圆锥曲线常用结论总结.pdf

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1、第1页共12页圆 锥 曲 线 及 其 常 用 结 论1 椭 圆（ 1） 椭 圆 概 念平 面 内 与 两 个 定 点 1F 、 2F 的 距 离 的 和 等 于 常 数 2a（ 大 于 21| |FF ） 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆 。 这 两 个 定 点 叫 做 椭 圆的 焦 点 ， 两 焦 点 的 距 离 2c叫 椭 圆 的 焦 距 。 若 M 为 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 则 有 21| | | | 2MF MF a 。椭 圆 的 标 准 方 程 为 ： 2 22 2 1x ya b （ 0a b ） （ 焦 点 在 x 轴 上 ） 或 12222 bxay （ 0a b

2、） （ 焦 点 在 y 轴上 ） 。注 ： 以 上 方 程 中 ,a b的 大 小 0a b ， 其 中 2 2 2b a c ； 在 2 22 2 1x ya b 和 2 22 2 1y xa b 两 个 方 程 中 都 有 0a b 的 条 件 ， 要 分 清 焦 点 的 位 置 ， 只 要 看 2x 和 2y 的 分母 的 大 小 。 例 如 椭 圆 2 2 1x ym n （ 0m ， 0n ， m n ） 当 m n 时 表 示 焦 点 在 x轴 上 的 椭 圆 ； 当 m n 时表 示 焦 点 在 y 轴 上 的 椭 圆 。（ 2） 椭 圆 的 性 质 范 围 ： 由 标 准 方

3、程 2 22 2 1x ya b 知 | |x a ， | |y b ， 说 明 椭 圆 位 于 直 线 x a ， y b 所 围 成 的 矩 形 里 ； 对 称 性 ： 在 曲 线 方 程 里 ， 若 以 y 代 替 y 方 程 不 变 ， 所 以 若 点 ( , )x y 在 曲 线 上 时 ， 点 ( , )x y 也 在 曲 线 上 ，所 以 曲 线 关 于 x轴 对 称 ， 同 理 ， 以 x 代 替 x方 程 不 变 ， 则 曲 线 关 于 y 轴 对 称 。 若 同 时 以 x 代 替 x， y 代 替 y方 程 也 不 变 ， 则 曲 线 关 于 原 点 对 称 。所 以 ，

4、 椭 圆 关 于 x轴 、 y 轴 和 原 点 对 称 。 这 时 ， 坐 标 轴 是 椭 圆 的 对 称 轴 ， 原 点 是 对 称 中 心 ， 椭 圆 的 对 称 中 心叫 椭 圆 的 中 心 ； 顶 点 ： 确 定 曲 线 在 坐 标 系 中 的 位 置 ， 常 需 要 求 出 曲 线 与 x轴 、 y 轴 的 交 点 坐 标 。 在 椭 圆 的 标 准 方 程 中 ， 令0x ， 得 y b ， 则 1(0, )B b ， 2(0, )B b 是 椭 圆 与 y 轴 的 两 个 交 点 。 同 理 令 0y 得 x a ， 即 1( ,0)A a ，2( ,0)A a 是 椭 圆 与

5、x轴 的 两 个 交 点 。所 以 ， 椭 圆 与 坐 标 轴 的 交 点 有 四 个 ， 这 四 个 交 点 叫 做 椭 圆 的 顶 点 。同 时 ， 线 段 21A A 、 21B B 分 别 叫 做 椭 圆 的 长 轴 和 短 轴 ， 它 们 的 长 分 别 为 2a和 2b， a和 b分 别 叫 做 椭 圆 的 长第2页共12页半 轴 长 和 短 半 轴 长 。由 椭 圆 的 对 称 性 知 ： 椭 圆 的 短 轴 端 点 到 焦 点 的 距 离 为 a； 在 2 2Rt OB F 中 ， 2| |OB b ， 2| |OF c ， 2 2| |B F a ，且 2 2 22 2 2

