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    2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学理及答案解析.docx

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    2014年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学理及答案解析.docx

    1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 安 徽 卷 ) 数 学 理一 、 选 择 题 : 本 大 题 共 10小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有一 个 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 i是 虚 数 单 位 , 表 示 z 的 共 轭 复 数 .若 z=1+i, 则 +i =( )A. -2B. -2iC. 2D. 2i 解 析 : z=1+i, , +i = = .答 案 : C.2.“ x 0” 是 ln(x+1) 0 的 ( )A. 充 分 不 必 要 条 件B. 必 要 不

    2、 充 分 条 件C. 充 分 必 要 条 件D. 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 : x 0, x+1 1, 当 x+1 0 时 , ln(x+1) 0; ln(x+1) 0, 0 x+1 1, -1 x 0, x 0, “ x 0” 是 ln(x+1) 0 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 : B.3.如 图 所 示 , 程 序 框 图 (算 法 流 程 图 )的 输 出 结 果 是 ( ) A. 34B. 55C. 78D. 89 解 析 : 第 一 次 循 环 得 z=2, x=1, y=2;第 二 次 循 环 得 z=3, x=2, y=3;第 三 次 循 环 得

    3、 z=5, x=3, y=5;第 四 次 循 环 得 z=8, x=5, y=8;第 五 次 循 环 得 z=13, x=8, y=13;第 六 次 循 环 得 z=21, x=13, y=21;第 七 次 循 环 得 z=34, x=21, y=34;第 八 次 循 环 得 z=55, x=34, y=55; 退 出 循 环 , 输 出 55,答 案 : B4.以 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 , 建 立 极 坐 标 系 , 两 种 坐 标 系 中 取相 同 的 长 度 单 位 .已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 是 (t为

    4、 参 数 ), 圆 C的 极 坐 标 方 程 是 =4cos , 则 直 线 l 被 圆 C 截 得 的 弦 长 为 ( )A.B. 2C.D. 2解 析 : 直 线 l 的 参 数 方 程 是 (t 为 参 数 ), 化 为 普 通 方 程 为 x-y-4=0;圆 C 的 极 坐 标 方 程 是 =4cos , 即 2=4 cos , 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 x2+y2=4x,即 (x-2)2+y2=4, 表 示 以 (2, 0)为 圆 心 、 半 径 r 等 于 2 的 圆 .弦 心 距 d= = r, 弦 长 为 2 =2 =2 ,答 案 : D.5. x、 y 满 足 约

    5、束 条 件 , 若 z=y-ax 取 得 最 大 值 的 最 优 解 不 唯 一 , 则 实 数 a的 值 为 ( )A. 或 -1 B. 2或C. 2或 1D. 2或 -1解 析 : 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 : (阴 影 部 分 ABC).由 z=y-ax 得 y=ax+z, 即 直 线 的 截 距 最 大 , z 也 最 大 .若 a=0, 此 时 y=z, 此 时 , 目 标 函 数 只 在 A 处 取 得 最 大 值 , 不 满 足 条 件 ,若 a 0, 目 标 函 数 y=ax+z的 斜 率 k=a 0, 要 使 z=y-ax 取 得 最 大 值

    6、 的 最 优 解 不 唯 一 ,则 直 线 y=ax+z 与 直 线 2x-y+2=0平 行 , 此 时 a=2, 若 a 0, 目 标 函 数 y=ax+z的 斜 率 k=a 0, 要 使 z=y-ax 取 得 最 大 值 的 最 优 解 不 唯 一 ,则 直 线 y=ax+z 与 直 线 x+y-2=0, 平 行 , 此 时 a=-1,综 上 a=-1 或 a=2,答 案 : D 6.设 函 数 f(x)(x R)满 足 f(x+ )=f(x)+sinx.当 0 x 时 , f(x)=0, 则 f( )=( )A.B.C. 0D. -解 析 : 函 数 f(x)(x R)满 足 f(x+

    7、)=f(x)+sinx.当 0 x 时 , f(x)=0, f( )=f( )=f( )+sin =f( )+sin +sin=f( )+sin +sin +sin=sin +sin +sin= .答 案 : A. 7.一 个 多 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 多 面 体 的 表 面 积 为 ( ) A. 21+B. 18+C. 21D. 18解 析 : 由 三 视 图 可 知 , 几 何 体 是 正 方 体 的 棱 长 为 2, 截 去 两 个 正 三 棱 锥 , 侧 棱 互 相 垂 直 , 侧棱 长 为 1,几 何 体 的 表 面 积 为 : S 正 方 体 -2S

