【考研类试卷】考研数学一-线性代数矩阵的特征值和特征向量(一)及答案解析.doc

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1、考研数学一-线性代数矩阵的特征值和特征向量(一)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：9，分数：15.00)1.设 A为 n阶矩阵，A0，A *为 A的伴随矩阵，E 为 n阶单位矩阵若 A有特征值 ，则(A *)2+E必有特征值是_（分数：2.00）填空项 1:_2.设 n阶矩阵 A的元素全为 1，则 A的 n个特征值是_（分数：2.00）填空项 1:_3.设 A为 2阶矩阵， 1， 2为线性无关的 2维向量，A 1=0，A 2=2 1+ 2，则 A的非零特征值为_（分数：2.00）4.若 3维列向量 ， 满足 T=2，其中 T为 的转置，则矩阵 T的

2、非零特征值为_.（分数：2.00）5.设 1=(1，2，0) T和 2=(1，0，1) T都是方阵 A的对应于特征值 2的特征向量，又 =(-1，2-2) T，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_6.设 1、 2为 n阶实对称矩阵 A的两个不同特征值，X 1为对应于 1的一个单位特征向量，则矩阵 B=（分数：2.00）填空项 1:_7.设 4阶矩阵 A与 B相似，矩阵 A的特征值为 （分数：1.00）填空项 1:_8.设 3阶矩阵 A的特征值为 ，则行列式 （分数：1.00）填空项 1:_9.设向量 =(1，0，-1) T，矩阵 A= T，a 为常数，n 为正整数，则行列式aE-A n

3、= 1（分数：1.00）填空项 1:_二、B选择题/B(总题数：8，分数：16.00)10.设 1， 2是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1，A( 1+ 2)线性无关的充分必要条件是_ A. 10 B. 20 C. 1=0 D. 2=0（分数：2.00）A.B.C.D.11.设 A为 4阶实对称矩阵，且 A2+A=O若 A的秩为 3，则 A相似于_ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.12.矩阵 与 （分数：2.00）A.B.C.D.13.与矩阵 相似的矩阵是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.14.n阶方阵 A有 n个两两不同特征值是

4、A与对角矩阵相似的_ A.充分必要条件 B.充分而非必要的条件 C.必要而非充分条件 D.既非充分也非必要条件（分数：2.00）A.B.C.D.15.设 A、B 为同阶方阵，则 A与 B相似的充分条件是_ A.秩(A)=秩(B) B.A=B C.A、B 有相同的特征多项式 D.A、B 有相同的特征值 1， 2， n且 1， 2， n两两不同（分数：2.00）A.B.C.D.16.设 n阶矩阵 A与 B相似，E 为 n阶单位矩阵，则_ A.E-A=E-B B.A和 B有相同的特征值和特征向量 C.A和 B都相似于同一个对角矩阵 D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B都相似（分数：2.00）A

5、.B.C.D.17.设 A为 n阶可逆矩阵 A的一个特征根，则 A的伴随矩阵 A*的特征根之一是_ A. -1A B. -1A C.A D.A（分数：2.00）A.B.C.D.三、B解答题/B(总题数：9，分数：69.00)已知矩阵与 （分数：6.00）(1).求 x与 y；（分数：3.00）_(2).求一个满足 P-1AP=B的可逆矩阵 P（分数：3.00）_假设 为 n阶可逆矩阵 A的一个特征值，证明：（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_(2). （分数：3.00）_设 3阶矩阵 A的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，对应的特征向量依次为 又向量 （分数：9.00）(1).

