2020高考数学刷题首选卷考点测试13函数模型及其应用理（含解析）.docx

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1、1考点测试 13 函数模型及其应用高考概览 高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 多 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 5分 ， 中 等 难 度考纲研读1了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用一、基础小题1甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A甲比乙先出发B乙比甲跑的路程多C甲、乙两人的速度相同D甲比乙先到达终点答案 D解析 由题图知，甲和乙

2、所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快2如图是张大爷晨练时离家的距离( y)与行走时间( x)之间的函数关系的图象若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )答案 D2解析 根据图象可得，张大爷先是离家越来越远，后离家距离保持不变，最后慢慢回家，符合的只有 D3国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在 280 万元及以下的税率为 p%，超过 280 万元的部分按( p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为( p025)%，则该公司的年收入是( )A560 万元 B420 万元 C350 万元 D320 万元答案 D解析 设该公

3、司的年收入为 a 万元，则 280p%( a280)( p2)% a(p025)%，解得 a 320故选 D28022 0.254某种动物的种群数量 y(单位：只)与时间 x(单位：年)的关系式为 y alog2(x1)，若这种动物第一年有 100 只，则到第 7 年它们发展到( )A300 只 B400 只 C500 只 D600 只答案 A解析 由题意，得 100 alog2(11)，解得 a100，所以 y100log 2(x1)，当x7 时， y100log 2(71)300，故到第 7 年它们发展到 300 只5设甲、乙两地的距离为 a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了 20

4、 min，在乙地休息 10 min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了 30 min，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 与其所用的时间 x 的函数的图象为( )答案 D解析 由题意知小王在 020 min，3060 min 这两段时间运动的路程都在不断增加，在 2030 min 时，运动的路程不变故选 D6 f(x) x2， g(x)2 x， h(x)log 2x，当 x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A f(x)g(x)h(x) B g(x)f(x)h(x)C g(x)h(x)f(x) D f(x)h(x)g(x)答案 B3解析 画出三个函数的图象，如

5、下图所示，当 x(4，)时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故 g(x)f(x)h(x)7某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前 5 天监测到的数据：第 x 天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量 y/台 12 24 49 95 190则下列函数模型中能较好地反映在第 x 天被感染的数量 y 与 x 之间的关系的是( )A y12 x B y6 x26 x12C y62 x D y12log 2x12答案 C解析 由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约是前一天的 2 倍，故增长速度符合指数型函数，故选 C8已知甲、乙两种商品在过

6、去一段时间内的价格走势如图所示假设某商人持有资金120 万元，他可以在 t1至 t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)如果他在 t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A40 万元 B60 万元C120 万元 D140 万元答案 C解析 甲 6 元时该商人全部买入甲商品，可以买 120620(万份)，在 t2时刻全部卖出，此时获利 20240(万元)，乙 4 元时该商人买入乙商品，可以买(12040)4440(万份)，在 t4时刻全部卖出，此时获利 40280(万元)，共获利4080120(万元)故选 C9某公司为了实现 1000 万元销售利润的目标，

7、准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随销售利润 x 的增加而增加，但奖金不超过 5 万元，同时奖金不超过销售利润的 25%，则下列函数最符合要求的是( )A y x B ylg x114C y x D y32 x答案 B解析 由题意知， x10，1000，符合公司要求的模型需同时满足：函数为增函数；函数的最大值不超过 5； y x25%对于 y x，易知满足，但当 x20 时， y5，14不满足要求；对于 y x，易知满足，因为 45，故当 x4 时，不满足要求；对于32 32y ，易知满足，但当 x25 时， y5，

8、不满足要求；对于 ylg x1，易知满足，x当 x10，1000时，2 y4，满足，再证明 lg x1 x25%，即 4lg x4 x0，设 F(x)4lg x4 x，则 F( x) 1200，则 lg 130(112%) n1 lg 200，lg 130( n1)lg 112lg 22，2lg 13( n1)lg 112lg 22，0 11( n1)005030，解得n 245又 nN *， n5，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 2019年故选 B14(2015北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的

9、燃油效率情况下列叙述中正确的是( )6A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D某城市机动车最高限速 80 千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米，所以 A 错误对于 B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少对于 C 选项，甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L，故行驶 1 小时的路程

10、为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误对于 D 选项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以 D 正确15(2015四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系 ye kx b(e2718为自然对数的底数， k， b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是( )A16 小时 B20 小时 C24 小时 D28 小时答案 C解析 由题意得 即 所以该食品在 33 的保鲜时间是 ye 33k b(e 11k

