1、1第 2 讲 圆锥曲线考情考向分析 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆：| PF1| PF2|2 a(2a|F1F2|)(2)双曲线：| PF1| PF2|2 a(2ab0)，x2a2 y2b2椭圆上任取点 P ，取焦点 F( c,0)，(x0， y0)则 PF 中点 M ，(x0 c2 ， y02)根据条件可得Error!联立两式解得 x04， y04 c，代入椭圆方程解得 a3 ， b3，2由此可得椭圆方程为 1.x218 y29同理，当
2、 F 在 y 轴上时，椭圆方程为 1.y218 x29(2)(2018龙岩质检)已知以圆 C：( x1) 2 y24 的圆心为焦点的抛物线 C1与圆 C 在第一象限交于 A 点， B 点是抛物线 C2： x28 y 上任意一点， BM 与直线 y2 垂直，垂足为 M，则| BM| AB|的最大值为( )A1 B2 C1 D8答案 A解析 因为圆 C：( x1) 2 y24 的圆心为 C(1,0)，所以可得以 C(1,0)为焦点的抛物线方程为 y24 x，由Error! 解得 A(1,2)抛物线 C2： x28 y 的焦点为 F(0,2)，准线方程为 y2，即有| BM| AB| BF| AB|
3、 AF|1，当且仅当 A， B， F(A 在 B， F 之间)三点共线时，可得最大值 1.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定跟踪演练 1 (1)(2018黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)与椭圆 C： 1 共焦点y26 x22且渐近线方程为 y x 的双曲线的标准方程为( )3A x2 1 B. y21y23 x23C y2 1 D. x21x23 y23答案 D3解析 1 的焦点坐标为(0，2)，y26 x22双曲线的焦点为(0，2)，
4、可得 c2 ，a2 b2由渐近线方程为 y x，得 ，3ab 3 a ， b1，3双曲线的标准方程为 x21，故选 D.y23(2)如图，过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A， B，交其准线于点 C，若| BC|2| BF|，且| AF|3，则此抛物线方程为( )A y29 x B y26 x C y23 x D y2 x3答案 C解析 如图分别过点 A， B 作准线的垂线，分别交准线于点 E， D，设准线交 x 轴于点 G.设 a，则由已知得 2 a，|BF| |BC|由抛物线定义，得 a，故 BCD30，|BD|在 Rt ACE 中， |AF|3， 33
5、a，| AC|2| AE|，|AE| |AC|33 a6，从而得 a1， 3 a3.|FC| p ，|FG|12|FC| 32因此抛物线方程为 y23 x，故选 C.热点二 圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中 a， b， c 之间的关系4(1)在椭圆中： a2 b2 c2，离心率为 e .ca 1 (ba)2(2)在双曲线中： c2 a2 b2，离心率为 e .ca 1 (ba)22双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x.注意离心率 e 与渐近线的斜率的x2a2 y2b2 ba关系例 2 (1)(2018永州模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为 F2， O 为坐标原点，x
6、2a2 y2b2M 为 y 轴上一点，点 A 是直线 MF2与椭圆 C 的一个交点，且| OA| OF2|3| OM|，则椭圆 C的离心率为( )A. B. C. D.104 106 55 53答案 A解析 因为| OA| OF2|3| OM|，所以 F1AF290.设| AF1| m，| AF2| n，如图所示，由题意可得Rt AF1F2Rt OMF2，所以 ，|AF1|AF2| |OM|OF2| 13则 m n2 a， m2 n24 c2，n3 m，解得 m2 ， n29 m26 b2，2b23所以 6 b24 c2，即 c2，2b23 5a2 c23解得 e ，故选 A.ca 104(2
7、)(2018全国)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，则点(4,0)到 C 的x2a2 y2b2 2渐近线的距离为( )A. B2 C. D22322 25答案 D解析 由题意，得 e ， c2 a2 b2，得 a2 b2.ca 2又因为 a0， b0，所以 a b，渐近线方程为 xy0，所以点(4,0)到渐近线的距离为 2 .42 2思维升华 (1)明确圆锥曲线中 a， b， c， e 各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 c， a， b 的方程或不等式，通过
