重庆市中山外国语学校2019届高三数学上学期期中试题文（PDF）.pdf

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1、文科数学 第 1页 共4 页重庆市中山外国语高2016级期中测试文科数学文科数学测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设全集 U R， 集合 A1， 0， 1， 2， B x | log2 x1， 则 A( UB)（A） 1， 2 （B） 1， 0， 2 （C） 2 （D） 1， 0（2）复数 z 满足 z(12i) 3i ， 则 z （A） 1i （B） 1i （C） 1 i5 （ D） 1 i5 ， b 互 相 垂 直 ， 若 向 量 4 5m

2、 a b 与 2n a b 共 线 ， 则 实 数 的 值 为（ A） 5 （ B） 3 （ C） 2.5 （ D） 2（ 5） “ 1cos2 2 ” 是 “ ( )6k k Z ” 的（ A） 充 分 不 必 要 条 件 （ B） 必 要 不 充 分 条 件 （ A） 52y 或 0y （ B） 22 3y （ C） 2y 或 20 3y （ D） 2y 或 23y（ 7） 曲 线 2 5 0xy x y 在 点 (1 2)A ， 处 的 切 线 与 两 坐 标 轴 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为（ A） 9 （ B） 496 （ C） 92 （ D） 113（ 8） 已 知

3、定 义 在 R上 的 奇 函 数 ( )y f x 满 足 (2 ) ( )f x f x ， 且 (1) 2f ， 则 (2018) (2019)f f 的 值 为（ A） 2 （ B） 0 （ C） 2 （ D） 41xy x 否 是输 入 x开 始 结 束输 出 y0x 1y x x （ C） 充 要 条 件 （ D） 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件（ 6） 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 2 2x ， ， 则 输 出 的 y 值 的 取 值 范 围 是（ 3） 设 等 差 数 列 na 的 前 n项 和 为 nS ， 若 73 a ， 123

4、 S ， 则 10a（ A） 10 （ B） 28 （ C） 30 （ D） 145（ 4） 已 知 两 个 非 零 向 量 a文科数学 第 2页 共4 页2O1OAB CD（ 9） 如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， 2AB ， 3AD ， 两 个 圆 的 半 径 都 是 1， 且 圆 心 1 2O O， 均 在 对 方 的 圆 周 上 ， 在矩 形 ABCD内 随 机 取 一 点 ， 则 此 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 为（ A） 2+ 312 （ B） 4 2 324（ C） 10 6 336 （ D） 8+3 336（ 10） 设 函 数 6cosy x 与 5tany

5、 x 的 图 象 在 y 轴 右 侧 的 第 一 个 交 点 为 A， 过 点 A作 y 轴 的 平 行 线 交 函 数sin 2y x 的 图 象 于 点 B， 则 线 段 AB的 长 度 为（ A） 5 （ B） 3 52 （ C） 14 59 （ D） 2 5（ 11） 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 其 正 视 图 为 等 腰 梯 形 ， （ 14） 已 知 实 数 x y， 满 足 3 3 01 01 0x yx yx y ， 则 yxz 2 的 最 大 值 为 （ 15） 边 长 为 2 的 等 边 ABC 的 三 个 顶 点 A B C， ， 都 在 以 O为

6、 球 心 的 球 面 上 ， 若 球 O的 表 面 积 为 1483 ， 则 三棱 锥 O ABC 的 体 积 为 （ 16） 已 知 双 曲 线 2 22 2 1( 0 0)x y a ba b ， 的 左 右 焦 点 分 别 为 1 2F F， ， 点 P在 双 曲 线 的 左 支 上 ， 2PF 与 双 曲 线右 支 交 于 点 Q， 若 1PFQ 为 等 边 三 角 形 ， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 是 2 2 24正 视 图 侧 视 图俯 视 图 2则 该 几 何 体 的 表 面 积 是（ A） 18 （ B） 8 8 3（ C） 24 （ D） 12 6 5（ 12） 设

