(全国通用版)2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线学案文.doc
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1、1第 2 讲 圆锥曲线考情考向分析 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆:| PF1| PF2|2 a(2a|F1F2|)(2)双曲线:| PF1| PF2|2 a(2ab0),x2a2 y2b2椭圆上任取点 P ,取焦点 F( c,0),(x0, y0)则 PF 中点 M ,(x0 c2 , y02)根据条件可得Error!联立两式解得 x04, y04 c,代入椭圆方程解得 a3 , b3,2由此可得椭圆方程为 1.x218 y29同理,当
2、 F 在 y 轴上时,椭圆方程为 1.y218 x29(2)(2018龙岩质检)已知以圆 C:( x1) 2 y24 的圆心为焦点的抛物线 C1与圆 C 在第一象限交于 A 点, B 点是抛物线 C2: x28 y 上任意一点, BM 与直线 y2 垂直,垂足为 M,则| BM| AB|的最大值为( )A1 B2 C1 D8答案 A解析 因为圆 C:( x1) 2 y24 的圆心为 C(1,0),所以可得以 C(1,0)为焦点的抛物线方程为 y24 x,由Error! 解得 A(1,2)抛物线 C2: x28 y 的焦点为 F(0,2),准线方程为 y2,即有| BM| AB| BF| AB|
3、 AF|1,当且仅当 A, B, F(A 在 B, F 之间)三点共线时,可得最大值 1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意当焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定跟踪演练 1 (1)(2018黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)与椭圆 C: 1 共焦点y26 x22且渐近线方程为 y x 的双曲线的标准方程为( )3A x2 1 B. y21y23 x23C y2 1 D. x21x23 y23答案 D3解析 1 的焦点坐标为(0,2),y26 x22双曲线的焦点为(0,2),
4、可得 c2 ,a2 b2由渐近线方程为 y x,得 ,3ab 3 a , b1,3双曲线的标准方程为 x21,故选 D.y23(2)如图,过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A, B,交其准线于点 C,若| BC|2| BF|,且| AF|3,则此抛物线方程为( )A y29 x B y26 x C y23 x D y2 x3答案 C解析 如图分别过点 A, B 作准线的垂线,分别交准线于点 E, D,设准线交 x 轴于点 G.设 a,则由已知得 2 a,|BF| |BC|由抛物线定义,得 a,故 BCD30,|BD|在 Rt ACE 中, |AF|3, 33
5、a,| AC|2| AE|,|AE| |AC|33 a6,从而得 a1, 3 a3.|FC| p ,|FG|12|FC| 32因此抛物线方程为 y23 x,故选 C.热点二 圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中 a, b, c 之间的关系4(1)在椭圆中: a2 b2 c2,离心率为 e .ca 1 (ba)2(2)在双曲线中: c2 a2 b2,离心率为 e .ca 1 (ba)22双曲线 1( a0, b0)的渐近线方程为 y x.注意离心率 e 与渐近线的斜率的x2a2 y2b2 ba关系例 2 (1)(2018永州模拟)已知椭圆 C: 1( ab0)的右焦点为 F2, O 为坐标原点,x
6、2a2 y2b2M 为 y 轴上一点,点 A 是直线 MF2与椭圆 C 的一个交点,且| OA| OF2|3| OM|,则椭圆 C的离心率为( )A. B. C. D.104 106 55 53答案 A解析 因为| OA| OF2|3| OM|,所以 F1AF290.设| AF1| m,| AF2| n,如图所示,由题意可得Rt AF1F2Rt OMF2,所以 ,|AF1|AF2| |OM|OF2| 13则 m n2 a, m2 n24 c2,n3 m,解得 m2 , n29 m26 b2,2b23所以 6 b24 c2,即 c2,2b23 5a2 c23解得 e ,故选 A.ca 104(2
7、)(2018全国)已知双曲线 C: 1( a0, b0)的离心率为 ,则点(4,0)到 C 的x2a2 y2b2 2渐近线的距离为( )A. B2 C. D22322 25答案 D解析 由题意,得 e , c2 a2 b2,得 a2 b2.ca 2又因为 a0, b0,所以 a b,渐近线方程为 xy0,所以点(4,0)到渐近线的距离为 2 .42 2思维升华 (1)明确圆锥曲线中 a, b, c, e 各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出 c 和 a 的值,而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于参数 c, a, b 的方程或不等式,通过
