【考研类试卷】考研数学二（多元函数微积分学）-试卷4及答案解析.doc

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1、考研数学二（多元函数微积分学）-试卷 4 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 u=3x 3 一 xy+xy 2 在点 P(1，2)处沿 l=(一 11，一 3)方向的变化率为( )（分数：2.00）A.最大B.最小C.1D.03.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切向量( )（分数：2.00）A.只有一条B.只有 2 条C.至少 3 条D.不存在4.已知曲面 z=4 一 x 2 一 y 2

2、 上点 P 处的切平面平行于平面 x+2y+z-1=0，则点 P 的坐标是( )（分数：2.00）A.(1，一 1，2)B.(一 1，1，2)C.(1，1，2)D.(一 1，一 1，2)5.设 1 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0， 2 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x0，y0，z0，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：1，分数：2.00)6.函数 z=1 一(x 2 +2y 2 )在点 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：48.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3、（分数：2.00）_8.计算 （分数：2.00）_9.设 f(x)在0，1上单调减少且 f(x)0，证明 （分数：2.00）_10.求由双曲线 xy=a 2 与直线 （分数：2.00）_11.求心形线 r=a(1+cos)与圆 r=2acos(a0)所围图形的面积 S（分数：2.00）_12.求抛物面 z=1+x 2 +y 2 的一个切平面，使该切平面与抛物面及圆柱面(x 一 1) 2 +y 2 =1 围成的立体的体积最小，并求出最小体积（分数：2.00）_13.求球体 x 2 +y 2 +z 2 =4a 2 被柱面 x 2 +y 2 =2ax(a0)所截得的含在圆柱面内的那部分立体的体积（分

4、数：2.00）_14.求位于两圆 r=2sin 和 r=4sin 之间的均匀薄片的质心（分数：2.00）_15.求点有平面区域 （分数：2.00）_16.在椭球面 2x 2 +2y 2 +z 2 =1 上求一点，使得函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在该点沿方向 l=(1，一1，0)的方向导数最大（分数：2.00）_17.求曲线 （分数：2.00）_18.求曲面 x 2 +y 2 +z 2 =x 的切平面，使其垂直于平面 xyz=2 和 （分数：2.00）_19.求证曲面 z=x+f(y-z)上任一点处的切平面平行于某定直线（分数：2.00）_20.计算 （分数：2.00）_

5、21.计算 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.设函数 f(x，y，z)连续，且 f(x，y，z)= 其中区域 （分数：2.00）_24.设 f(x)连续，证明 （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.设 f(x)连续， 其中 ：0zh，x 2 +y 2 t 2 ， （分数：2.00）_27.求由不等式 （分数：2.00）_28.物体由曲面 （分数：2.00）_29.有一半径为 R 的球体P 0 是此球面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P 0 距离的平方成正比(比例常数 a0)，求球体的质心（分数：2.00）_30.设物体由曲面 z=x 2 +

6、y 2 和 z=2x 所围成，其上各点的密度 等于该点到 xOy 平面的距离的平方试求该物体对 z 轴的转动惯量（分数：2.00）_考研数学二（多元函数微积分学）-试卷 4 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 u=3x 3 一 xy+xy 2 在点 P(1，2)处沿 l=(一 11，一 3)方向的变化率为( )（分数：2.00）A.最大B.最小 C.1D.0解析：解析： 3.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面

7、x+2y+z=4 平行的切向量( )（分数：2.00）A.只有一条B.只有 2 条 C.至少 3 条D.不存在解析：解析： 曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 在对应于参数 t=t 0 的点处切向量为 m=(1，一 2t 0 ，3t 0 2 )，又平面 x+2y+z=4 的法向量为 n=(1，2，1)，依据题意由 mn，从而 m.n=0，即 (1，一 2t 0 ，3t 0 2 ).(1，2，1)=1 一 4t 0 +3t 0 2 =0，解得 t 0 =1，或 4.已知曲面 z=4 一 x 2 一 y 2 上点 P 处的切平面平行于平面 x+2y+z-1=0，则点 P 的坐标是( )（分

8、数：2.00）A.(1，一 1，2)B.(一 1，1，2)C.(1，1，2) D.(一 1，一 1，2)解析：解析：设切点为(x 0 ，y 0 ，z 0 )，则切平面的法向量是(2x 0 ，2y 0 ，1)，它与平面 x+2y+z一 1=0 的法向量平行，故由 5.设 1 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，z0， 2 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x0，y0，z0，则( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于 1 关于 yOz 平面和 zOx 平面都对称，应找被积函数关于 x 和 y 的偶函数，故 其余三个选项中的被积函数都是分

9、别关于 x 或关于 y 轴奇函数，故 ，而 二、填空题(总题数：1，分数：2.00)6.函数 z=1 一(x 2 +2y 2 )在点 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 F(x，y)=x 2 +2y 2 1，则曲线 C 在点 的法向量是 三、解答题(总题数：24，分数：48.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.设 f(x)在0，1上单调减少且 f(x)0，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)0 知 0 1 xf(x)dx

10、0， 0 1 f(x)dx0 从而为证明此不等式只须证 0 1 xf 2 (x)dx 0 1 f(x)dx 0 1 f 2 (x)dx 0 1 xf(x)dx 故令 I= 0 1 f 2 (x)dx 0 1 xf(x)dx 一 0 1 xf 2 (x)dx 0 1 f(x)dx = 0 1 xf(x)dx 0 1 f 2 (y)dy 一 0 1 f(x)dx 0 1 yf 2 (y)dy 其中 D=(x，y)|0x1，0y1 由于 D 关于 y=x 对称，则 以上两式相加，得 )解析：10.求由双曲线 xy=a 2 与直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 xy=a 2 与 围成的