8、解方程或不等式求得离心率的值或取值范围跟踪演练 2 (1)(2018全国)已知 F1， F2是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点若PF1 PF2，且 PF2F160，则 C 的离心率为( )A1 B2 C. D. 132 3 3 12 3答案 D解析 在 Rt PF1F2中， PF2F160，设椭圆的方程为 1( ab0)，且焦距x2a2 y2b2|F1F2|2，则| PF2|1，| PF1| ，3由椭圆的定义可知，2 a1 ，2 c2，3得 a ， c1，所以离心率 e 1.1 32 ca 21 3 3(2)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的焦距为 2c，直线 l 过点 且与
9、双曲线 C 的x2a2 y2b2 (23a， 0)一条渐近线垂直，以双曲线 C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线 l 交于 M， N 两点，若| MN| c，则双曲线 C 的渐近线方程为( )423A y x B y x2 3C y2 x D y4 x答案 B解析 方法一 由题意可设渐近线方程为 y x，则直线 l 的斜率 kl ，ba ab直线 l 的方程为 y ，ab(x 23a)整理可得 ax by a20.236焦点( c,0)到直线 l 的距离d ，|ac 23a2|a2 b2 |ac 23a2|c则弦长为 2 2 c，c2 d2c2 (ac23a2)2c2 423整理可得 c
10、49 a2c212 a3c4 a40，即 e49 e212 e40，分解因式得 0.(e 1)(e 2)(e2 3e 2)又双曲线的离心率 e1，则 e 2，ca所以 ，ba c2 a2a2 (ca)2 1 3所以双曲线 C 的渐近线方程为 y x.3方法二 圆心到直线 l 的距离为 ，c2 (223c)2 c3 ， c23 ac2 a20，|ac 23a2|c c3 c2 a， b a，渐近线方程为 y x.3 3热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x， y 的方程组，消去 y(或 x)得一元二次方
11、程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数例 3 (2018衡水金卷调研)已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1x2a2 y2b2的直线交椭圆于 A， B 两点(1)若直线 AB 与椭圆的长轴垂直，| AB| a，求椭圆的离心率；12(2)若直线 AB 的斜率为 1，| AB| ，求椭圆的短轴与长轴的比值2a3a2 b2解 (1)由题意可知，直线 AB 的方程为 x c，| AB| a，2b2a 12即 a24 b2，7故 e .ca a2 b2a2 1 b2a2 32(2)设 F1( c,0
12、)，则直线 AB 的方程为 y x c，联立Error! 消去 y，得( a2 b2)x22 a2cx a2c2 a2b20， 4 a4c24 a2(a2 b2)(c2 b2)8 a2b4.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，2a2ca2 b2 a2c2 b2a2 b2| AB| |x1 x2|1 1 2 x1 x22 4x1x2 28a2b4a2 b2 ，4ab2a2 b2 2a3a2 b2 a22 b2， ，b2a2 12 ，即椭圆的短轴与长轴之比为 .2b2a 22 22思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不
13、求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解跟踪演练 3 如图所示，抛物线 y24 x 的焦点为 F，动点 T(1， m)，过 F 作 TF 的垂线交抛物线于 P， Q 两点，弦 PQ 的中点为 N.(1)证明：线段 NT 平行于 x 轴(或在 x 轴上)；(2)若 m0 且| NF| TF|，求 m 的值及点 N 的坐标(1)证明 抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1，动点 T(1， m)在准线上，则 kTF .m2当 m0 时， T 为抛物线准线与 x 轴的交点，这时 PQ 为抛物线的通径，点 N 与焦点 F 重合，显然线段 NT 在 x 轴上；8当 m0
