(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习第八章解析几何第六节直线与圆锥曲线讲义(含解析).doc
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1、1第六节 直线与圆锥曲线突破点一 直线与圆锥曲线的位置关系基 本 知 识 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax By C0( A, B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x, y)0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量x(或变量 y)的一元方程即由Error! 消去 y,得 ax2 bx c0.(1)当 a0 时,设一元二次方程 ax2 bx c0 的根的判别式为 ,则Error!(2)当 a0, b0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交,且只有一个交点,此时,若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平行;若 C
2、 为抛物线,则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ,错的打“”)(1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是:直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点( )(2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是:直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点( )(3)直线 l 与抛物线 C 相切的充要条件是:直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点( )答案:(1) (2) (3)二、填空题1设抛物线 y28 x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是_答案:1,12已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 y21 的右
3、焦点,交椭圆于 A, B 两点,弦 AB 的x24长为_答案:853双曲线 1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 平行于双曲线的一条渐近线x29 y216的直线与双曲线交于点 B,则 AFB 的面积为_答案:32152典例 (1)(2019河南九校联考)已知直线 y kx t 与圆 x2( y1) 21 相切且与抛物线 C: x24 y 交于不同的两点 M, N,则实数 t 的取值范围是( )A(,3)(0,)B(,2)(0,)C(3,0)D(2,0)(2)若过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y24 x 仅有一个公共点,则这样的直线有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析 (1
4、)因为直线与圆相切,所以 1,即 k2 t22 t.将直线方程代入抛物|t 1|1 k2线方程并整理得 x24 kx4 t0,于是 16 k216 t16( t22 t)16 t0,解得 t0或 t3.选 A.(2)结合图形(图略)分析可知,满足题意的直线共有 3 条,分别为直线 x0,直线y1 以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x0)故选 C.答案 (1)A (2)C方法技巧直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x, y 的方程组,消去 y(或 x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标(2)几何法:即画出
5、直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数提醒 联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论二次项系数是否为零的情况 针对训练1若直线 mx ny4 和圆 O: x2 y24 没有交点,则过点( m, n)的直线与椭圆 x291 的交点个数为( )y24A至多一个 B2C1 D0解析:选 B 直线 mx ny4 和圆 O: x2 y24 没有交点,圆心到直线的距离3d 2, m2 n24. 1 m21,点( m, n)在椭圆4m2 n2 m29 n24 m29 4 m24 536 1 的内部,过点( m, n)的直线与椭圆 1 的交点有 2 个x29 y24 x29 y242双曲线 C: 1(
6、 a0, b0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且斜率为 k,x2a2 y2b2则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A k B kba baC k 或 k D kba ba ba ba解析:选 D 由双曲线渐近线的几何意义知 k .ba ba突破点二 圆锥曲线中弦长及中点弦问题基 本 知 识 圆锥曲线的弦长公式设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A, B 两点, A(x1, y1), B(x2, y2),则|AB| |x1 x2|1 k2 |y1 y2|1 k2 x1 x2 2 4x1x21 1k2 .1 1k2 y1 y2 2 4y1y2基
7、 本 能 力 一、判断题(对的打“” ,错的打“”)(1)如果直线 x ty a 与圆锥曲线相交于 A(x1, y1), B (x2, y2)两点,则弦长| AB| |y1 y2|.( )1 t2(2)过抛物线 y22 px(p0)焦点的弦中最短弦的弦长是 2p.( )答案:(1) (2)二、填空题1顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上的抛物线,截直线 2x y10 所得的弦长为 ,15则抛物线方程为_答案: y212 x 或 y24 x42椭圆 x24 y216 被直线 y x1 截得的弦长为_12答案: 353过双曲线 1 的一个焦点作 x 轴的垂线,则垂线与双曲线的一个交点到两x2144 y
8、225焦点的距离分别为_答案: ,2512 31312全 析 考 法 考法一 弦长问题 例 1 (2019孝义模拟)已知椭圆 C: 1( a b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1, F2,且点 F1到椭圆 C 上任意一点的最大距离为 3,椭圆 C 的离心率为 .12(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)是否存在斜率为1 的直线 l 与以线段 F1F2为直径的圆相交于 A, B 两点,与椭圆相交于 C, D,且 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由|CD|AB| 837解 (1)根据题意,设 F1, F2的坐标分别为( c,0),( c,0),由题意可得Error!解得 a
9、2, c1,则 b2 a2 c23,故椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)假设存在斜率为1 的直线 l,设为 y x m,由(1)知 F1, F2的坐标分别为(1,0),(1,0),所以以线段 F1F2为直径的圆为 x2 y21,由题意知圆心(0,0)到直线 l 的距离 d 1,| m|2得| m| .2|AB|2 2 ,1 d21 m22 2 2 m2联立得Error! 消去 y,得 7x28 mx4 m2120,由题意得 (8 m)247(4 m212)33648 m248(7 m2)0,解得 m27,设 C(x1, y1), D(x2, y2),则 x1 x2 , x1x2
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