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    【考研类试卷】考研数学二(多元函数微积分学)-试卷4及答案解析.doc

    • 资源ID:1396217       资源大小:173.50KB        全文页数:8页
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    【考研类试卷】考研数学二(多元函数微积分学)-试卷4及答案解析.doc

    1、考研数学二(多元函数微积分学)-试卷 4 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.函数 u=3x 3 一 xy+xy 2 在点 P(1,2)处沿 l=(一 11,一 3)方向的变化率为( )(分数:2.00)A.最大B.最小C.1D.03.在曲线 x=t,y=一 t 2 ,z=t 3 的所有切线中,与平面 x+2y+z=4 平行的切向量( )(分数:2.00)A.只有一条B.只有 2 条C.至少 3 条D.不存在4.已知曲面 z=4 一 x 2 一 y 2

    2、 上点 P 处的切平面平行于平面 x+2y+z-1=0,则点 P 的坐标是( )(分数:2.00)A.(1,一 1,2)B.(一 1,1,2)C.(1,1,2)D.(一 1,一 1,2)5.设 1 =(x,y,z)|x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,z0, 2 =(x,y,z)|x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,x0,y0,z0,则( ) (分数:2.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:1,分数:2.00)6.函数 z=1 一(x 2 +2y 2 )在点 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:24,分数:48.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    3、(分数:2.00)_8.计算 (分数:2.00)_9.设 f(x)在0,1上单调减少且 f(x)0,证明 (分数:2.00)_10.求由双曲线 xy=a 2 与直线 (分数:2.00)_11.求心形线 r=a(1+cos)与圆 r=2acos(a0)所围图形的面积 S(分数:2.00)_12.求抛物面 z=1+x 2 +y 2 的一个切平面,使该切平面与抛物面及圆柱面(x 一 1) 2 +y 2 =1 围成的立体的体积最小,并求出最小体积(分数:2.00)_13.求球体 x 2 +y 2 +z 2 =4a 2 被柱面 x 2 +y 2 =2ax(a0)所截得的含在圆柱面内的那部分立体的体积(分

    4、数:2.00)_14.求位于两圆 r=2sin 和 r=4sin 之间的均匀薄片的质心(分数:2.00)_15.求点有平面区域 (分数:2.00)_16.在椭球面 2x 2 +2y 2 +z 2 =1 上求一点,使得函数 f(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 在该点沿方向 l=(1,一1,0)的方向导数最大(分数:2.00)_17.求曲线 (分数:2.00)_18.求曲面 x 2 +y 2 +z 2 =x 的切平面,使其垂直于平面 xyz=2 和 (分数:2.00)_19.求证曲面 z=x+f(y-z)上任一点处的切平面平行于某定直线(分数:2.00)_20.计算 (分数:2.00)_

    5、21.计算 (分数:2.00)_22.计算 (分数:2.00)_23.设函数 f(x,y,z)连续,且 f(x,y,z)= 其中区域 (分数:2.00)_24.设 f(x)连续,证明 (分数:2.00)_25.计算 (分数:2.00)_26.设 f(x)连续, 其中 :0zh,x 2 +y 2 t 2 , (分数:2.00)_27.求由不等式 (分数:2.00)_28.物体由曲面 (分数:2.00)_29.有一半径为 R 的球体P 0 是此球面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到 P 0 距离的平方成正比(比例常数 a0),求球体的质心(分数:2.00)_30.设物体由曲面 z=x 2 +

    6、y 2 和 z=2x 所围成,其上各点的密度 等于该点到 xOy 平面的距离的平方试求该物体对 z 轴的转动惯量(分数:2.00)_考研数学二(多元函数微积分学)-试卷 4 答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.函数 u=3x 3 一 xy+xy 2 在点 P(1,2)处沿 l=(一 11,一 3)方向的变化率为( )(分数:2.00)A.最大B.最小 C.1D.0解析:解析: 3.在曲线 x=t,y=一 t 2 ,z=t 3 的所有切线中,与平面