6、将 用 1， 2， 3线性表出（分数：3.00）_(2).求 An(n 为自然数)（分数：3.00）_(3).设 3阶实对称矩阵 A的特征值为 1=-1， 2= 3=1，对应于 1的特征向量为 1=(0，1，1) T，求A（分数：3.00）_已知 是矩阵 （分数：9.00）(1).试确定参数 a、b 及特征向量 所对应的特征值；（分数：3.00）_(2).问 A能否相似于对角阵?说明理由（分数：3.00）_(3).设矩阵（分数：3.00）_某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有

7、 成为熟练工设第 n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn和 yn，记成向量 （分数：9.00）(1).求 与 的关系式并写成矩阵形式： （分数：3.00）_(2).验证 （分数：3.00）_(3).当 ，求 （分数：3.00）_设 A，B 为同阶方阵，（分数：12.00）(1).如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等（分数：3.00）_(2).举一个二阶方阵的例子说明逆命题不成立（分数：3.00）_(3).当 A，B 均为实对称矩阵时，试证逆命题成立（分数：3.00）_(4).设矩阵（分数：3.00）_设矩阵 （分数：6.00）_设 3阶实对称矩阵 A的各行元素之和

8、均为 3，向量 1=(-1，2，-1)T， 2=(0，-1，1) T是线性方程组 Ax=0的两个解（分数：6.00）(1).求 A的特征值与特征向量；（分数：3.00）_(2).求正交矩阵 Q和对角矩阵 A，使得 TAQ=A（分数：3.00）_设 3阶实对称矩阵 A的特征值 1=1， 2=2， 3=-2，且 1=(1，-1，1) T是 A的属于 1的一个特征向量记 B=A5-4A3+E，其中 E为 3阶单位矩阵（分数：6.00）(1).验证 1是矩阵 B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量；（分数：3.00）_(2).求矩阵 B（分数：3.00）_考研数学一-线性代数矩阵的特征值和特征向

9、量(一)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B填空题/B(总题数：9，分数：15.00)1.设 A为 n阶矩阵，A0，A *为 A的伴随矩阵，E 为 n阶单位矩阵若 A有特征值 ，则(A *)2+E必有特征值是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解 因 为 A的特征值，故存在非零列向量 X，使AX=X两端左乘 A*并利用 A*A=AE，得AX=A *X因为 A可逆，故 0，两端同乘*，得*两端左乘 A*，得*两端同加 X，得*由定义即知*为(A *)2+E的一个特征值本题主要考查特征值和特征向量的定义与性质如果可逆方阵 A有特征值 ，则*为 A-1的特

10、征值，*为 A*的特征值，这是常常用到的一个性质如果 为方阵 B的特征值，f(B)为 B的多项式，则 f()为f(B)的特征值这些结论都可以利用特征值和特征向量的定义推出来更进一步，有：如果 1， 2， n为 n阶方阵 B的全部特征值，则 f( 1)，f( 2)，f( n)为方阵 f(B)的全部特征值利用这些结论，就很容易写出本题答案来：令多项式 f(x)=x2+1，则(A *)2+E=f(A*)因为 A*有特征值*，故 f(A*)有特征值*2.设 n阶矩阵 A的元素全为 1，则 A的 n个特征值是_（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： 1=n， 2= 3= = n=0）解析：解 由

11、*=(-n) n-1=0即得 A的特征值为 1=n， 2= 3= = n=0本题考查特征值的概念及简单”阶行列式的计算做本题时，可以只计算 n=2(或 n=3)的情形，并由此类推出 n阶的情形3.设 A为 2阶矩阵， 1， 2为线性无关的 2维向量，A 1=0，A 2=2 1+ 2，则 A的非零特征值为_（分数：2.00）解析：解 1 由 1， 2线性无关，知 2 1+ 20，又由已知条件知 A(2 1+ 2)=2A 1+A 2=0+2 1+ 2=2 1+ 2=1(2 1+ 2)，于是由定义知 =1 为 A的一个特征值且 2 1+ 2为对应的一个特征向量解 2 由条件知方阵 P= 1， 2可逆

12、，且AP=A 1， 2=A 1，A 2=0，2 1+ 2*，两端左乘 P-1，得*，即 A与 D相似，因为相似矩阵有相同的特征值，而容易求得 D的特征值为0，1因此 A的非零特征值为 1本题综合考查线性无关、特征值与特征向量的基本概念注意本题解 1没有涉及到方阵 A的阶数及向量 1， 2的维数，而解 2用到 1， 2为方阵、即 1， 2为 2维列向量的条件，因此解 1更具一般性4.若 3维列向量 ， 满足 T=2，其中 T为 的转置，则矩阵 T的非零特征值为_.（分数：2.00）解析：解 1 由于 T=2，故 0，且有( T)=( T)=2，于是由特征值与特征向量的定义，知 2为方阵 T的一个