7、 集 合 2 2( )| ( 3sin ) ( 3cos ) 1 A x y x y R ， ， ， ( )|3 4 10 0B x y x y ， ， 记 P A B ，则 点 集 P所 表 示 的 轨 迹 长 度 为（ A） 2 5 （ B） 2 7 （ C） 4 2 （ D） 4 3第 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分 。 第 13 题 第 21 题 为 必 考 题 ， 每 个 试 题 考 生 都 必 须 做 。 第 22 题 第 23题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 做 答 。二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5

8、分 ， 共 20分 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 （ 13） 某 公 司 对 一 批 产 品 的 质 量 进 行 检 测 ， 现 采 用 系 统 抽 样 的 方 法 从 100件 产 品 中 抽 取 5件 进 行 检 测 ， 对 这 100件 产 品 随 机 编 号 后 分 成 5组 ， 第 一 组 1 20 号 ， 第 二 组 21 40号 ， ， 第 五 组 81100号 ， 若 在 第 二 组中 抽 取 的 编 号 为 24， 则 在 第 四 组 中 抽 取 的 编 号 为 文科数学 第 3页 共4 页AM N BC 1C O 1A 1B三、解答题：本大题共 6

9、 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）（本小题满分 12 分）已知数列 an的前 n项和为 Sn ， a1 2， Sn 13(n2)an （） 求 an ；（） 求证：1 21 1 1 1na a a （ 18） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）某 城 镇 社 区 为 了 丰 富 辖 区 内 广 大 居 民 的 业 余 文 化 生 活 ， 创 建 了 社 区 “ 文 化 丹 青 ” 大 型 活 动 场 所 ， 配 备 了 各 种文 化 娱 乐 活 动 所 需 要 的 设 施 ， 让 广 大 居 民 健 康 生 活 、 积 极 向 上 .社 区 最 近 四 年 内

10、 在 “ 文 化 丹 青 ” 上 的 投 资 金 额 统计 数 据 如 下 ： （ 为 了 便 于 计 算 ， 把 2015 年 简 记 为 5， 其 余 依 此 类 推 ）( )( )( )n i ii n iix x y yb a y bxx x ， ）（ 19） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）三 棱 柱 1 1 1ABC ABC 中 ， M N O， ， 分 别 为 棱 1 1 1AC AB AC， ， 的 中 点 .（ ） 求 证 ： 直 线 MN 平 面 1AOB ；（ ） 若 三 棱 柱 1 1 1ABC ABC 的 体 积 为 10 3， 求 三 棱 锥 A MON 的 体

11、 积 .年 份 x（ 年 ） 5 6 7 8投 资 金 额 y （ 万 元 ） 15 17 21 27（ ） 利 用 所 给 数 据 ， 求 出 投 资 金 额 y与 年 份 x之 间 的 回 归 直 线 方 程 y bx a ；（ ） 预 测 该 社 区 在 2019 年 在 “ 文 化 丹 青 ” 上 的 投 资 金 额 .（ 附 ： 对 于 一 组 数 据 1 1( )x y， ， 2 2( )x y， ， ， ( )n nx y， ， 其 回 归 直 线 y bx a 的 斜 率 和 截 距 的 最小 二 乘 估 计 分 别 为 1 21文科数学 第 4页 共4 页（ 20） （ 本

12、小 题 满 分 12 分 ）如 图 ， 已 知 1 2( 1 0) (1 0)F F ， ， ， 是 椭 圆 C的 左 右 焦 点 ， B为 椭 圆 C的 上 顶 点 ， 点 P在 椭 圆 C上 ， 直 线 1PF与 y轴 的 交 点 为 M ， O为 坐 标 原 点 ， 且 2| | | |PM F M ， 3| | 4OM （ ） 求 椭 圆 C的 方 程 ；（ ） 过 点 B作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 分 别 与 椭 圆 C交 于 S T， 两 点（ 异 于 点 B） ， 证 明 ： 直 线 ST 过 定 点 ， 并 求 该 定 点 的 坐 标 （ 21） （ 本 小 题 满