6、2| | | | | |OF B F OB ， 即 2 2 2c a b ； 离 心 率 ： 椭 圆 的 焦 距 与 长 轴 的 比 ce a 叫 椭 圆 的 离 心 率 。 0a c ， 0 1e ， 且 e越 接 近 1， c就越 接 近 a， 从 而 b 就 越 小 ， 对 应 的 椭 圆 越 扁 ； 反 之 ， e越 接 近 于 0 ， c就 越 接 近 于 0 ， 从 而 b 越 接 近 于 a， 这 时椭 圆 越 接 近 于 圆 。 当 且 仅 当 a b 时 ， 0c ， 两 焦 点 重 合 ， 图 形 变 为 圆 ， 方 程 为 2 2 2x y a 。2 双 曲 线（ 1）

7、双 曲 线 的 概 念平 面 上 与 两 点 距 离 的 差 的 绝 对 值 为 非 零 常 数 的 动 点 轨 迹 是 双 曲 线 （ 1 2| | | | 2PF PF a ） 。注 意 ： 式 中 是 差 的 绝 对 值 ， 在 1 20 2 | |a FF 条 件 下 ； 1 2| | | | 2PF PF a 时 为 双 曲 线 的 一 支 ；2 1| | | | 2PF PF a 时 为 双 曲 线 的 另 一 支 （ 含 1F 的 一 支 ） ； 当 1 22 | |a FF 时 ， 1 2| | | | 2PF PF a 表 示 两 条 射线 ； 当 1 22 | |a FF

8、时 ， 1 2| | | | 2PF PF a 不 表 示 任 何 图 形 ； 两 定 点 1 2,F F 叫 做 双 曲 线 的 焦 点 ， 1 2| |FF 叫 做焦 距 。（ 2） 双 曲 线 的 性 质 范 围 ： 从 标 准 方 程 12222 byax ， 看 出 曲 线 在 坐 标 系 中 的 范 围 ： 双 曲 线 在 两 条 直 线 ax 的 外 侧 。 即22 ax ， ax 即 双 曲 线 在 两 条 直 线 ax 的 外 侧 。 对 称 性 ： 双 曲 线 12222 byax 关 于 每 个 坐 标 轴 和 原 点 都 是 对 称 的 ， 这 时 ， 坐 标 轴 是

9、双 曲 线 的 对 称 轴 ， 原 点是 双 曲 线 12222 byax 的 对 称 中 心 ， 双 曲 线 的 对 称 中 心 叫 做 双 曲 线 的 中 心 。 顶 点 ： 双 曲 线 和 对 称 轴 的 交 点 叫 做 双 曲 线 的 顶 点 。 在 双 曲 线 12222 byax 的 方 程 里 ， 对 称 轴 是 ,x y轴 ， 所以 令 0y 得 ax ， 因 此 双 曲 线 和 x轴 有 两 个 交 点 )0,()0,( 2 aAaA ， 他 们 是 双 曲 线 12222 byax 的 顶 点 。令 0x ， 没 有 实 根 ， 因 此 双 曲 线 和 y 轴 没 有 交

10、点 。1） 注 意 ： 双 曲 线 的 顶 点 只 有 两 个 ， 这 是 与 椭 圆 不 同 的 （ 椭 圆 有 四 个 顶 点 ） ， 双 曲 线 的 顶 点 分 别 是 实 轴 的 两 个第3页共12页端 点 。2） 实 轴 ： 线 段 2AA 叫 做 双 曲 线 的 实 轴 ， 它 的 长 等 于 2 ,a a叫 做 双 曲 线 的 实 半 轴 长 。 虚 轴 ： 线 段 2BB 叫 做 双曲 线 的 虚 轴 ， 它 的 长 等 于 2 ,b b叫 做 双 曲 线 的 虚 半 轴 长 。 渐 近 线 ： 注 意 到 开 课 之 初 所 画 的 矩 形 ， 矩 形 确 定 了 两 条 对