13、特征值且 为对应的一个特征向量下面还可证明方阵 T只有一个非零特征值首先可证方阵 T的秩为 1：由 T0 知 r( T)1，又由 r( T)r()=1，知 r( T)=1，故 0为 T的特征值其次可证 0为 T的 2重特征值：由于齐次线性方程组(0- T)x=0的基础解系所含向量的个数即方阵 T的属于特征值 0的线性无关特征向量的个数=3-r( T)=3-1=2，所以 0至少是 T的 2重特征值，但不会是 3重特征值(否则 T=0)既然 3阶方阵 T有 2重特征值 0，因此其非零特征值就只能有一个解 2 同解 1可证 3阶方阵 T的特征值为 1= 2=0， 30设 =(a 1，a 2，a 3)

14、T，=(b 1，b 2，b 3)T，则*利用方阵所有特征值之和等于方阵主对角元之和，得方阵 T的非零特征值为 3=0+0+ 3=b1a1+b2a2+b3a3= T= T=2解 3 同解 2，具体写出矩阵 A= T，下面利用定义求 A的特征值由于 0，0，不妨设a1b10*由此得 A的特征值为 1= 2=0，*，故 A的非零特征值为 2本题主要考查矩阵的运算、特征值与特征向量的定义与性质当然，作为填空题，在求出 A的一个非零特征值之后，即可完成本题，因此本题解 1最为简单5.设 1=(1，2，0) T和 2=(1，0，1) T都是方阵 A的对应于特征值 2的特征向量，又 =(-1，2-2) T，

15、则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：A=2=(-2，4，-4) T）解析：= 1-2 2也是 A的属于特征值 2的特征向量，故 A=2=(-2，4，-4) T6.设 1、 2为 n阶实对称矩阵 A的两个不同特征值，X 1为对应于 1的一个单位特征向量，则矩阵 B=（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：0， 2）解析：设 X2是 A的属于 2的一个特征向量，则 BX1=AX1-*= 1X1- 1X1=0=0X1，BX 2=AX2-*=AX2- 1X10=AX2= 2X2故 B有特征值 0和 27.设 4阶矩阵 A与 B相似，矩阵 A的特征值为 （分数：1.00）填空

16、项 1:_ （正确答案：24）解析：B 的特征值为*，B -1的特征值为 2，3，4，5，B -1-E的特征值为 1，2，3，4，方阵的全部特征值的乘积等于方阵的行列式，故B -1-E=1234=248.设 3阶矩阵 A的特征值为 ，则行列式 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：1620）解析：A=*，A *=AA -1=*，*+12A *-E=2(A-1)2+A-1-E=f(A-1)，其中 f(x)=2x2+x-1，A -1的特征值为：2，2，3，故 f(A-1)的特征值为：f(2)=9，f(2)=9，f(3)=20，故f(A -1)=9920=16209.设向量 =(1，0，-1

17、) T，矩阵 A= T，a 为常数，n 为正整数，则行列式aE-A n= 1（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：a 2(a-2n)）解析：实对称矩阵 A的特征值为 0，0，2，故存在可逆矩阵 P，使*P -1(aE-An)P=aE-P-1AnP=aE-(P-1AP)n=*，两端取行列式，得aE-A n=a 2(a-2n)二、B选择题/B(总题数：8，分数：16.00)10.设 1， 2是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1，A( 1+ 2)线性无关的充分必要条件是_ A. 10 B. 20 C. 1=0 D. 2=0（分数：2.00）A.B. C.D.解