8、解方程或不等式求得离心率的值或取值范围跟踪演练 2 (1)(2018全国)已知 F1, F2是椭圆 C 的两个焦点, P 是 C 上的一点若PF1 PF2,且 PF2F160,则 C 的离心率为( )A1 B2 C. D. 132 3 3 12 3答案 D解析 在 Rt PF1F2中, PF2F160,设椭圆的方程为 1( ab0),且焦距x2a2 y2b2|F1F2|2,则| PF2|1,| PF1| ,3由椭圆的定义可知,2 a1 ,2 c2,3得 a , c1,所以离心率 e 1.1 32 ca 21 3 3(2)已知双曲线 C: 1( a0, b0)的焦距为 2c,直线 l 过点 且与
9、双曲线 C 的x2a2 y2b2 (23a, 0)一条渐近线垂直,以双曲线 C 的右焦点为圆心,半焦距为半径的圆与直线 l 交于 M, N 两点,若| MN| c,则双曲线 C 的渐近线方程为( )423A y x B y x2 3C y2 x D y4 x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为 y x,则直线 l 的斜率 kl ,ba ab直线 l 的方程为 y ,ab(x 23a)整理可得 ax by a20.236焦点( c,0)到直线 l 的距离d ,|ac 23a2|a2 b2 |ac 23a2|c则弦长为 2 2 c,c2 d2c2 (ac23a2)2c2 423整理可得 c
10、49 a2c212 a3c4 a40,即 e49 e212 e40,分解因式得 0.(e 1)(e 2)(e2 3e 2)又双曲线的离心率 e1,则 e 2,ca所以 ,ba c2 a2a2 (ca)2 1 3所以双曲线 C 的渐近线方程为 y x.3方法二 圆心到直线 l 的距离为 ,c2 (223c)2 c3 , c23 ac2 a20,|ac 23a2|c c3 c2 a, b a,渐近线方程为 y x.3 3热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x, y 的方程组,消去 y(或 x)得一元二次方
11、程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标(2)几何法:画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数例 3 (2018衡水金卷调研)已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1, F2,过 F1x2a2 y2b2的直线交椭圆于 A, B 两点(1)若直线 AB 与椭圆的长轴垂直,| AB| a,求椭圆的离心率;12(2)若直线 AB 的斜率为 1,| AB| ,求椭圆的短轴与长轴的比值2a3a2 b2解 (1)由题意可知,直线 AB 的方程为 x c,| AB| a,2b2a 12即 a24 b2,7故 e .ca a2 b2a2 1 b2a2 32(2)设 F1( c,0
12、),则直线 AB 的方程为 y x c,联立Error! 消去 y,得( a2 b2)x22 a2cx a2c2 a2b20, 4 a4c24 a2(a2 b2)(c2 b2)8 a2b4.设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x1 x2 , x1x2 ,2a2ca2 b2 a2c2 b2a2 b2| AB| |x1 x2|1 1 2 x1 x22 4x1x2 28a2b4a2 b2 ,4ab2a2 b2 2a3a2 b2 a22 b2, ,b2a2 12 ,即椭圆的短轴与长轴之比为 .2b2a 22 22思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程,利用根与系数的关系,设而不
13、求思想,弦长公式等简化计算;涉及中点弦问题时,也可用“点差法”求解跟踪演练 3 如图所示,抛物线 y24 x 的焦点为 F,动点 T(1, m),过 F 作 TF 的垂线交抛物线于 P, Q 两点,弦 PQ 的中点为 N.(1)证明:线段 NT 平行于 x 轴(或在 x 轴上);(2)若 m0 且| NF| TF|,求 m 的值及点 N 的坐标(1)证明 抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x1,动点 T(1, m)在准线上,则 kTF .m2当 m0 时, T 为抛物线准线与 x 轴的交点,这时 PQ 为抛物线的通径,点 N 与焦点 F 重合,显然线段 NT 在 x 轴上;8当 m0
14、时,由条件知 kPQ ,2m所以直线 PQ 的方程为 y (x1)2m联立Error! 消去 y,得 x2(2 m2)x10, (2 m2)24 m2(4 m2)0,设 P(x1, y1), Q(x2, y2),可知 x1 x22 m2, y1 y2 (x1 x22)2 m.2m所以弦 PQ 的中点 N ,又 T(1, m),(2 m22 , m)所以 kNT0,则 NT 平行于 x 轴综上可知,线段 NT 平行于 x 轴(或在 x 轴上)(2)解 已知| NF| TF|,在 TFN 中,tan NTF 1,得 NTF45,|NF|TF|设 A 是准线与 x 轴的交点,则 TFA 是等腰直角三