11、平面区域记为 D，如图 517则由二重积分的几何意义知 )解析：11.求心形线 r=a(1+cos)与圆 r=2acos(a0)所围图形的面积 S（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记心形线 r=a(1+cos)与圆 r=2acos 所围图形记为 D，如图 5-18，其中 x 轴上半部分记为 D 1 由二重积分的几何意义，有 )解析：12.求抛物面 z=1+x 2 +y 2 的一个切平面，使该切平面与抛物面及圆柱面(x 一 1) 2 +y 2 =1 围成的立体的体积最小，并求出最小体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，1+x 0 2 +y

12、0 2 )则抛物面在点 M 0 处的切平面方程为 2x 0 (x 一 x 0 )+2y 0 (yy 0 )一z 一(1+x 0 2 +y 0 2 )=0， 即 z=2x 0 x+2y 0 y+(1 一 x 0 2 一 y 0 2 ) 所求体积的立体是以此切平面为底，抛物面 z=1+x 2 +y 2 为顶，(x 一 1) 2 +y 2 =1 为侧面的柱体，所以由二重积分的几何意义知 解方程组 解得 x 0 =1，y 0 =0 又 即 ACB 2 0，A0，故 V min =V(1，0)= )解析：13.求球体 x 2 +y 2 +z 2 =4a 2 被柱面 x 2 +y 2 =2ax(a0)所截

13、得的含在圆柱面内的那部分立体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于球体与圆柱面都关于 xOy 平面和 zOx 平面对称，所求立体也关于 xOy 平面和zOx 平面对称，因此只求第一象限部分的体积再乘 4 即可又所求立体在第一象限部分的立体是以 x 2 +y 2 2ax 为底，z 轴为母线，以 z= 为曲顶的曲顶柱体由二重积分的几何意义，有 )解析：14.求位于两圆 r=2sin 和 r=4sin 之间的均匀薄片的质心（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设质心为 由两圆 r=2sin 与 r=4sin 围成的平面区域记为 D，如图 5一 19 因为 D 关于 y 轴对称，易知

14、 =0 故所求均匀薄片的质心为 )解析：15.求点有平面区域 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.在椭球面 2x 2 +2y 2 +z 2 =1 上求一点，使得函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 在该点沿方向 l=(1，一1，0)的方向导数最大（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 于是问题为求函数 在条件 2x 2 +2y 2 +z 2 =1 下的条件极值问题 )解析：17.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 给定的曲线在(1，1，2)处的切向量为 故切线方程为 )解析：18.求曲面 x 2 +y 2 +z 2 =x 的切平面，使其垂

15、直于平面 xyz=2 和 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )，令 F(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 一 x，则切平面的法向量为 n=(F x “，F y “，F z “) M0 =(2x 0 -1，2y 0 ，2z 0 )，又已知 )解析：19.求证曲面 z=x+f(y-z)上任一点处的切平面平行于某定直线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 任取曲面上一点(x 0 ，y 0 ，z 0 )，该点处的切平面的法向量为 n=(1，f(y 0 一 z 0 )，一 1-f(y 0 一 z 0 ) 显然 n.(1，1，1)=0，

16、说明曲面上任一点处的切平面都平行于定直线 )解析：20.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 看成 XY 型域，如图 61(a)， =(x，y，z)|0z1 一 x 一 2y，(x，y)D xy 其中 D xy 如图 61(b)则 )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 关于 zOx 平面和 yOz 平面对称，且 (x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2zx，其中 2xy+2yz 关于 y 是奇函数，因而 (2xy+2yz)dxdydz=0又 2xy 关于 x 是奇函数，因而 因此 )解析：22.计算 （分数：2.00）_

17、正确答案：(正确答案： 由于 关于 xOy 平面对称且 e |z| 关于 z 是偶函数，则 (其中 1 ：x 2 +y 2 +z 2 1，z0) )解析：23.设函数 f(x，y，z)连续，且 f(x，y，z)= 其中区域 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)连续，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：左边= 0 x dv 0 v du 0 u f(t)dt， 其中 0 v du 0 u f(t)dt= = 0 v f(t)dt t v du = 0 v f(t)(v-t)dt 从而 左= 0 x dv 0 v f(t)(v 一 t)dt = = 0

18、 x dt t x (v-t)f(t)dv = 0 x f(t)dt(v-t)dv = 0 x (x-t) 2 f(t)dt =右 )解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 即 为圆柱体 x 2 +y 2 =1 与 所围立体在第一卦限部分 )解析：26.设 f(x)连续， 其中 ：0zh，x 2 +y 2 t 2 ， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求由不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 空间区域 如图 6-4则 由 的特点，适合选用球坐标 ，x 2 +y 2 +(z 一 1) 2 =1 的球坐标方程分别为 r=1 ，r=2cos

19、 又 r=1 与 r=2cos 的交线方程为2cos=1，即 故 )解析：28.物体由曲面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.有一半径为 R 的球体P 0 是此球面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P 0 距离的平方成正比(比例常数 a0)，求球体的质心（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 如图 65，建立直角坐标系，则 P 0 的坐标为(R，0，0) 则 (x，y,z)= =a(xR) 2 +y 2 +z 2 )解析：30.设物体由曲面 z=x 2 +y 2 和 z=2x 所围成，其上各点的密度 等于该点到 xOy 平面的距离的平方试求该物体对 z 轴的转动惯量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易知 (x，y，z)=y 2 又 =(x，y，z)|x 2 +y 2 z2z )解析：