18、析：解 1 由 1 2及特征值的性质知 1， 2线性无关显然，向量组 1，A( 1+ 2)= 1， 1 1+ 2 2等价于向量组 1， 2 2当 20 时，它线性无关，当 2=0时，它线性相关，故 1，A( 1+ 2)线性无关* 20解 2 由条件知 1， 2线性无关，而 1，A( 1+ 2)= 1， 1 1+ 2 2=*由于用列满秩矩阵左乘矩阵不改变矩阵的秩，得 1，A( 1+ 2)线性无关*本题综合考查线性无关的概念及特征值的性质11.设 A为 4阶实对称矩阵，且 A2+A=O若 A的秩为 3，则 A相似于_ABCD （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解 1 设 为 A的特征值且

19、为对应的特征向量，则有 Am= m(m=1，2，)，故有(A2+A)=O=0，即 ( 2+A)=0，因 0，得 2+=O，从而有 =0 或 =-1，又因 r(A)=3，所以 A的非零特征值有 3个，有 1个特征值为 0，即 A的全部特征值为：-1，-1，-1，0，所以只有选项 D正确解 2 设 A按列分块为 A= 1 2 3 4，由 r(A)=3，知 A的列向量组的极大无关组含 3个向量，不妨设 1， 2， 3是 A的列向量组的极大无关组由于 A2=-A，即A 1 2 3 4=- 1 2 3 4，即 A 1 A 2 A 3 A 4=- 1 - 2 - 3 - 4，得 A j=-，j=1，2，3

20、，4由此可知-1 是 A的特征值值且 1， 2， 3为对应的 3个线性无关的特征向量，故-1 至少是 A的 3重特征值而 r(A)=34，知 O也是 A的一个特征值于是知 A的全部特征值为：-1，-1，-1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故 A相似于对角矩阵 D=diag(-1，-1，-1，0)，故选项 D正确本题综合考查特征值与特征向量的概念与性质、方阵相似于对角矩阵的概念与条件注意解 1的方法要用到 A为实对称矩阵这一条件，因为实对称矩阵必可对角化，而且对于可对角化的方阵 A来讲，A 的非零特征值的个数正好等于 A的秩而本题解 2的方法适用面更宽，它不需

21、要 A为实对称矩阵这一假定，即本题若去掉“A 为实对称矩阵”的条件，结论仍然成立12.矩阵 与 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解 B 为对角矩阵，B 的特征值为其主对角线元素 2，b，0若 A与 B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知 2为 A的一个特征值，从而有 *， 由此得 a=0当 a=0时，矩阵 A的特征多项式为 *， 由此得 A的全部特征值为 2，b，0以下可分两种情形： 情形 1：若 b为任意实数，则 A为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时A必相似于 B综上可知，A 与 B相似的充分必要条件为 a=0

22、，b 为任意常数所以只有选项 B正确 情形 2：若 b是任意复数而不是实数，则 3阶矩阵 A有 3个互不相同的特征值，因此 A必相似于对角矩阵B只有选项 B正确 本题综合考查方阵与对角矩阵相似的条件及特征值的计算本题当 a=0，b=2 时，A有 2重特征值 2，此时可验证矩阵*的秩为 1，从而知对应于 A的 2重特征值 2，有 2个线性无关的特征向量，而另一特征值 0为单特征值，所以此时 A必相似于对角矩阵 B，但实际上没有必要做这个验证，因为此时 A为实对称矩阵，A 必相似于对角矩阵同样当 a=0，b=0 时，也不需验证矩阵-A 的秩是否为113.与矩阵 相似的矩阵是_ A B C D （分

23、数：2.00）A.B.C. D.解析：A 与对角矩阵 D相似*A 的特征值为 1= 2=1， 3=2，且 A的对应于 2重特征值 1的线性无关特征向量的个数为 2。后一条件即方程组(E-A)x=0 的基础解系含 2个向量，即 3-r(E-A)=2，或 r(E-A)=1，经验证，只有备选项 C中的矩阵满足上述要求14.n阶方阵 A有 n个两两不同特征值是 A与对角矩阵相似的_ A.充分必要条件 B.充分而非必要的条件 C.必要而非充分条件 D.既非充分也非必要条件（分数：2.00）A.B. C.D.解析：15.设 A、B 为同阶方阵，则 A与 B相似的充分条件是_ A.秩(A)=秩(B) B.A