    7、x+2y+z=4 平行的切向量( )(分数:2.00)A.只有一条B.只有 2 条 C.至少 3 条D.不存在解析:解析: 曲线 x=t,y=一 t 2 ,z=t 3 在对应于参数 t=t 0 的点处切向量为 m=(1,一 2t 0 ,3t 0 2 ),又平面 x+2y+z=4 的法向量为 n=(1,2,1),依据题意由 mn,从而 m.n=0,即 (1,一 2t 0 ,3t 0 2 ).(1,2,1)=1 一 4t 0 +3t 0 2 =0,解得 t 0 =1,或 4.已知曲面 z=4 一 x 2 一 y 2 上点 P 处的切平面平行于平面 x+2y+z-1=0,则点 P 的坐标是( )(分

    8、数:2.00)A.(1,一 1,2)B.(一 1,1,2)C.(1,1,2) D.(一 1,一 1,2)解析:解析:设切点为(x 0 ,y 0 ,z 0 ),则切平面的法向量是(2x 0 ,2y 0 ,1),它与平面 x+2y+z一 1=0 的法向量平行,故由 5.设 1 =(x,y,z)|x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,z0, 2 =(x,y,z)|x 2 +y 2 +z 2 R 2 ,x0,y0,z0,则( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:由于 1 关于 yOz 平面和 zOx 平面都对称,应找被积函数关于 x 和 y 的偶函数,故 其余三个选项中的被积函数都是分

    9、别关于 x 或关于 y 轴奇函数,故 ,而 二、填空题(总题数:1,分数:2.00)6.函数 z=1 一(x 2 +2y 2 )在点 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 F(x,y)=x 2 +2y 2 1,则曲线 C 在点 的法向量是 三、解答题(总题数:24,分数:48.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:8.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:9.设 f(x)在0,1上单调减少且 f(x)0,证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f(x)0 知 0 1 xf(x)dx

    10、0, 0 1 f(x)dx0 从而为证明此不等式只须证 0 1 xf 2 (x)dx 0 1 f(x)dx 0 1 f 2 (x)dx 0 1 xf(x)dx 故令 I= 0 1 f 2 (x)dx 0 1 xf(x)dx 一 0 1 xf 2 (x)dx 0 1 f(x)dx = 0 1 xf(x)dx 0 1 f 2 (y)dy 一 0 1 f(x)dx 0 1 yf 2 (y)dy 其中 D=(x,y)|0x1,0y1 由于 D 关于 y=x 对称,则 以上两式相加,得 )解析:10.求由双曲线 xy=a 2 与直线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 xy=a 2 与 围成的

    11、平面区域记为 D,如图 517则由二重积分的几何意义知 )解析:11.求心形线 r=a(1+cos)与圆 r=2acos(a0)所围图形的面积 S(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:记心形线 r=a(1+cos)与圆 r=2acos 所围图形记为 D,如图 5-18,其中 x 轴上半部分记为 D 1 由二重积分的几何意义,有 )解析:12.求抛物面 z=1+x 2 +y 2 的一个切平面,使该切平面与抛物面及圆柱面(x 一 1) 2 +y 2 =1 围成的立体的体积最小,并求出最小体积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设切点为 M 0 (x 0 ,y 0 ,1+x 0 2 +y

    12、0 2 )则抛物面在点 M 0 处的切平面方程为 2x 0 (x 一 x 0 )+2y 0 (yy 0 )一z 一(1+x 0 2 +y 0 2 )=0, 即 z=2x 0 x+2y 0 y+(1 一 x 0 2 一 y 0 2 ) 所求体积的立体是以此切平面为底,抛物面 z=1+x 2 +y 2 为顶,(x 一 1) 2 +y 2 =1 为侧面的柱体,所以由二重积分的几何意义知 解方程组 解得 x 0 =1,y 0 =0 又 即 ACB 2 0,A0,故 V min =V(1,0)= )解析:13.求球体 x 2 +y 2 +z 2 =4a 2 被柱面 x 2 +y 2 =2ax(a0)所截