13、 分 12 分 ）已 知 函 数 3( ) ( 1)ex af x x x ( 0 )x a R ， .（ ） 若 )(xf 在 (0 )， 上 单 调 递 减 ， 求 a的 取 值 范 围 ；（ ） 当 e( 3 )a ， 时 ， 判 断 关 于 x的 方 程 2)( xf 的 解 的 个 数 .请 从 下 面 所 给 的 22、 23两 题 中 选 定 一 题 作 答 ， 并 用 2B铅 笔 在 答 题 卡 上 将 所 选 题 目 对 应 的 题 号 方 框 涂 黑 ， 按所 涂 题 号 进 行 评 分 ； 不 涂 、 多 涂 均 按 所 答 第 一 题 评 分 ； 多 答 按 所 答 第

14、 一 题 评 分 。（ 22） （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 曲 线 1C 的 参 数 方 程 为 22x ty t （ t为 参 数 ） ， 以 原 点 O为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建立 极 坐 标 系 ， 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 为 5cos . （ ） 写 出 曲 线 1C 的 极 坐 标 方 程 和 2C 的 直 角 坐 标 方 程 ；（ ） 记 曲 线 1C 和 2C 在 第 一 象 限 内 的 交 点 为 A， 点 B在 曲 线 1C 上 ， 且 2AOB

15、 ， 求 AOB 的 面 积 .（ 23） （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲已 知 函 数 2( ) | 2 | | |f x x x a （ ） 若 关 于 x的 不 等 式 ( )f x a 有 解 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 ；（ ） 若 正 实 数 m n， 满 足 2m n a ， 当 a取 （ ） 中 最 大 值 时 ， 求 1 1m n 的 最 小 值 PB xyOF1 F2M文科数学参考答案一 、 选 择 题1 6 BABCBC 7 12 BADCCD第 （ 12） 题 提 示 ： 圆 2 2( 3sin ) ( 3cos )

16、 1x y 的 圆 心 ( 3sin 3cos ) ， 在 圆 2 2 9x y 上 ，当 改 变 时 ， 该 圆 在 绕 着 原 点 转 动 ，集 合 A表 示 的 区 域 是 如 右 图 所 示 的 环 形 区 域 ，直 线 3 4 10 0x y 恰 好 与 环 形 的 小 圆 相 切 ，所 以 A B 所 表 示 的 是 直 线 3 4 10 0x y 截 圆 2 2 16x y 所 得 的 弦 长 .二 、 填 空 题（ 13） 64 （ 14） 8 （ 15） 333 （ 16） 7第 （ 16） 题 提 示 ： 2 1 2 2PF PF QF a ， 1 2 2QF QF a ，

17、 1 4QF a ， 在 1 2QFF 中 由 余 弦 定 理 ，2 2 21 2 1 2 1 22 cos120FF QF QF QF QF 得 ，2 2 24 16 4 2 4 2 cos120 7c a a a a e 三 、 解 答 题（ 17） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）解 ： （ ） 3 ( 2)n nS n a ， 1 13 ( 1)n nS n a 两 式 相 减 ， 13 ( 2) ( 1)n n na n a n a ， 1 11nna na n ， 其 中 2n累 乘 得 ， 1( 1) ( 1)2n n na a n n ， 其 中 2n ， 又 1 2a (

18、 1)na n n 6分（ ） 1 21 1 1 1 1 11 2 2 3 ( 1)na a a n n 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) 1 12 2 3 1 1n n n 12 分（ 18） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）解 ： （ ） 6.5x ， 20y 2 2 2 2(5 6.5)(15 20) (6 6.5)(17 20) (7 6.5)(21 20) (8 6. 5)(27 20) 4(5 6.5) (6 6.5) (7 6.5) (8 6.5)b 20 4 6.5 6a ， 回 归 方 程 为 4 6y x 6分（ ） 当 9x 时 ， 30y ， 预 测

19、该 社 区 在 2019年 投 资 金 额 为 30万 元 . 12分（ 19） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）解 ： （ ） 设 P为 1AB 中 点 ， 连 结 NP， 则 / 112NP BB又 / 112MO AA ， 所 以 MOPN 为 平 行 四 边 形 ， / /MN OP/ /MN 平 面 1AOB 6分（ ） 1 1 1 1 11 1 12 4 8A MON N AMO N AC O N C A A B C A AV V V V V 1 / /BB 平 面 1 1AAC ， 1 1 1 1 1B C A A B C A AV V 1 1 1 1 1 11 10 33