15、角形,所以| TA| AF|2,又动点 T(1, m),其中 m0,则 m2.因为 NTF45,所以 kPQtan 451,又焦点 F(1,0),可得直线 PQ 的方程为 y x1.由 m2,得 T(1,2),由(1)知线段 NT 平行于 x 轴,设 N(x0, y0),则 y02,代入 y x1,得 x03,所以 N(3,2)综上可知, m2, N(3,2)真题体验1(2017北京)若双曲线 x2 1 的离心率为 ,则实数 m_.y2m 3答案 2解析 由双曲线的标准方程知, a1, b2 m, c ,1 m故双曲线的离心率 e ,ca 1 m 391 m3,解得 m2.2(2017全国改编
16、)若双曲线 C: 1( a0, b0)的一条渐近线被圆( x2)x2a2 y2b22 y24 所截得的弦长为 2,则双曲线 C 的离心率为_答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为 y x,ba圆的圆心为(2,0),半径为 2,由弦长为 2,得圆心到渐近线的距离为 .22 12 3由点到直线的距离公式,得 ,解得 b23 a2.|2b|a2 b2 3所以双曲线 C 的离心率 e 2.ca c2a2 1 b2a23(2017全国改编)过抛物线 C: y24 x 的焦点 F,且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在3x 轴上方), l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MN l,则 M 到直线
17、 NF 的距离为_答案 2 3解析 抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 x1.由直线方程的点斜式,可得直线 MF 的方程为 y (x1)3联立方程组Error!解得Error! 或Error!点 M 在 x 轴的上方, M(3,2 )3 MN l, N(1,2 )3| NF| 4,1 12 0 232|MF| MN|3(1)4. MNF 是边长为 4 的等边三角形点 M 到直线 NF 的距离为 2 .34(2017山东)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 1( a0, b0)的右支与焦点为 Fx2a2 y2b2的抛物线 x22 py(p0)交于 A, B 两点,若| AF
18、| BF|4| OF|,则该双曲线的渐近线方程为_10答案 y x22解析 设 A(x1, y1), B(x2, y2),由Error! 消去 x,得 a2y22 pb2y a2b20, y1 y2 .2pb2a2又| AF| BF|4| OF|, y1 y2 4 ,即 y1 y2 p,p2 p2 p2 p,即 , ,2pb2a2 b2a2 12 ba 22双曲线的渐近线方程为 y x.22押题预测1已知 F1, F2是双曲线 1( a0, b0)的左、右焦点,过 F2作双曲线一条渐近线的x2a2 y2b2垂线,垂足为点 A,交另一条渐近线于点 B,且 ,则该双曲线的离心率为( )AF2 13
19、F2B A. B. C. D262 52 3押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂,其中离心率、渐近线是高考命题的热点答案 A解析 由 F2(c,0)到渐近线 y x 的距离为 d b,即 b,则 3 b.ba bca2 b2 |AF2 | |BF2 |在 AF2O 中, c,tan F2OA ,tan AOB ,化简可得|OA | a, |OF2 | ba 4ba2ba1 (ba)2a22 b2,即 c2 a2 b2 a2,即 e ,故选 A.32 ca 622已知椭圆 C: 1( ab0)的离心率为 ,且点 在该椭圆上x2a2 y2b2 12 (1, 32)(1)求椭圆 C 的方程;
20、(2)过椭圆 C 的左焦点 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,若 AOB 的面积为 ,求圆627心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程11押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点,直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注解 (1)由题意可得 e ,ca 12又 a2 b2 c2,所以 b2 a2.34因为椭圆 C 经过点 ,(1,32)所以 1,1a29434a2解得 a24,所以 b23,故椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由(1)知 F1(1,0),设直线 l 的方程为 x ty1,由Error! 消去 x,得(43 t2)y26 ty90,显然
21、 0 恒成立,设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 y1 y2 , y1y2 ,6t4 3t2 94 3t2所以| y1 y2| y1 y22 4y1y2 ,36t24 3t22 364 3t2 12t2 14 3t2所以 S AOB |F1O|y1 y2|12 ,6t2 14 3t2 627化简得 18t4 t2170,即(18 t217)( t21)0,解得 t 1, t (舍去)21 21718又圆 O 的半径 r ,|0 t0 1|1 t2 11 t2所以 r ,故圆 O 的方程为 x2 y2 .22 1212A 组 专题通关1(2018合肥模拟)已知双曲线 C: 1( a
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