11、 角 线 ， 这 两 条 直 线 即 称 为 双 曲 线 的 渐 近 线 。 从图 上 看 ， 双 曲 线 12222 byax 的 各 支 向 外 延 伸 时 ， 与 这 两 条 直 线 逐 渐 接 近 。 等 轴 双 曲 线 ：1） 定 义 ： 实 轴 和 虚 轴 等 长 的 双 曲 线 叫 做 等 轴 双 曲 线 。 定 义 式 ： a b ；2） 等 轴 双 曲 线 的 性 质 ： （ 1） 渐 近 线 方 程 为 ： xy ； （ 2） 渐 近 线 互 相 垂 直 。注 意 以 上 几 个 性 质 与 定 义 式 彼 此 等 价 。 亦 即 若 题 目 中 出 现 上 述 其 一 ，

12、 即 可 推 知 双 曲 线 为 等 轴 双 曲 线 ， 同 时 其他 几 个 亦 成 立 。3） 注 意 到 等 轴 双 曲 线 的 特 征 a b ， 则 等 轴 双 曲 线 可 以 设 为 ： )0(22 yx ， 当 0 时 交 点 在 x轴 ，当 0 时 焦 点 在 y 轴 上 。 注 意 1916 22 yx 与 2 2 19 16y x 的 区 别 ： 三 个 量 , ,a b c中 ,a b不 同 （ 互 换 ） c相 同 ， 还 有 焦 点 所 在 的 坐 标轴 也 变 了 。3 抛 物 线（ 1） 抛 物 线 的 概 念平 面 内 与 一 定 点 F和 一 条 定 直 线

13、l 的 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 叫 做 抛 物 线 (定 点 F不 在 定 直 线 l 上 )。 定 点 F 叫 做抛 物 线 的 焦 点 ， 定 直 线 l叫 做 抛 物 线 的 准 线 。方 程 022 ppxy 叫 做 抛 物 线 的 标 准 方 程 。注 意 ： 它 表 示 的 抛 物 线 的 焦 点 在 x轴 的 正 半 轴 上 ， 焦 点 坐 标 是 F（ 2p ,0） ， 它 的 准 线 方 程 是 2px ；（ 2） 抛 物 线 的 性 质一 条 抛 物 线 ， 由 于 它 在 坐 标 系 的 位 置 不 同 ， 方 程 也 不 同 ， 有 四 种 不 同 的 情

14、况 ， 所 以 抛 物 线 的 标 准 方 程 还 有 其他 几 种 形 式 ： pxy 22 ， pyx 22 ， pyx 22 .这 四 种 抛 物 线 的 图 形 、 标 准 方 程 、 焦 点 坐 标 以 及 准 线 方 程如 下 表 ：第4页共12页标 准 方 程 2 2( 0)y pxp 2 2( 0)y pxp 2 2( 0)x pyp 2 2( 0)x pyp图 形焦 点 坐 标 ( ,0)2p ( ,0)2p (0, )2p (0, )2p准 线 方 程 2px 2px 2py 2py 范 围 0x 0x 0y 0y 对 称 性 x轴 x轴 y 轴 y 轴顶 点 (0,0)

15、(0,0) (0,0) (0,0)离 心 率 1e 1e 1e 1e说 明 ： （ 1） 通 径 ： 过 抛 物 线 的 焦 点 且 垂 直 于 对 称 轴 的 弦 称 为 通 径 ； （ 2） 抛 物 线 的 几 何 性 质 的 特 点 ： 有 一 个 顶点 ， 一 个 焦 点 ， 一 条 准 线 ， 一 条 对 称 轴 ， 无 对 称 中 心 ， 没 有 渐 近 线 ； （ 3） 注 意 强 调 p 的 几 何 意 义 ： 是 焦 点 到 准 线的 距 离 。一 、 椭 圆 、 双 曲 线 、 抛 物 线 ： 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线定 义 1 到 两 定 点 F1,F2的 距 离