24、=B C.A、B 有相同的特征多项式 D.A、B 有相同的特征值 1， 2， n且 1， 2， n两两不同（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：当 n阶方阵有 n个互不相同特征值时，它也相似于对角矩阵故在选项 D的条件下，存在适当的可逆矩阵 P、Q，使 P-1AP=D，Q -1BQ=D其中 D=diag( 1， 2， n)为对角矩阵故有 P-1AP=Q-1BQ，*QP-1APQ-1=B，*(PQ -1)-1A(PQ-1)=B，记矩阵 M=PQ-1，则 M可逆，且使 M-1AM=B，所以在选项 D的条件下，A与 B必相似。16.设 n阶矩阵 A与 B相似，E 为 n阶单位矩阵，则_ A.E-

25、A=E-B B.A和 B有相同的特征值和特征向量 C.A和 B都相似于同一个对角矩阵 D.对任意常数 t，tE-A 与 tE-B都相似（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：当 A与 B相似时，有可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，故 P-1(tE-A)P=P-1tEP-P-1AP=tE-B，即 tE-A与 tE-B相似，故选项 D正确实际上，若 A与 B相似，则对任何多项式 f，f(A)与 f(B)必相似17.设 A为 n阶可逆矩阵 A的一个特征根，则 A的伴随矩阵 A*的特征根之一是_ A. -1A B. -1A C.A D.A（分数：2.00）A.B. C.D.解析：由条件，存在非零列向

26、量 x，使 Ax=x，两端左乘 A*并利用 A*A=AE，得Ax=A xx，因 A可逆，故 A的特征值 0，两端乘*，得*，故由定义知*为 A*的一个特征值且 x为对应的一个特征向量只有 B正确三、B解答题/B(总题数：9，分数：69.00)已知矩阵与 （分数：6.00）(1).求 x与 y；（分数：3.00）_正确答案：(解 1 因 A与 B相似，故E-A=E-B，即*亦即 (-2)( 2-x-1)=(-2) 2+(1-y)-y，比较上式两端关于 的同次幂的系数，得 x=0，y=1解 2 由 B知 A的全部特征值为 1=2， 2=y， 3=-1，利用特征值的性质，得*解之即得 x=0，y=1

27、)解析：考查相似方阵的性质利用 A与 B相似，从而 A与 B的特征多项式(特征值)相同，由此就可确定 A及 B中的待定参数，其方法具有普遍性，解 2虽然简便，但应注意要确定两个未知数，需要两个独立方程，所以解 2的方法有时会失效(2).求一个满足 P-1AP=B的可逆矩阵 P（分数：3.00）_正确答案：(有*计算可得 A的对应于特征值 2，1，-1 的特征向量分别可取为*因 p1，p 2，p 3是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关令矩阵*则 P可逆，且有 P-1AP=B)解析：主要考查如何求化 A为对角矩阵的相似变换矩阵 P，属于常见的基本计算题，这也就是求 n阶矩阵A的 n个线性无关

28、的特征向量应注意的是，本题中 A的相似对角矩阵 B已经给定，因而 P的列向量的排列次序必须与 B的主对角线上元素的排列次序对应一致假设 为 n阶可逆矩阵 A的一个特征值，证明：（分数：6.00）(1). （分数：3.00）_正确答案：(证 由已知，有非零向量 满足 A=，两端左乘 A-1，得 =A -1因 0，故0，于是有*，由定义即知*为 A-1的一个特征值( 为对应的一个特征向量)解析：(2). （分数：3.00）_正确答案：(由于*，于是由(1)有*，从而有*，所以*为 A*的特征值)解析：本题主要考查特征值与特征向量的定义亦可利用特征方程证明：若 为可逆方阵 A的特征值，则有E-A=0

29、，故必有 0(否则 =0，则有-A=0，即A=0，这与 A可逆矛盾)，于是有*，因此 A与 A-1的特征值按“倒数”关系形成一一对应设 3阶矩阵 A的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，对应的特征向量依次为 又向量 （分数：9.00）(1).将 用 1， 2， 3线性表出（分数：3.00）_正确答案：(解 设 =x 1 1+x2 2+x3 3，即*由*得唯一解 x1=2，x 2=-2，x 3=1，故 =2 1一 2 2+ 3)解析：(2).求 An(n 为自然数)（分数：3.00）_正确答案：(解 1 An=A n(2 1一 2 2+ 3)由于 *，(i=1，2，3)故 A n=3A n 1

