【考研类试卷】考研数学三(线性代数)-试卷26及答案解析.doc
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1、考研数学三(线性代数)-试卷 26 及答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A= (分数:2.00)A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同3.设 A 是三阶实对称矩阵,若对任意的三维列向量 X,有 X T AX=0,则( )(分数:2.00)A.A=0B.A0C.A0D.以上都不对二、填空题(总题数:1,分数:2.00)4.f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2,且 A 2 一 2A=O
2、,该二次型的规范形为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:21,分数:42.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_6.设 A,B 为三阶矩阵,且 AB=A-B,若 1 , 2 , 3 为 A 的三个不同的特征值,证明: (1)AB=BA; (2)存在可逆矩阵 P,使得 P -1 AP,P -1 BP 同时为对角矩阵(分数:2.00)_7.(1)若 A 可逆且 AB,证明:A * B * ; (2)若 AB,证明:存在可逆矩阵 P,使得 APBP(分数:2.00)_8.设 A= (分数:2.00)_9.设方程组 (分数:2.00)_10.设
3、 A 为三阶实对称矩阵,A 的每行元素之和为 5,AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值,对应特征向量为(一 1,0,1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量; (2)求 A(分数:2.00)_11.设 A= (分数:2.00)_12.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 r(A)+r(B)n证明:A,B 有公共的特征向量(分数:2.00)_13.设 A 是 n 阶矩阵, 1 , 2 , n 是 n 维列向量,且 n 0,若 A 1 = 2 ,A 2 = 3 ,A n-1 = n ,A n =0 (1)证明: 1 , 2 , n 线性无关; (2)求 A 的特征值与特征向量(分数:2
4、.00)_14.设 A 为三阶方阵,A 的每行元素之和为 5,AX=0 的通解为 (分数:2.00)_15.A= (分数:2.00)_16.设 A= (分数:2.00)_17.设 A 为 mn 实矩阵,且 r(A)=n证明:A T A 的特征值全大于零(分数:2.00)_18.设 A 为 n 阶正定矩阵证明:对任意的可逆矩阵 P,P T AP 为正定矩阵(分数:2.00)_19.设 P 为可逆矩阵,A=P T P证明:A 是正定矩阵(分数:2.00)_20.设 A,B 为 n 阶正定矩阵证明:A+B 为正定矩阵(分数:2.00)_21.三元二次型 f=X T AX 经过正交变换化为标准形 f=
5、y 1 2 +y 2 2 一 2y 3 2 ,且 A * +2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 = (分数:2.00)_22.设二次型 f=2x 1 2 +2x 2 2 +ax 3 2 +2x 1 x 1 +2bx 1 x 3 +2x 2 x 3 经过正交变换 X=QY,化为标准形f=y 1 2 +y 2 2 +4y 3 2 ,求参数 a,b 及正交矩阵 Q(分数:2.00)_23.设齐次线性方程组 为正定矩阵,求 a,并求当X= (分数:2.00)_24.设 A 为实对称矩阵,且 A 的特征值都大于零证明:A 为正定矩阵(分数:2.00)_25.设 A 为 m 阶正定矩阵,B 为 mn
6、实矩阵证明:B T AB 正定的充分必要条件是 r(B)=n(分数:2.00)_考研数学三(线性代数)-试卷 26 答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A= (分数:2.00)A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似 D.既不相似又不合同解析:解析:显然 A,B 都是实对称矩阵,由E 一 A=0,得 A 的特征值为 1 =1, 2 =2, 3 =9,由E 一 B=0,得 B 的特征值为 1 =1, 2 = 3 =3,因为 A,B 惯性指数相
7、等,但特征值不相同,所以 A,B 合同但不相似,选 C3.设 A 是三阶实对称矩阵,若对任意的三维列向量 X,有 X T AX=0,则( )(分数:2.00)A.A=0 B.A0C.A0D.以上都不对解析:解析:设二次型 二、填空题(总题数:1,分数:2.00)4.f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 )=X T AX 的正惯性指数是 2,且 A 2 一 2A=O,该二次型的规范形为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:y 1 2 +y 2 2)解析:解析:A 2 一 2A=Or(A)+r(2E 一 A)=4A 可以对角化, 1 =2, 2 =0,又二次型的正惯性指数
8、为 2,所以 1 =2, 2 =0 分别都是二重,所以该二次型的规范形为 y 1 2 +y 2 2 三、解答题(总题数:21,分数:42.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:6.设 A,B 为三阶矩阵,且 AB=A-B,若 1 , 2 , 3 为 A 的三个不同的特征值,证明: (1)AB=BA; (2)存在可逆矩阵 P,使得 P -1 AP,P -1 BP 同时为对角矩阵(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由 AB=AB 得 ABAB+E=E,(E 一 B)(E+A)=E, 即 EB 与 E+A 互为逆矩阵,于是(EB)(E+A)=E
9、=(E+A)(EB), 故 AB=BA (2)因为 A 有三个不同的特征值 1 , 2 , 3 ,所以 A 可以对角化,设 A 的三个线性无关的特征向量为 1 , 2 , 3 ,则有 A( 1 , 2 , 3 )=( 1 , 2 , 3 )diag( 1 , 2 , 3 ), BA( 1 , 2 , 3 )=B( 1 , 2 , 3 )diag( 1 , 2 , 3 ), AB( 1 , 2 , 3 )=B( 1 , 2 , 3 )diag( 1 , 2 , 3 ),于是有 AB i = i B i ,i=1,2,3 若 B i 0,则 B i 是 A 的属于特征值 i 的特征向量,又 i 为
10、单根,所以有 B i = i i ; 若 B i =0,则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况,B 都可以对角化,而且 i 是 B 的特征向量,因此,令 P=( 1 , 2 , 3 ),则 P -1 AP,P -1 卯同为对角阵)解析:7.(1)若 A 可逆且 AB,证明:A * B * ; (2)若 AB,证明:存在可逆矩阵 P,使得 APBP(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆,A,B 的特征值相同且A=B 因为AB,所以存在可逆矩阵 P,使得 P -1 AP=B, 而 A * =AA -1 ,B * =BB -1 ,于是
11、由 P -1 AP=B,得(P -1 AP) -1 =B -1 ,即 P -1 A -1 P=B -1 ,故 P -1 AA -1 P=AB -1 或 P -1 A * P=B * ,于是 A * B * (2)因为 AB,所以存在可逆阵 P,使得 P -1 AP=B,即 AP=PB,于是 AP=PBPP -1 =P(BP)P -1 ,故 APBP)解析:8.设 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:9.设方程组 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为方程组有无穷多个解,所以 (2)A=2,A * 对应的特征值为 )解析:10.设 A 为三阶实对称矩阵,A 的每行元
12、素之和为 5,AX=0 有非零解且 1 =2 是 A 的特征值,对应特征向量为(一 1,0,1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量; (2)求 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)因为 A 的每行元素之和为 5,所以有 )解析:11.设 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 AB,所以 tr(A)=tr(B),A=B,即 )解析:12.设 A,B 为 n 阶矩阵,且 r(A)+r(B)n证明:A,B 有公共的特征向量(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 r(A)+r(B)n,所以 r(A) 有非零解,即 A,B 有公共的特征向量。)解析:13.设
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