14、时，由条件知 kPQ ，2m所以直线 PQ 的方程为 y (x1)2m联立Error! 消去 y，得 x2(2 m2)x10， (2 m2)24 m2(4 m2)0，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，可知 x1 x22 m2， y1 y2 (x1 x22)2 m.2m所以弦 PQ 的中点 N ，又 T(1， m)，(2 m22 ， m)所以 kNT0，则 NT 平行于 x 轴综上可知，线段 NT 平行于 x 轴(或在 x 轴上)(2)解 已知| NF| TF|，在 TFN 中，tan NTF 1，得 NTF45，|NF|TF|设 A 是准线与 x 轴的交点，则 TFA 是等腰直角三
15、角形，所以| TA| AF|2，又动点 T(1， m)，其中 m0，则 m2.因为 NTF45，所以 kPQtan 451，又焦点 F(1,0)，可得直线 PQ 的方程为 y x1.由 m2，得 T(1,2)，由(1)知线段 NT 平行于 x 轴，设 N(x0， y0)，则 y02，代入 y x1，得 x03，所以 N(3,2)综上可知， m2， N(3,2)真题体验1(2017北京)若双曲线 x2 1 的离心率为 ，则实数 m_.y2m 3答案 2解析 由双曲线的标准方程知， a1， b2 m， c ，1 m故双曲线的离心率 e ，ca 1 m 391 m3，解得 m2.2(2017全国改编
16、)若双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线被圆( x2)x2a2 y2b22 y24 所截得的弦长为 2，则双曲线 C 的离心率为_答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为 y x，ba圆的圆心为(2,0)，半径为 2，由弦长为 2，得圆心到渐近线的距离为 .22 12 3由点到直线的距离公式，得 ，解得 b23 a2.|2b|a2 b2 3所以双曲线 C 的离心率 e 2.ca c2a2 1 b2a23(2017全国改编)过抛物线 C： y24 x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M(M 在3x 轴上方)， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l，则 M 到直线
17、 NF 的距离为_答案 2 3解析 抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.由直线方程的点斜式，可得直线 MF 的方程为 y (x1)3联立方程组Error!解得Error! 或Error!点 M 在 x 轴的上方， M(3,2 )3 MN l， N(1,2 )3| NF| 4，1 12 0 232|MF| MN|3(1)4. MNF 是边长为 4 的等边三角形点 M 到直线 NF 的距离为 2 .34(2017山东)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1( a0， b0)的右支与焦点为 Fx2a2 y2b2的抛物线 x22 py(p0)交于 A， B 两点，若| AF
18、| BF|4| OF|，则该双曲线的渐近线方程为_10答案 y x22解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 消去 x，得 a2y22 pb2y a2b20， y1 y2 .2pb2a2又| AF| BF|4| OF|， y1 y2 4 ，即 y1 y2 p，p2 p2 p2 p，即 ， ，2pb2a2 b2a2 12 ba 22双曲线的渐近线方程为 y x.22押题预测1已知 F1， F2是双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，过 F2作双曲线一条渐近线的x2a2 y2b2垂线，垂足为点 A，交另一条渐近线于点 B，且 ，则该双曲线的离心率为( )AF2 13
19、F2B A. B. C. D262 52 3押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点答案 A解析 由 F2(c,0)到渐近线 y x 的距离为 d b，即 b，则 3 b.ba bca2 b2 |AF2 | |BF2 |在 AF2O 中， c，tan F2OA ，tan AOB ，化简可得|OA | a， |OF2 | ba 4ba2ba1 (ba)2a22 b2，即 c2 a2 b2 a2，即 e ，故选 A.32 ca 622已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，且点 在该椭圆上x2a2 y2b2 12 (1， 32)(1)求椭圆 C 的方程；