16、之和 为 定 值 2a(2a|F1F2|)的点 的 轨 迹2 与 定 点 和 直 线 的 距 离 之比 为 定 值 e 的 点 的 轨 迹 .（ 01） 与 定 点 和 直 线 的 距 离 相 等 的点 的 轨 迹 .轨 迹 条 件 点 集 ： (M MF1+ MF2=2a, F 1F2 2a. 点 集 ： M MF1 - MF2 .= 2a, F2F2 2a. 点 集 M MF =点 M 到 直线 l 的 距 离 .o F xyl o xyF l xy oFl第5页共12页图 形方程 标 准方 程 12222 byax ( ba 0) 12222 byax (a0,b0) pxy 22 参

17、数方 程为离心角）参数 ( sincos by ax为离心角）参数 ( tansec by ax pty ptx 22 2 (t为 参 数 )范 围 axa， byb |x| a， yR x0中 心 原 点 O（ 0， 0） 原 点 O（ 0， 0）顶 点 (a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b) (a,0), ( a,0) (0,0)对 称 轴 x 轴 ， y轴 ；长 轴 长 2a,短 轴 长 2b x轴 ， y 轴 ;实 轴 长 2a, 虚 轴 长 2b. x轴焦 点 F1(c,0), F2( c,0) F1(c,0), F2( c,0) )0,2( pF准 线 x= ca

18、2准 线 垂 直 于 长 轴 ， 且 在 椭 圆外 . x= ca2准 线 垂 直 于 实 轴 ， 且 在 两 顶 点 的内 侧 . x=- 2p准 线 与 焦 点 位 于 顶 点 两 侧 ，且 到 顶 点 的 距 离 相 等 .焦 距 2c （ c= 22 ba ） 2c （ c= 22 ba ）离 心 率 )10( eace )1( eace e=1【 备 注 1】 双 曲 线 ： 等 轴 双 曲 线 ： 双 曲 线 222 ayx 称 为 等 轴 双 曲 线 ， 其 渐 近 线 方 程 为 xy ， 离 心 率 2e .第6页共12页 共 轭 双 曲 线 ： 以 已 知 双 曲 线 的

19、虚 轴 为 实 轴 ， 实 轴 为 虚 轴 的 双 曲 线 ， 叫 做 已 知 双 曲 线 的 共 轭 双 曲 线 . 2222 byax 与 2222 byax 互 为 共 轭 双 曲 线 ， 它 们 具 有 共 同 的 渐 近 线 ： 02222 byax . 共 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方 程 ： )0(2222 byax 的 渐 近 线 方 程 为 02222 byax 如 果 双 曲 线 的 渐 近 线 为 0 byax 时 ，它 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 )0(2222 byax .【 备 注 2】 抛 物 线 ：（ 1） 抛 物 线 2y =2px(p0)的 焦

20、 点 坐 标 是 ( 2p ,0)， 准 线 方 程 x=- 2p ， 开 口 向 右 ； 抛 物 线 2y =-2px(p0)的 焦 点 坐标 是 (- 2p ,0)， 准 线 方 程 x= 2p ， 开 口 向 左 ； 抛 物 线 2x =2py(p0)的 焦 点 坐 标 是 (0, 2p )， 准 线 方 程 y=- 2p ， 开口 向 上 ；抛 物 线 2x =-2py（ p0） 的 焦 点 坐 标 是 （ 0,- 2p ） ， 准 线 方 程 y= 2p ， 开 口 向 下 .（ 2） 抛 物 线 2y =2px(p0)上 的 点 M(x0,y0)与 焦 点 F的 距 离 20 px

21、MF ； 抛 物 线 2y =-2px(p0)上 的 点 M(x0,y0)与 焦 点 F 的 距 离 02 xpMF （ 3） 设 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 2y =2px(p0)， 则 抛 物 线 的 焦 点 到 其 顶 点 的 距 离 为 2p ， 顶 点 到 准 线 的 距 离 2p ， 焦 点到 准 线 的 距 离 为 p.（ 4） 已 知 过 抛 物 线 2y =2px(p0)焦 点 的 直 线 交 抛 物 线 于 A、 B 两 点 ， 则 线 段 AB称 为 焦 点 弦 ， 设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 弦 长 AB = 21 xx +p 或 2sin2pA