    8、棱 锥 侧 +2S 棱 锥 底= =21+ .答 案 : A. 8.从 正 方 体 六 个 面 的 对 角 线 中 任 取 两 条 作 为 一 对 .其 中 所 成 的 角 为 60 的 共 有 ( )A. 24对B. 30对C. 48对D. 60对解 析 : 正 方 体 的 面 对 角 线 共 有 12 条 , 两 条 为 一 对 , 共 有 =66条 ,同 一 面 上 的 对 角 线 不 满 足 题 意 , 对 面 的 面 对 角 线 也 不 满 足 题 意 , 一 组 平 行 平 面 共 有 6 对 不 满足 题 意 的 直 线 对 数 , 不 满 足 题 意 的 共 有 : 3 6=1

    9、8.从 正 方 体 六 个 面 的 对 角 线 中 任 取 两 条 作 为 一 对 .其 中 所 成 的 角 为 60 的 共 有 : 66-18=48.答 案 : C.9.若 函 数 f(x)=|x+1|+|2x+a|的 最 小 值 为 3, 则 实 数 a 的 值 为 ( ) A. 5或 8B. -1或 5C. -1或 -4D. -4或 8解 析 : -1 时 , x - , f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1 -1;- x -1, f(x)=-x-1+2x+a=x+a-1 -1;x -1, f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1 a-2, -1=3或 a-2=3, a=8或

    10、a=5, a=5时 , -1 a-2, 故 舍 去 ; -1时 , x -1, f(x)=-x-1-2x-a=-3x-a-1 2-a;-1 x - , f(x)=x+1-2x-a=-x-a+1 - +1;x - , f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1 - +1, 2-a=3 或 - +1=3, a=-1或 a=-4,a=-1时 , - +1 2-a, 故 舍 去 ; 综 上 , a=-4或 8.答 案 : D.10.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 .已 知 向 量 、 , | |=| |=1, =0, 点 Q满 足 = ( + ),曲 线 C=P| = cos + sin ,

    11、0 2 , 区 域 =P|(0 r | | R, r R.若 C 为 两 段 分 离 的 曲 线 , 则 ( )A. 1 r R 3B. 1 r 3 RC. r 1 R 3D. 1 r 3 R 解 析 : 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 .已 知 向 量 、 , | |=| |=1, =0,不 妨 令 =(1, 0), =(0, 1),则 = ( + )=( , ), = cos + sin =(cos , sin ),故 P 点 的 轨 迹 为 单 位 圆 , =P|(0 r | | R, r R表 示 的 平 面 区 域 为 : 以 Q 点 为 圆 心 , 内 径 为 r, 外 径

    12、为 R 的 圆 环 ,若 C 为 两 段 分 离 的 曲 线 , 则 单 位 圆 与 圆 环 的 内 外 圆 均 相 交 ,故 |OQ|-1 r R |OQ|+1, |OQ|=2, 故 1 r R 3,答 案 : A二 、 填 空 题 : 本 大 题 共 5 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 25分 .11.若 将 函 数 f(x)=sin(2x+ )的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 , 所 得 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 则 的最 小 正 值 是 .解 析 : 将 函 数 f(x)=sin(2x+ )的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 , 所 得 图 象 对 应 的

    13、函 数 解 析 式 为 y=sin2(x- )+ =sin(2x+ -2 )关 于 y 轴 对 称 ,则 -2 =k + , k z, 即 =- - , 故 的 最 小 正 值 为 ,答 案 : .12.数 列 a n是 等 差 数 列 , 若 a1+1, a3+3, a5+5 构 成 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , 则 q= .解 析 : 设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d,由 a1+1, a3+3, a5+5构 成 等 比 数 列 ,得 : ,整 理 得 : ,即 +5a 1+a1+4d.化 简 得 : (d+1)2=0, 即 d=-1. q= = .答 案 : 1.13.