    13、得的含在圆柱面内的那部分立体的体积(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于球体与圆柱面都关于 xOy 平面和 zOx 平面对称,所求立体也关于 xOy 平面和zOx 平面对称,因此只求第一象限部分的体积再乘 4 即可又所求立体在第一象限部分的立体是以 x 2 +y 2 2ax 为底,z 轴为母线,以 z= 为曲顶的曲顶柱体由二重积分的几何意义,有 )解析:14.求位于两圆 r=2sin 和 r=4sin 之间的均匀薄片的质心(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设质心为 由两圆 r=2sin 与 r=4sin 围成的平面区域记为 D,如图 5一 19 因为 D 关于 y 轴对称,易知

    14、 =0 故所求均匀薄片的质心为 )解析:15.求点有平面区域 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:16.在椭球面 2x 2 +2y 2 +z 2 =1 上求一点,使得函数 f(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 在该点沿方向 l=(1,一1,0)的方向导数最大(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 于是问题为求函数 在条件 2x 2 +2y 2 +z 2 =1 下的条件极值问题 )解析:17.求曲线 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 给定的曲线在(1,1,2)处的切向量为 故切线方程为 )解析:18.求曲面 x 2 +y 2 +z 2 =x 的切平面,使其垂

    15、直于平面 xyz=2 和 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设切点为 M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ),令 F(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 一 x,则切平面的法向量为 n=(F x “,F y “,F z “) M0 =(2x 0 -1,2y 0 ,2z 0 ),又已知 )解析:19.求证曲面 z=x+f(y-z)上任一点处的切平面平行于某定直线(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 任取曲面上一点(x 0 ,y 0 ,z 0 ),该点处的切平面的法向量为 n=(1,f(y 0 一 z 0 ),一 1-f(y 0 一 z 0 ) 显然 n.(1,1,1)=0,

    16、说明曲面上任一点处的切平面都平行于定直线 )解析:20.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 看成 XY 型域,如图 61(a), =(x,y,z)|0z1 一 x 一 2y,(x,y)D xy 其中 D xy 如图 61(b)则 )解析:21.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由于 关于 zOx 平面和 yOz 平面对称,且 (x+y+z) 2 =x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2zx,其中 2xy+2yz 关于 y 是奇函数,因而 (2xy+2yz)dxdydz=0又 2xy 关于 x 是奇函数,因而 因此 )解析:22.计算 (分数:2.00)_

    17、正确答案:(正确答案: 由于 关于 xOy 平面对称且 e |z| 关于 z 是偶函数,则 (其中 1 :x 2 +y 2 +z 2 1,z0) )解析:23.设函数 f(x,y,z)连续,且 f(x,y,z)= 其中区域 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:24.设 f(x)连续,证明 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:左边= 0 x dv 0 v du 0 u f(t)dt, 其中 0 v du 0 u f(t)dt= = 0 v f(t)dt t v du = 0 v f(t)(v-t)dt 从而 左= 0 x dv 0 v f(t)(v 一 t)dt = = 0

    18、 x dt t x (v-t)f(t)dv = 0 x f(t)dt(v-t)dv = 0 x (x-t) 2 f(t)dt =右 )解析:25.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 即 为圆柱体 x 2 +y 2 =1 与 所围立体在第一卦限部分 )解析:26.设 f(x)连续, 其中 :0zh,x 2 +y 2 t 2 , (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27.求由不等式 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 空间区域 如图 6-4则 由 的特点,适合选用球坐标 ,x 2 +y 2 +(z 一 1) 2 =1 的球坐标方程分别为 r=1 ,r=2cos

    19、 又 r=1 与 r=2cos 的交线方程为2cos=1,即 故 )解析:28.物体由曲面 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:29.有一半径为 R 的球体P 0 是此球面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到 P 0 距离的平方成正比(比例常数 a0),求球体的质心(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 如图 65,建立直角坐标系,则 P 0 的坐标为(R,0,0) 则 (x,y,z)= =a(xR) 2 +y 2 +z 2 )解析:30.设物体由曲面 z=x 2 +y 2 和 z=2x 所围成,其上各点的密度 等于该点到 xOy 平面的距离的平方试求该物体对 z 轴的转动惯量(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:易知 (x,y,z)=y 2 又 =(x,y,z)|x 2 +y 2 z2z )解析:


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