22、B ( 为 直 线 AB 的 倾 斜 角 )， 221 pyy ， 2,4 1221 pxAFpxx ( AF叫 做 焦 半 径 ).-你 看 不 见 的 分 割 -划 重 点 ， 敲 黑 板 -椭 圆 的 常 用 结 论 ：1. 点 P 处 的 切 线 PT平 分 PF1F2在 点 P 处 的 外 角 .2. PT平 分 PF1F2在 点 P 处 的 外 角 ， 则 焦 点 在 直 线 PT 上 的 射 影 H 点 的 轨 迹 是 以 长 轴 为 直 径 的 圆 ， 除 去 长 轴 的两 个 端 点 .3. 以 焦 点 弦 PQ为 直 径 的 圆 必 与 对 应 准 线 相 离 .4. 以

23、焦 点 半 径 PF1为 直 径 的 圆 必 与 以 长 轴 为 直 径 的 圆 内 切 .5. 若 0 0 0( , )P x y 在 椭 圆 2 22 2 1x ya b 上 ， 则 过 0P 的 椭 圆 的 切 线 方 程 是 0 02 2 1x x y ya b .第7页共12页6. 若 0 0 0( , )P x y 在 椭 圆 2 22 2 1x ya b 外 ， 则 过 0P 作 椭 圆 的 两 条 切 线 切 点 为 P1、 P2， 则 切 点 弦 P1P2的 直 线 方 程 是0 02 2 1x x y ya b .7. 椭 圆 2 22 2 1x ya b (a b 0)的

24、 左 右 焦 点 分 别 为 F1， F2， 点 P为 椭 圆 上 任 意 一 点 1 2FPF ， 则 椭 圆 的 焦 点角 形 的 面 积 为 1 2 2 tan 2F PFS b .8. 椭 圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0） 的 焦 半 径 公 式1 0| |MF a ex , 2 0| |MF a ex ( 1( ,0)F c , 2( ,0)F c 0 0( , )M x y ).9. 设 过 椭 圆 焦 点 F作 直 线 与 椭 圆 相 交 P、 Q 两 点 ， A 为 椭 圆 长 轴 上 一 个 顶 点 ， 连 结 AP 和 AQ分 别 交 相 应 于 焦 点F

25、的 椭 圆 准 线 于 M、 N两 点 ， 则 MF NF.10. 过 椭 圆 一 个 焦 点 F 的 直 线 与 椭 圆 交 于 两 点 P、 Q, A1、 A2为 椭 圆 长 轴 上 的 顶 点 ， A1P 和 A2Q交 于 点 M， A2P 和 A1Q交 于 点 N， 则 MF NF.11. AB是 椭 圆 2 22 2 1x ya b 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M ),( 00 yx 为 AB的 中 点 ， 则 22OM AB bk k a ， 即02 02 ya xbKAB 。12. 若 0 0 0( , )P x y 在 椭 圆 2 22 2 1x ya b 内

26、， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 2 20 0 0 02 2 2 2x x y y x ya b a b ；【 推 论 】 ：1、 若 0 0 0( , )P x y 在 椭 圆 2 22 2 1x ya b 内 ， 则 过 Po的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 2 2 0 02 2 2 2x x y yx ya b a b 。 椭 圆 2 22 2 1x ya b （ a b o） 的 两 个 顶 点 为 1( ,0)A a , 2( ,0)A a ， 与 y轴 平 行 的 直 线 交 椭 圆 于 P1、 P2时 A1P1与 A2P2交 点 的 轨 迹 方

27、程是 2 22 2 1x ya b .2、 过 椭 圆 2 22 2 1x ya b (a 0, b 0)上 任 一 点 0 0( , )A x y 任 意 作 两 条 倾 斜 角 互 补 的 直 线 交 椭 圆 于 B,C两 点 ， 则 直线 BC 有 定 向 且 2 02 0BC b xk a y （ 常 数 ） .3、 若 P 为 椭 圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0） 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1, F 2是 焦 点 , 1 2PFF , 2 1PF F ，第8页共12页则 tan t2 2a c coa c .4、 设 椭 圆 2 22 2 1x