    14、设 a 0, n是 大 于 1的 自 然 数 , (1+ ) n的 展 开 式 为 a0+a1x+a2x2+ +anxn.若 点 Ai(i, ai)(i=0,1, 2)的 位 置 如 图 所 示 , 则 a= . 解 析 : (1+ )n的 展 开 式 的 通 项 为 ,由 图 知 , a0=1, a1=3, a2=4, , , , a2-3a=0, 解 得 a=3,答 案 : 3.14.设 F 1, F2分 别 是 椭 圆 E: x2+ =1(0 b 1)的 左 、 右 焦 点 , 过 点 F1的 直 线 交 椭 圆 E 于 A、B两 点 , 若 |AF1|=3|F1B|, AF2 x 轴

    15、, 则 椭 圆 E 的 方 程 为 .解 析 : 由 题 意 , AF2 x 轴 , |AF2|=b2, |AF1|=3|F1B|, B(- c, - b2),代 入 椭 圆 方 程 可 得 , 1=b 2+c2, b2= , c2= , x2+ =1.答 案 : x2+ =1.15.已 知 两 个 不 相 等 的 非 零 向 量 , , 两 组 向 量 , , , , 和 , , , 均 由 2 个 和 3 个 排 列 而 成 , 记 S= + + + + ,S min表 示 S所 有 可 能 取 值 中 的 最 小 值 .则 下 列 命 题 正 确 的 是 (写 出 所 有 正 确 命 题

    16、 的 编号 ). S 有 5 个 不 同 的 值 ; 若 , 则 Smin与 | |无 关 ; 若 , 则 Smin与 | |无 关 ; 若 | | 4| |, 则 S min 0; 若 | |=2| |, Smin=8| |2, 则 与 的 夹 角 为 .解 析 : S 有 3 种 结 果 : S1= + + + + ,S2= + + + + ,S 3= + + + + , 故 错 误 ; S1-S2=S2-S3= + -2 + -2| | | |= 0, S 中 最 小 为 S3;若 , 则 Smin=S3= , 与 | |无 关 , 故 正 确 ; 若 , 则 S min=S3=4 +

    17、, 与 | |有 关 , 故 错 误 ; 若 | | 4| |, 则 Smin=S3=4| | | |cos + -4| | | |+ - + =0,故 正 确 ; 若 | |=2| |, Smin=S3=8| |2cos +4 =8 , 2cos =1, = ,即 与 的 夹 角 为 .综 上 所 述 , 命 题 正 确 的 是 ,答 案 : . 三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 共 75分 .16.(12分 )设 ABC 的 内 角 为 A、 B、 C 所 对 边 的 长 分 别 是 a、 b、 c, 且 b=3, c=1, A=2B.( )求 a 的 值 ;( )求

    18、 sin(A+ )的 值 .解 析 : ( )利 用 正 弦 定 理 , 可 得 a=6cosB, 再 利 用 余 弦 定 理 , 即 可 求 a的 值 ;( )求 出 sinA, cosA, 即 可 求 sin(A+ )的 值 .答 案 : ( ) A=2B, , b=3, a=6cosB, a=6 , a=2 ; ( ) a=6cosB, cosB= , sinB= , sinA=sin2B= , cosA=cos2B=2cos2B-1=- , sin(A+ )= (sinA+cosA)= .17.(12分 )甲 乙 两 人 进 行 围 棋 比 赛 , 约 定 先 连 胜 两 局 者 直

    19、接 赢 得 比 赛 , 若 赛 完 5 局 仍 未 出 现连 胜 , 则 判 定 获 胜 局 数 多 者 赢 得 比 赛 .假 设 每 局 甲 获 胜 的 概 率 为 , 乙 获 胜 的 概 率 为 , 各局 比 赛 结 果 相 互 独 立 .( )求 甲 在 4 局 以 内 (含 4 局 )赢 得 比 赛 的 概 率 ;( )记 X 为 比 赛 决 胜 出 胜 负 时 的 总 局 数 , 求 X 的 分 布 列 和 均 值 (数 学 期 望 ).解 析 : (1)根 据 概 率 的 乘 法 公 式 , 求 出 对 应 的 概 率 , 即 可 得 到 结 论 .(2)利 用 离 散 型 随 机

    20、 变 量 分 别 求 出 对 应 的 概 率 , 即 可 求 X 的 分 布 列 ; 以 及 均 值 . 答 案 : 用 A 表 示 甲 在 4 局 以 内 (含 4局 )赢 得 比 赛 的 是 事 件 , Ak表 示 第 k 局 甲 获 胜 , Bk表 示 第k局 乙 获 胜 , 则 P(Ak)= , P(Bk)= , k=1, 2, 3, 4, 5( )P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A2+P(A1B2A3A4)=( )2+ ( )2+ ( )2= .( )X的 可 能 取 值 为 2, 3, 4, 5.P(X=2)=P(A 1A2)+P(B1B2)= ,P(X=3)=P(B1A2A