11、)3eb 319224(小时)(12)16(2014湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A Bp q2 p 1q 1 12C D 1pq p 1q 1答案 D解析 设两年前的年底该市的生产总值为 a，则第二年年底的生产总值为 a(1 p)7(1 q)设这两年生产总值的年平均增长率为 x，则 a(1 x)2 a(1 p)(1 q)，由于连续两年持续增加，所以 x0，因此 x 1，故选 D1 p1 q17(2018浙江高考)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三

12、，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 x， y， z，则 当z81 时， x_， y_答案 8 11解析 把 z81 代入方程组，化简得 解得 x8， y1118(2014湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为 F 76000vv2 18v 20l(1)如果不限定车型， l605，则最大车流量为_辆/小时；(2)如果限定车型， l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/

13、小时答案 (1)1900 (2)100解析 (1)当 l605 时， F ，76000vv2 18v 206.05 F 1900，当且仅当 v ，即 v1176000vv2 18v 121 76000v 121v 18 760002v121v 18 121v时取“” 最大车流量 F 为 1900 辆/小时(2)当 l5 时， F ，76000vv2 18v 205 76000v 100v 18 F 2000，760002v100v 18当且仅当 v ，即 v10 时取“” 100v最大车流量比(1)中的最大车流量增加 20001900100 辆/小时三、模拟小题819(2018福建质检)当生物

14、死亡后，其体内原有的碳 14 的含量大约每经过 5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 当死亡生物体内的碳 14 含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了若某死亡生物体内的碳 14 用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A8 B9 C10 D11答案 C解析 设死亡生物体内原有的碳 14 含量为 1，则经过 n(nN *)个“半衰期”后的含量为 n，由 n 得 n10所以，若探测不到碳 14 含量，则至少经过了 10 个“半衰期”12 12 11000故选 C20(2018德阳一诊)某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物

15、的数量 p(单位：毫克/升)不断减少，已知 p 与时间 t(单位：小时)满足 p(t) p02 ，其t30中 p0为 t0 时的污染物数量又测得当 t0，30时，污染物数量的变化率是10ln 2，则 p(60)( )A150 毫克/升 B300 毫克/升C150ln 2 毫克/升 D300ln 2 毫克/升答案 C解析 因为当 t0，30时，污染物数量的变化率是10ln 2，所以10ln 2，所以 p0600ln 2，因为 p(t) p02 ，所以 p(60)600ln 222 150ln 12p0 p030 0 t302(毫克/升)21(2018湖北武汉质检)某观察者站在点 O 观察练车场上

16、匀速行驶的小车 P 的运动情况，小车 P 从点 A 出发的运动轨迹如图所示设观察者从点 A 开始随小车 P 变化的视角为 AOP，练车时间为 t，则函数 f(t)的图象大致为( )9答案 D解析 根据小车 P 从点 A 出发的运动轨迹可得，视角 AOP 的值先是匀速增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大，故选 D22(2018河南洛阳调研)一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠卷，每张优惠卷只能购买一件商品，根据购买商品的标价，三张优惠券优惠方式不同，具体如下：优惠券 1：若标价超过 50 元，则付款时减免标价的 10%优惠券 2：若标价超过 100 元，则付款时减免 2

17、0 元优惠券 3：若标价超过 100 元，则超过 100 元的部分减免 18%若该顾客购买某商品使用优惠券 1 比优惠券 2、优惠券 3 减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( )A179 元 B199 元 C219 元 D239 元答案 C解析 因为使用优惠券 1 比优惠券 2 减免的多，所以他购买的商品的标价超过 200元如果他购买的商品的标价为 219 元，那么使用优惠券 1 可以减免 219 元，使用优惠券 2 可以减免 20 元，使用优惠券 3 可以减免 2142 元；如果标价为 239 元，那么使用优惠券 1 可以减免 239 元，使用优惠券 2 可以减免 20 元，使用优惠券

18、3 可以减免 2502元，不满足题意故选 C23(2018江西 4 月模拟)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P 是 B1C 的中点，动点 M 在其表面上运动，且与平面 A1DC1的距离保持不变，运行轨迹为 S， M 从 P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程 x 与 l MA1 MC1 MD 之间满足函数关系 l f(x)，则此函数图象大致是( )10答案 D解析 连接 AB1， AC由题意可知点 M 的运行轨迹是 B1AC，不妨设 M 从 P 点出发，沿 P C A B1 P 运行，设 AC 的中点为 Q， AB1的中点为 R可知 M 从 P 运行到 C 的过程中