28、 ya b （ a b 0） 的 两 个 焦 点 为 F1、 F2,P（ 异 于 长 轴 端 点 ） 为 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 在 PF1F2中 ， 记1 2FPF , 1 2PFF , 1 2FF P ， 则 有 sinsin sin c ea .5、 若 椭 圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0） 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1、 F2， 左 准 线 为 L， 则 当 0 e 2 1 时 ， 可 在 椭 圆 上求 一 点 P， 使 得 PF1是 P到 对 应 准 线 距 离 d与 PF2的 比 例 中 项 .6、 P 为 椭 圆 2 22 2 1x ya b

29、 （ a b 0） 上 任 一 点 ,F1,F2为 二 焦 点 ， A 为 椭 圆 内 一 定 点 ， 则2 1 12 | | | | | | 2 | |a AF PA PF a AF ,当 且 仅 当 2, ,A F P三 点 共 线 时 ， 等 号 成 立 .7、 椭 圆 2 20 02 2( ) ( ) 1x x y ya b 与 直 线 0Ax By C 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是2 2 2 2 20 0( )A a B b Ax By C .8、 已 知 椭 圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0） ， O 为 坐 标 原 点 ， P、 Q 为 椭 圆 上 两

30、动 点 ， 且 OP OQ .（ 1）2 2 2 21 1 1 1| | | |OP OQ a b ;（ 2） |OP|2+|OQ|2的 最 大 值 为 2 22 24a ba b ;（ 3） OPQS 的 最 小 值 是 2 22 2a ba b .9、 过 椭 圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0） 的 右 焦 点 F 作 直 线 交 该 椭 圆 右 支 于 M,N两 点 ， 弦 MN的 垂 直 平 分 线 交 x轴 于 P，则 | | | 2PF eMN .10、 已 知 椭 圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0） ,A、 B、 是 椭 圆 上 的 两 点 ， 线

31、 段 AB的 垂 直 平 分 线 与 x轴 相 交 于 点 0( ,0)P x ,则 2 2 2 20a b a bxa a .11、 设 P 点 是 椭 圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0） 上 异 于 长 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1、 F2为 其 焦 点 记 1 2FPF ， 则(1) 21 2 2| | | 1 cosbPF PF .(2) 1 2 2 tan 2PF FS b .第9页共12页12、 设 A、 B 是 椭 圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0） 的 长 轴 两 端 点 ， P 是 椭 圆 上 的 一 点 ， PAB ,PBA , BPA

32、 ， c、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 ， 则 有 (1) 22 2 22 | cos | | sabPA a c co .(2)2tan tan 1 e .(3) 2 22 22 cotPAB a bS b a .13、 已 知 椭 圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0） 的 右 准 线 l与 x 轴 相 交 于 点 E， 过 椭 圆 右 焦 点 F 的 直 线 与 椭 圆 相 交 于 A、B两 点 ,点 C在 右 准 线 l上 ， 且 BC x 轴 ， 则 直 线 AC经 过 线 段 EF 的 中 点 .14、 过 椭 圆 焦 半 径 的 端 点 作 椭

33、 圆 的 切 线 ， 与 以 长 轴 为 直 径 的 圆 相 交 ， 则 相 应 交 点 与 相 应 焦 点 的 连 线 必 与 切 线 垂 直 .15、 过 椭 圆 焦 半 径 的 端 点 作 椭 圆 的 切 线 交 相 应 准 线 于 一 点 ， 则 该 点 与 焦 点 的 连 线 必 与 焦 半 径 互 相 垂 直 .16、 椭 圆 焦 三 角 形 中 ,内 点 到 一 焦 点 的 距 离 与 以 该 焦 点 为 端 点 的 焦 半 径 之 比 为 常 数 e(离 心 率 ).（ 注 :在 椭 圆 焦 三 角 形 中 ,非 焦 顶 点 的 内 、 外 角 平 分 线 与 长 轴 交 点