20、(2)过椭圆 C 的左焦点 F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，若 AOB 的面积为 ，求圆627心在原点 O 且与直线 l 相切的圆的方程11押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注解 (1)由题意可得 e ，ca 12又 a2 b2 c2，所以 b2 a2.34因为椭圆 C 经过点 ，(1，32)所以 1，1a29434a2解得 a24，所以 b23，故椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)由(1)知 F1(1,0)，设直线 l 的方程为 x ty1，由Error! 消去 x，得(43 t2)y26 ty90，显然
21、 0 恒成立，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 ，6t4 3t2 94 3t2所以| y1 y2| y1 y22 4y1y2 ，36t24 3t22 364 3t2 12t2 14 3t2所以 S AOB |F1O|y1 y2|12 ，6t2 14 3t2 627化简得 18t4 t2170，即(18 t217)( t21)0，解得 t 1， t (舍去)21 21718又圆 O 的半径 r ，|0 t0 1|1 t2 11 t2所以 r ，故圆 O 的方程为 x2 y2 .22 1212A 组 专题通关1(2018合肥模拟)已知双曲线 C： 1( a
22、0， b0)的上焦点为 F， M 是双曲线虚轴y2a2 x2b2的一个端点，过 F， M 的直线交双曲线的下支于 A 点若 M 为 AF 的中点，且| |6，则双AF 曲线 C 的方程为( )A. 1 B. 1y22 x28 y28 x22C y2 1 D. x21x24 y24答案 C解析 设 M 为双曲线虚轴的右端点，由题意，可得 F(0， c)， M(b,0)，则 A(2b， c)，由题意可得Error!解得 a1， b2，所以双曲线 C 的方程为 y2 1.x242(2018潍坊模拟)设 P 为双曲线 1 右支上一点， F1， F2分别为该双曲线的左、x2a2 y2b2右焦点， c，
23、e 分别表示该双曲线的半焦距和离心率若 0，直线 PF2交 y 轴于点PF1 PF2 A，则 AF1P 的内切圆的半径为( )A a B b C c D e答案 A解析 根据题意 0，可知 AF1P 是直角三角形，根据直角三角形的内切圆的半径PF1 PF2 公式以及双曲线的定义可知2r| PF1| PA| AF1| PF1| PA| AF2| PF1|(| AF2| PA|)| PF1| PF2|2 a，求得 r a，故选 A.3(2018天津)已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的x2a2 y2b2直线与双曲线交于 A， B 两点设 A， B 到双曲线的同
24、一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且d1 d26，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x23 y29 x29 y2313C. 1 D. 1x24 y212 x212 y24答案 A解析 设双曲线的右焦点为 F(c,0)将 x c 代入 1，得 1，x2a2 y2b2 c2a2 y2b2 y .b2a不妨设 A ， B .(c，b2a) (c， b2a)双曲线的一条渐近线方程为 y x，即 bx ay0，ba则 d1 (c b)，|bc ab2a|b2 a2 |bc b2|c bcd2 (c b)，|bc ab2a|b2 a2 |bc b2|c bc d1 d2 2c2 b6， b3.b
25、c 2， c2 a2 b2， a23，ca双曲线的方程为 1.x23 y29故选 A.4(2018全国)设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点， O 是坐标原x2a2 y2b2点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若| PF1| |OP|，则 C 的离心率为( )6A. B2 C. D.5 3 2答案 C解析 如图，过点 F1向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为 P，连接 P F2，由题意可知，四边形 PF1P F2为平行四边形，且 PP F2是直角三角形因为| F2P| b，| F2O| c，所以| OP| a.又| PF1| a| F2P|，| PP|
