V 棱柱 = ahd， V2= ahd，四棱柱被平面所分成上、下两部分的体积之比；( )在 ADC中，作 AE DC，垂足为 E，连接 A1E，则 DE 平面 AEA1， DE A1E， AEA 1为平面与底面 ABCD所成二面角， BC AD， AD=2BC， S ADC=2S ABC，梯形 ABCD的面积为 6， DC=2， S ADC=4， AE=4， tan AEA1= =1， AEA1= ，平

30、面与底面 ABCD所成二面角的大小为 .21.(13分 )设实数 c 0，整数 p 1， n N *.( )证明：当 x -1且 x 0 时， (1+x)p 1+px；( )数列 an满足 a1 ， an+1= an+ an1-p.证明： an an+1 .解析：第 ( )问中，可构造函数 f(x)=(1+x)p-(1+px)，求导数后利用函数的单调性求解；对第 ( )问，从 a n+1 着手，由 an+1= an+ an1-p，将求证式进行等价转化后即可解

31、决，用相同的方式将 an an+1进行转换，设法利用已证结论证明 .答案： ( )令 f(x)=(1+x)p-(1+px)，则 f (x)=p(1+x)p-1-p=p(1+x)p-1-1. 当 -1 x 0 时， 0 1+x 1，由 p 1知 p-1 0， (1+x)p-1 (1+x)0=1， (1+x)p-1-1 0，即 f (x) 0， f(x)在 (-1， 0上为减函数， f(x) f(0)=(1+0) p-(1+p 0)=0，即 (1+x)p-(1+px) 0， (1+x)p 1+px. 当 x 0 时，有 1+x

32、1，得 (1+x)p-1 (1+x)0=1， f (x) 0， f(x)在 0， + )上为增函数， f(x) f(0)=0， (1+x)p 1+px.综合、知，当 x -1且 x 0 时，都有 (1+x) p 1+px，得证 .( )先证 an+1 . an+1= an+ an1-p，只需证 an+ an1-p ，将写成 p-1个相加，上式左边= ，当且仅当，即时，上式取 “ =” 号，当 n=1时，由题设知，上式 “ =” 号不成立， a n+ an1-p ，即 an+1 .再证 an an+1.只需证 an an+ an1-p，化简、整理得 anp c，只需证 an c .由前知 a n+1 成立，即从数列 an的第 2 项开始成立，又 n=1时，由题设知成立，对 n N*成立， an an+1.综上知， a n an+1 ，原不等式得证 .

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