34、分 别 称 为 内 、 外 点 .）17、 椭 圆 焦 三 角 形 中 ,内 心 将 内 点 与 非 焦 顶 点 连 线 段 分 成 定 比 e.18、 椭 圆 焦 三 角 形 中 ,半 焦 距 必 为 内 、 外 点 到 椭 圆 中 心 的 比 例 中 项 .双 曲 线 的 常 用 结 论 ：1、 点 P 处 的 切 线 PT平 分 PF1F2在 点 P 处 的 内 角 .2、 PT平 分 PF1F2在 点 P处 的 内 角 ， 则 焦 点 在 直 线 PT上 的 射 影 H点 的 轨 迹 是 以 长 轴 为 直 径 的 圆 ， 除 去 长 轴 的 两个 端 点 .3、 以 焦 点 弦 PQ

35、为 直 径 的 圆 必 与 对 应 准 线 相 交 .4、 以 焦 点 半 径 PF1为 直 径 的 圆 必 与 以 实 轴 为 直 径 的 圆 相 切 .（ 内 切 ： P 在 右 支 ； 外 切 ： P在 左 支 ）5、 若 0 0 0( , )P x y 在 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 上 ， 则 过 0P 的 双 曲 线 的 切 线 方 程 是 0 02 2 1x x y ya b .6、 若 0 0 0( , )P x y 在 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 外 ， 则 过 Po 作 双 曲 线 的 两 条 切 线

36、切 点 为 P1、 P2， 则 切 点 弦P1P2的 直 线 方 程 是 0 02 2 1x x y ya b .7、 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b o） 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1， F2， 点 P 为 双 曲 线 上 任 意 一 点 1 2FPF ， 则 双 曲线 的 焦 点 角 形 的 面 积 为 1 2 2 t 2F PFS b co .8、 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b o） 的 焦 半 径 公 式 ： ( 1( ,0)F c , 2( ,0)F c ） 当 0 0( , )M x y 在 右 支 上 时 ，1 0|

37、|MF ex a , 2 0| |MF ex a ； 当 0 0( , )M x y 在 左 支 上 时 ， 1 0| |MF ex a , 2 0| |MF ex a 。第10页共12页9、 设 过 双 曲 线 焦 点 F作 直 线 与 双 曲 线 相 交 P、 Q 两 点 ， A 为 双 曲 线 长 轴 上 一 个 顶 点 ， 连 结 AP 和 AQ 分 别 交 相 应 于焦 点 F的 双 曲 线 准 线 于 M、 N 两 点 ， 则 MF NF.10、 过 双 曲 线 一 个 焦 点 F 的 直 线 与 双 曲 线 交 于 两 点 P、 Q, A1、 A2为 双 曲 线 实 轴 上 的

38、顶 点 ， A1P 和 A2Q交 于 点 M， A2P和 A1Q交 于 点 N， 则 MF NF.11、 AB 是 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 ， M ),( 00 yx 为 AB的 中 点 ， 则 02 02 ya xbKK ABOM ，即 02 02 ya xbKAB 。12、 若 0 0 0( , )P x y 在 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 2 20 0 0 02 2 2 2x x y y x ya b a b

39、 .13、 若 0 0 0( , )P x y 在 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 内 ， 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 2 2 0 02 2 2 2x x y yx ya b a b .【 推 论 】 ：1、 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 的 两 个 顶 点 为 1( ,0)A a , 2( ,0)A a ， 与 y 轴 平 行 的 直 线 交 双 曲 线 于 P1、 P2时A1P1与 A2P2交 点 的 轨 迹 方 程 是 2 22 2 1x ya b .2、 过 双 曲 线 2 22 2 1x ya

40、 b （ a 0,b o） 上 任 一 点 0 0( , )A x y 任 意 作 两 条 倾 斜 角 互 补 的 直 线 交 双 曲 线 于 B,C两 点 ，则 直 线 BC 有 定 向 且 2 02 0BC b xk a y （ 常 数 ） .3、 若 P 为 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 右 （ 或 左 ） 支 上 除 顶 点 外 的 任 一 点 ,F1, F 2是 焦 点 , 1 2PFF ,2 1PF F ， 则 tan t2 2c a coc a （ 或 tan t2 2c a coc a ） .4、 设 双 曲 线 2 22 2 1x ya b