    21、3)+P(A1B2B3)= ,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)= ,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= ,故 分 布 列 为 : E(X)=2 +3 +4 +5 = .18.(12分 )设 函 数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3, 其 中 a 0.( )讨 论 f(x)在 其 定 义 域 上 的 单 调 性 ;( )当 x 0, 1时 , 求 f(x)取 得 最 大 值 和 最 小 值 时 的 x的 值 .解 析 : ( )利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性 即 可 ;( )利 用 ( )的 结 论 , 讨 论 两 根

    22、与 1 的 大 小 关 系 , 判 断 函 数 在 0, 1时 的 单 调 性 , 得 出 取 最值 时 的 x 的 取 值 .答 案 : ( )f(x)的 定 义 域 为 (- , + ), f (x)=1+a-2x-3x 2,由 f (x)=0, 得 x1= , x2= , x1 x2, 由 f (x) 0得 x , x ;由 f (x) 0 得 x ;故 f(x)在 (- , )和 ( , + )单 调 递 减 ,在 ( , )上 单 调 递 增 ;( ) a 0, x 1 0, x2 0,(i)当 a 4时 , x2 1, 由 ( )知 , f(x)在 0, 1上 单 调 递 增 ,

    23、f(x)在 x=0和 x=1处 分 别取 得 最 小 值 和 最 大 值 .(ii)当 0 a 4时 , x2 1, 由 ( )知 , f(x)在 0, x2单 调 dz, 在 x2, 1上 单 调 递 减 ,因 此 f(x)在 x=x2= 处 取 得 最 大 值 , 又 f(0)=1, f(1)=a, 当 0 a 1 时 , f(x)在 x=1处 取 得 最 小 值 ;当 a=1时 , f(x)在 x=0和 x=1处 取 得 最 小 值 ;当 1 a 4 时 , f(x)在 x=0 处 取 得 最 小 值 .19.(13分 )如 图 , 已 知 两 条 抛 物 线 E 1: y2=2p1x(

    24、p1 0)和 E2: y2=2p2x(p2 0), 过 原 点 O的 两条 直 线 l1和 l2, l1与 E1, E2分 别 交 于 A1、 A2两 点 , l2与 E1、 E2分 别 交 于 B1、 B2两 点 . ( )证 明 : A1B1 A2B2;( )过 O 作 直 线 l(异 于 l1, l2)与 E1、 E2分 别 交 于 C1、 C2两 点 .记 A1B1C1与 A2B2C2的 面 积 分别 为 S1与 S2, 求 的 值 .解 析 : ( )由 题 意 设 出 直 线 l1和 l2的 方 程 , 然 后 分 别 和 两 抛 物 线 联 立 求 得 交 点 坐 标 , 得 到

    25、的 坐 标 , 然 后 由 向 量 共 线 得 答 案 ;( )结 合 ( )可 知 A 1B1C1与 A2B2C2的 三 边 平 行 , 进 一 步 得 到 两 三 角 形 相 似 , 由 相 似 三 角 形的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 得 答 案 .答 案 : ( )由 题 意 可 知 , l1和 l2的 斜 率 存 在 且 不 为 0,设 l1: y=k1x, l2: y=k2x. 联 立 , 解 得 .联 立 , 解 得 .联 立 , 解 得 .联 立 , 解 得 . , ., A1B1 A2B2;( )由 ( )知 A 1B1 A2B2,同 ( )可 证 B1C1

    26、B2C2, A1C1 A2C2. A1B1C1 A2B2C2,因 此 ,又 , .故 . 20.(13分 )如 图 , 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 , A1A 底 面 ABCD, 四 边 形 ABCD为 梯 形 , AD BC,且 AD=2BC, 过 A1、 C、 D 三 点 的 平 面 记 为 , BB1与 的 交 点 为 Q. ( )证 明 : Q 为 BB1的 中 点 ;( )求 此 四 棱 柱 被 平 面 所 分 成 上 、 下 两 部 分 的 体 积 之 比 ;( )若 AA1=4, CD=2, 梯 形 ABCD的 面 积 为 6, 求 平 面 与 底 面 ABCD所