20、3B C A A ABC A BCV V 5 312A MONV 12分（ 20） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）解 ： （ ） 由 题 2 1PM MF MF ， 2 1 2PF FF ， 22 32 2bPF OM a 联 立 2 2 2a b c 和 1c 解 得 2 4a ， 2 3b ， 所 求 椭 圆 方 程 为 2 2 14 3x y 4分（ ） 设 1 1 2 2( ) ( )S x y T x y， ， ， ， 直 线 : 3BS y kx ， 联 立 椭 圆 方 程 得2 2(4 3) 8 3 0k x k ， 1 28 34 3kx k ， 2 228 3 8 34

21、 4 33 kkx kk 由 题 ， 若 直 线 BS 关 于 y 轴 对 称 后 得 到 直 线 BS ， 则 得 到 的 直 线 ST 与 ST 关 于 x轴 对 称 ，所 以 若 直 线 ST 经 过 定 点 ， 该 定 点 一 定 是 直 线 ST 与 ST 的 交 点 ， 该 点 必 在 y 轴 上 .设 该 点 坐 标 (0 )t， ， 1 2 11 2 1t y y yx x x ， 1 2 1 21 2 1 22 1 2 1 1( 3) ( 3)kx x x xy x x y kt x x x x 代 入 1 2x x， 化 简 得 37t ， ST 经 过 定 点 3(0 )

22、7， 12分（ 21） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）解 ： （ ） 22 2 2 23 3 3 3( ) ( 1 )x xa x x af x e ex x x x x 由 题 ( ) 0f x 在 (0 )， 恒 成 立 ， 2 22 23 3 0 ( 3 3)x xx x ae a x x ex x 设 2( ) ( 3 3) xg x x x e ， 2( ) ( )xg x e x x ( )g x 在 (0 1)， 上 单 调 递 增 ， 在 (1 )， 上 单 调 递 减 .max ( ) (1)g x g e ， )a e ， 5分（ ） 3 3( ) ( 1) 2 2

23、( 1)x xa af x e ex x x x ， 其 中 0x 2 (3 ) xa x x e ， 0x令 ( ) 2 (3 ) xh x x x e ， ( ) 2 ( 2) xh x x e ， ( ) ( 1) xh x x e ( )h x 在 ( 1)， 上 单 调 递 减 ， 在 (1 )， 上 单 调 递 增 ， 由 (0) 0h 又 (2) 2 0h ， 所 以 存 在 0 0x ， 使 ( )h x 在 0(0 )x， 上 满 足 ( ) 0h x ，在 0( )x ， 上 满 足 ( ) 0h x ， 即 ( )h x 在 0(0 )x， 上 单 调 递 减 ， 在 0

24、( )x ， 上 单 调 递 增 .由 (0) 3h ， x时 ， ( )h x ，所 以 当 0x ， ( 3 )a e ， 时 ， 2 (3 ) xa x x e 有 一 个 解 ( ) 2f x 只 有 一 个 解 12分（ 22） （ 本 小 题 满 分 10 分 ）解 ： （ ） 由 题 21 : 4C y x ， 2 2sin 4 cos ， 即 2sin 4cos 2 :C 2 2 5x y x 5分（ ） 联 立 2 4y x 和 2 2 5x y x 得 1Ax ， 2Ay 设 2( )4mB m， ， 由 OA OB ， 2 1 824m mm ， (16 8)B ， 1 1| | | | 5 8 5 202 2AOBS OA OB 10 分（ 23） （ 本 小 题 满 分 10 分 ）解 ： （ ） 2 2 2| 2| | | | ( 2) ( )| | 2|x x a x x a a ， 2x 时 等 号 成 立 ( )f x 的 最 小 值 为 2| 2|a ， 2| 2|a a ， 2 2a a a ， 1 2a ， 5 分（ ） 2a 时 ， 21 1 1 12( ) ( 2 )( ) (1 2)m nm n m n 1 1 3 22m n 2 2 2 2 2m n ， 时 等 号 成 立 . 10分