41、（ a 0,b 0） 的 两 个 焦 点 为 F1、 F2,P（ 异 于 长 轴 端 点 ） 为 双 曲 线 上 任 意 一 点 ， 在 PF1F2中 ， 记 1 2FPF , 1 2PFF , 1 2FF P ， 则 有 sin(sin sin ) c ea .5、 若 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1、 F2， 左 准 线 为 L， 则 当 1 e 2 1 时 ， 可 在 双曲 线 上 求 一 点 P， 使 得 PF1是 P到 对 应 准 线 距 离 d与 PF2的 比 例 中 项 .第11页共12页6、 P 为 双

42、曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 上 任 一 点 ,F1,F2为 二 焦 点 ， A 为 双 曲 线 内 一 定 点 ， 则2 1| | 2 | | | |AF a PA PF ,当 且 仅 当 2, ,A F P三 点 共 线 且 P和 2,A F 在 y 轴 同 侧 时 ， 等 号 成 立 .7、 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 与 直 线 0Ax By C 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 2 2 2 2 2A a B b C .8、 已 知 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ b a 0） ， O 为 坐 标 原

43、 点 ， P、 Q 为 双 曲 线 上 两 动 点 ， 且 OP OQ .（ 1） 2 2 2 21 1 1 1| | | |OP OQ a b ;（ 2） |OP|2+|OQ|2的 最 小 值 为 2 22 24a bb a ;（ 3） OPQS 的 最 小 值 是 2 22 2a bb a .9、 过 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 的 右 焦 点 F作 直 线 交 该 双 曲 线 的 右 支 于 M,N两 点 ， 弦 MN的 垂 直 平 分 线 交x轴 于 P， 则 | | | 2PF eMN .10、 已 知 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （

44、 a 0,b 0） ,A、 B是 双 曲 线 上 的 两 点 ， 线 段 AB的 垂 直 平 分 线 与 x轴 相 交 于 点 0( ,0)P x ,则 2 20 a bx a 或 2 20 a bx a .11、 设 P 点 是 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 上 异 于 实 轴 端 点 的 任 一 点 ,F1、 F2为 其 焦 点 记 1 2FPF ， 则(1) 21 2 2| | | 1 cosbPF PF .(2) 1 2 2 cot 2PF FS b .12、 设 A、 B 是 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 的 长 轴

45、 两 端 点 ， P 是 双 曲 线 上 的 一 点 ， PAB ,PBA , BPA ， c、 e 分 别 是 双 曲 线 的 半 焦 距 离 心 率 ， 则 有 (1) 22 2 22 | cos | | | s |abPA a c co .(2) 2tan tan 1 e .(3) 2 22 22 cotPAB a bS b a .13、 已 知 双 曲 线 2 22 2 1x ya b （ a 0,b 0） 的 右 准 线 l与 x 轴 相 交 于 点 E， 过 双 曲 线 右 焦 点 F 的 直 线 与 双 曲 线 相交 于 A、 B 两 点 ,点 C 在 右 准 线 l上 ， 且

46、BC x 轴 ， 则 直 线 AC经 过 线 段 EF 的 中 点 .14、 过 双 曲 线 焦 半 径 的 端 点 作 双 曲 线 的 切 线 ， 与 以 长 轴 为 直 径 的 圆 相 交 ， 则 相 应 交 点 与 相 应 焦 点 的 连 线 必 与 切 线第12页共12页垂 直 .15、 过 双 曲 线 焦 半 径 的 端 点 作 双 曲 线 的 切 线 交 相 应 准 线 于 一 点 ， 则 该 点 与 焦 点 的 连 线 必 与 焦 半 径 互 相 垂 直 .16、 双 曲 线 焦 三 角 形 中 ,外 点 到 一 焦 点 的 距 离 与 以 该 焦 点 为 端 点 的 焦 半 径 之 比 为 常 数 e(离 心 率 ).(注 :在 双 曲 线 焦 三 角 形 中 ,非 焦 顶 点 的 内 、 外 角 平