19、， MA1 MD 从小变大，且MC1从小变大，即 l 从小变大，同理可知 M 从 C 到 Q， l 从大变小； M 从 Q 到 A， l 从小变大；M 从 A 到 R， l 从大变小； M 从 R 到 B1， l 从小变大； M 从 B1到 P， l 从大变小故选 D24(2018广东广州调研)某食品的保鲜时间 t(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系式 t 且该食品在 4 时的保鲜时间是 16 小时已知甲在某日 10 时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示给出以下四个结论：该食品在 6 的保鲜时间是 8 小时；当 x6，6时，该食品的保鲜时间 t 随

20、着 x 的增大而逐渐减少；到了此日 13 时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；到了此日 14 时，甲所购买的食品已过了保鲜时间其中，所有正确结论的序号是_答案 解析 某食品的保鲜时间 t(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系式t 且该食品在 4 时的保鲜时间是 16 小时，2 4k6 16，即 4k64，解得 k ， t 当 x6 时， t8，故正1211确；当 x6，0时，保鲜时间恒为 64 小时，当 x(0，6时，该食品的保鲜时间 t随着 x 的增大而逐渐减少，故错误；此日 10 时，温度为 8 ，此时保鲜时间为 4 小时，而随着时间的推移，到 11 时，温度为 11 ，此时的保

21、鲜时间t2 116 1414(小时)，到 13 时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错12 2误；由可知，到了此日 14 时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故正确故正确结论的序号为一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2018安徽六校联考)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为电动汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式现假设该公司有 750 辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日 1725 元调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过 90 元，则电动

22、汽车可以全部租出；若超过 90 元，则每超过 1元，租不出的电动汽车就增加 3 辆设每辆电动汽车的日租金为 x(单位：元)(60 x300， xN *)，用 y(单位：元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)(1)求函数 y f(x)的解析式；(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？解 (1)当 60 x90， xN *时， y750 x1725；当 9065775，故当每辆电动汽车的日租金为 170 元时，日净收入最多2(2018福建厦门质检)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为

23、了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入12200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入 Q 与投入 a(单位：万元)满足 P804 ， Q a120，设甲大棚的投入为 x(单位：2a14万元)，每年两个大棚的总收益为 f(x)(单位：万元)(1)求 f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益 f(x)最大？解 (1)由题意知甲大棚投入 50 万元，则乙大棚投入 150 万元， f(50)804 1501202775(万元)25014(

24、2)f(x)804 (200 x)120 x4 250，依题意得2x14 14 2x故 f(x) x4 250(20 x180)14 2x令 t ，则 t2 ，6 ， y t24 t250 (t8 )2282，x 5 514 2 14 2当 t8 ，即 x128 时， f(x)取得最大值， f(x)max2822所以甲大棚投入 128 万元，乙大棚投入 72 万元时，总收益最大，且最大总收益为 282万元3(2018河北衡水中学调研)已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为 40万元，每生产 1 万部还需另投入 16 万元，设公司一年内共生产该款手机 x 万部并全部销售完，每万部的销售收入

25、为 R(x)万元，且 R(x)(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润解 (1)当 040 时，W xR(x)(16 x40) 16 x836040000x13所以 W(2)当 040 时， W 16 x8360，40000x由于 16 x2 1600；40000x 40000x 16x当且仅当 16 x，即 x50 时取等号，40000x此时 Wmax160083606760，综合知，当 x50 时， W 取得最大值 6760 万元4(2018湖北荆州一模)某市环保研究所对市中心每天的环

26、境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x) a ， x0，24，其中 a 是与气象有关的参数，且 a0，2xx2 4 2xx2 4 34 12(1)令 t(x) ， x0，24，求 t(x)的最值；2xx2 4(2)若用每天的 f(x)的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综合污染指数不得超过 2试问目前市中心的综合污染指数是否超标？解 (1)由 t(x) ， x0，24，2xx2 4得 t( x) ， x0，24，2x2 4 2x2xx2 42 2x 2x 2x2 42令 t( x)0，得( x2)( x2)0，则 0 x2，

27、令 t( x)0，则 x2， t(x)在0，2上递增，在(2，)上递减，又 t(0)0， t(2) ， t时， t(x)0，12 t(x)min t(0)0， t(x)max t(2) 12(2)令 t ，则由 x0，24，得 t0，2xx2 4 12令 g(t) f(x) t|t a| ， t0，34 1214则 g(t) g(t)在 0， 和 a， 上递增，在 ， a 上递减，a2 12 a2且 g ， g 1 ，a2 34 a24 12 a2g g ，a2 12 a24 a2 14令 0，a24 a2 14得 1 a ；212令 0，a24 a2 14得 0 a 1，2 f(x)max f(x)max1，目前市中心的综合污染指数没有超标15