    27、成 二 面 角 的 大 小 .解 析 : ( )证 明 平 面 QBC 平 面 A1D1DA, 可 得 QBC A1AD, 即 可 证 明 Q 为 BB1的 中 点 ;( )设 BC=a, 则 AD=2a, 则 = = , VQ-ABCD= = ahd,利 用 V 棱 柱 = ahd, 即 可 求 出 此 四 棱 柱 被 平 面 所 分 成 上 、 下 两 部 分 的 体 积 之 比 ;( ) ADC中 , 作 AE DC, 垂 足 为 E, 连 接 A1E, 则 DE 平 面 AEA1, DE A1E, 可 得 AEA1为平 面 与 底 面 ABCD所 成 二 面 角 , 求 出 S ADC

    28、=4, AE=4, 可 得 tan AEA1= =1, 即 可 求 平 面 与 底 面 ABCD所 成 二 面 角 的 大 小 .答 案 : ( ) 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1中 , 四 边 形 ABCD为 梯 形 , AD BC, 平 面 QBC 平 面 A 1D1DA, 平 面 A1CD与 面 QBC、 平 面 A1D1DA的 交 线 平 行 , QC A1D QBC A1AD, = , Q为 BB1的 中 点 ;( )连 接 QA, QD, 设 AA1=h, 梯 形 ABCD 的 高 为 d, 四 棱 柱 被 平 面 所 分 成 上 、 下 两 部 分 的 体积 为 V1,

    29、V2, 设 BC=a, 则 AD=2a, = = , VQ-ABCD= = ahd, V1= , V 棱 柱 = ahd, V2= ahd, 四 棱 柱 被 平 面 所 分 成 上 、 下 两 部 分 的 体 积 之 比 ;( )在 ADC中 , 作 AE DC, 垂 足 为 E, 连 接 A1E, 则 DE 平 面 AEA1, DE A1E, AEA 1为 平 面 与 底 面 ABCD所 成 二 面 角 , BC AD, AD=2BC, S ADC=2S ABC, 梯 形 ABCD的 面 积 为 6, DC=2, S ADC=4, AE=4, tan AEA1= =1, AEA1= , 平

    30、面 与 底 面 ABCD所 成 二 面 角 的 大 小 为 .21.(13分 )设 实 数 c 0, 整 数 p 1, n N *.( )证 明 : 当 x -1且 x 0 时 , (1+x)p 1+px;( )数 列 an满 足 a1 , an+1= an+ an1-p.证 明 : an an+1 .解 析 : 第 ( )问 中 , 可 构 造 函 数 f(x)=(1+x)p-(1+px), 求 导 数 后 利 用 函 数 的 单 调 性 求 解 ;对 第 ( )问 , 从 a n+1 着 手 , 由 an+1= an+ an1-p, 将 求 证 式 进 行 等 价 转 化 后 即 可 解

    31、决 ,用 相 同 的 方 式 将 an an+1进 行 转 换 , 设 法 利 用 已 证 结 论 证 明 .答 案 : ( )令 f(x)=(1+x)p-(1+px), 则 f (x)=p(1+x)p-1-p=p(1+x)p-1-1. 当 -1 x 0 时 , 0 1+x 1, 由 p 1知 p-1 0, (1+x)p-1 (1+x)0=1, (1+x)p-1-1 0, 即 f (x) 0, f(x)在 (-1, 0上 为 减 函 数 , f(x) f(0)=(1+0) p-(1+p 0)=0, 即 (1+x)p-(1+px) 0, (1+x)p 1+px. 当 x 0 时 , 有 1+x

    32、1, 得 (1+x)p-1 (1+x)0=1, f (x) 0, f(x)在 0, + )上 为 增 函 数 , f(x) f(0)=0, (1+x)p 1+px.综 合 、 知 , 当 x -1且 x 0 时 , 都 有 (1+x) p 1+px, 得 证 .( )先 证 an+1 . an+1= an+ an1-p, 只 需 证 an+ an1-p , 将 写 成 p-1个 相 加 , 上 式 左 边= ,当 且 仅 当 , 即 时 , 上 式 取 “ =” 号 ,当 n=1时 , 由 题 设 知 , 上 式 “ =” 号 不 成 立 , a n+ an1-p , 即 an+1 .再 证 an an+1.只 需 证 an an+ an1-p, 化 简 、 整 理 得 anp c, 只 需 证 an c .由 前 知 a n+1 成 立 , 即 从 数 列 an的 第 2 项 开 始 成 立 ,又 n=1时 , 由 题 设 知 成 立 , 对 n N*成 立 , an an+1.综 上 知 , a n an+1 , 原 不 等 式 得 证 .


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