30、-2An 2+An 3=*解 2*，其中 P= 1 2 3)解析：本题考查线性表出的概念与方程组的求解综合考查特征值与特征向量的概念、性质及应用注意解 2中不必求出 P-1，因为由已有*代入 An 时由 P-1P=E就简化了运算，可见作矩阵运算时先作“字母”运算进行化简是十分必要的(3).设 3阶实对称矩阵 A的特征值为 1=-1， 2= 3=1，对应于 1的特征向量为 1=(0，1，1) T，求A（分数：3.00）_正确答案：(解 对应于 2= 3=1有两个线性无关的特征向量 2， 3，它们都与 1正交，故可取*现取*，则 T-1=TT*本题考查实对称矩阵的性质、齐次线性方程组的基础解系的求

31、法及方阵对角化的应用现再对几个有关问题加以说明：(1)关于属于 2= 3=1的特征向量的求法：设*为属于 2= 3=1的特征向量，则由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交的性质，有 1X，即 0x1+x2+x3=0，其系数矩阵为0 1 1，它的秩为 1，因此对应齐次线性方程含 1个约束未知量，若取 x2为约束未知量，则余下来的未知量 x1和x3就是自由未知量，分别令 x1=1，x 3=0和 x1=0，x 3=-1，代入由自由未知量表示的通解 x2=0x1-x3，即得基础解系：* 2和 3就是属于 2= 3=1的线性无关特征向量不少考生由方程 x2+x3=0只能求到一个非零解，常常求不出

32、1，其原因就在于没有掌握上述“先选取约束未知量，从而选取自由未知量，进而求出基础解系”的方法(2)如果令矩阵 P= 1 2 3，则 P可逆(但不是正交阵)，使 P-1AP=D，于是可由 A=PDP-1解出 A来，但需要求一个逆矩阵，因此不如题解中的解法简单)解析：已知 是矩阵 （分数：9.00）(1).试确定参数 a、b 及特征向量 所对应的特征值；（分数：3.00）_正确答案：(解 由 * 即* 解得 a=-3，b=0，=-1)解析：(2).问 A能否相似于对角阵?说明理由（分数：3.00）_正确答案：(由 * 知 =-1 是 A的 3重特征值 但 * 从而 =-1 对应的线性无关特征向量只

33、有 1个，故 A不能相似于对角阵)解析：本题主要考查特征值与特征向量的定义，特征值的计算及方阵相似于对角阵的条件注意，如果方阵 A的特征值都是单特征值，则 A必相似于对角阵；如果 A有重特征值，则 A相似于对角阵*对应于 A的每个特征值的线性无关特征向量个数，正好等于该特征值的重数(3).设矩阵（分数：3.00）_正确答案：(解 由题设，有A*= 0两端左乘 A，并利用 AA*=AE=-E(已知A=-1)，得-= 0A即*由此可得*解之得 0=1，b=-3，a=c由A=-1 和 a=c，有*故 a-c=2因此 a=2，b=-3，c=2， 0=1)解析：本题综合考查特征值与特征向量、伴随矩阵、矩

34、阵乘法、向量相等等概念，以及行列式的计算注意，本题将 A*= 0 变形为 0A=- 是计算的关键，否则，若直接由 A*= 0 来计算，计算量将很大(读者可以一试)某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 xn和 yn，记成向量 （分数：9.00）(1).求 与 的关系式并写成矩阵形式： （分数：3.00）_正确答案：(解 由题设，有 * 化简得 * 即 * 于是 *)解析：(2).验证 （分数：3.00）_正确答案：(由于 1与 2的对应分量不成比例，故 1与 2线性无关因*，故 1为 A的特征向量，且相应的特征值为 1=1因*故 2为 A的特征向量，且相应的特征值为*)解析：(3).当 ，求 （分数：3.00）_