26、2 a，614所以| F2P| a b，2所以 c a，所以 e .a2 b2 3ca 35(2018全国)已知点 M(1,1)和抛物线 C： y24 x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与C 交于 A， B 两点若 AMB90，则 k_.答案 2解析 方法一 设点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error! y y 4( x1 x2)， k .21 2y1 y2x1 x2 4y1 y2设 AB 的中点为 M( x0， y0)，抛物线的焦点为 F，分别过点 A， B 作准线 x1 的垂线，垂足为 A， B，则| MM| |AB| (|AF| BF|)12 12 (|AA| BB
27、|)12 M( x0， y0)为 AB 的中点， M 为 A B的中点， MM平行于 x 轴， y1 y22， k2.方法二 由题意知，抛物线的焦点坐标为 F(1,0)，设直线方程为 y k(x1)，直线方程与y24 x 联立，消去 y，得 k2x2(2 k24) x k20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1x21， x1 x2 .2k2 4k2由 M(1,1)，得 (1 x1,1 y1)，AM (1 x2,1 y2)BM 由 AMB90，得 0，AM BM ( x11)( x21)( y11)( y21)0， x1x2( x1 x2)1 y1y2( y1 y2)10.又
28、 y1y2 k(x11) k(x21) k2x1x2( x1 x2)1， y1 y2 k(x1 x22)，1 1 k2 k 10，2k2 4k2 (1 2k2 4k2 1) (2k2 4k2 2)整理得 10，解得 k2.4k2 4k6(2018北京)已知椭圆 M： 1( ab0)，双曲线 N： 1.若双曲线 N 的两条x2a2 y2b2 x2m2 y2n2渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心15率为_；双曲线 N 的离心率为_答案 1 23解析 方法一 双曲线 N 的渐近线方程为 y x，则 tan 60 ，nm nm 3双曲线 N 的
29、离心率 e1满足 e 1 4， e12.21n2m2由Error! 得 x2 .a2b23a2 b2如图，设 D 点的横坐标为 x，由正六边形的性质得| ED|2 x c，4 x2 c2. a2 b2，得 3a46 a2b2 b40，4a2b23a2 b23 20，解得 2 3.6b2a2 (b2a2) b2a2 3椭圆 M 的离心率 e2满足 e 1 42 .2b2a2 3 e2 1.3方法二 双曲线 N 的渐近线方程为 y x，nm则 tan 60 .nm 3又 c1 2 m，双曲线 N 的离心率为 2.m2 n2c1m如图，连接 EC，由题意知， F， C 为椭圆 M 的两焦点，设正六边
30、形的边长为 1，则| FC|2 c22，即 c21.又 E 为椭圆 M 上一点，则| EF| EC|2 a，即 1 2 a，3 a .1 32椭圆 M 的离心率为 1.c2a 21 3 37(2018衡阳模拟)已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C交于 A， B 两点，且直线 l 与圆 x2 px y2 p20 交于 C， D 两点，若| AB|3| CD|，则直34线 l 的斜率为_16答案 22解析 由题意得 F ，由 x2 px y2 p20，配方得 2 y2 p2，(p2， 0) 34 (x p2)所以直线 l 过圆心 ，可得| CD|2
31、 p，(p2， 0)若直线 l 的斜率不存在，则 l： x ，| AB|2 p，| CD|2 p，不符合题意，p2直线 l 的斜率存在可设直线 l 的方程为 y k ，(xp2)A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error!化为 x2 x 0，(p2pk2) p24所以 x1 x2 p ，2pk2所以| AB| x1 x2 p2 p ，2pk2由| AB|3| CD|，所以 2p 6 p，2pk2可得 k2 ，所以 k .12 228(2018郑州模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为 F(1,0)，且离心率为 ，x2a2 y2b2 12ABC 的三个顶点都在椭圆 C 上，
32、设 ABC 三条边 AB， BC， AC 的中点分别为 D， E， M，且三条边所在直线的斜率分别为 k1， k2， k3，且 k1， k2， k3均不为 0.O 为坐标原点，若直线OD， OE， OM 的斜率之和为 1，则 _.1k1 1k2 1k3答案 43解析 由题意可得 c1， ，ca 12所以 a2， b ，3椭圆 C： 1，x24 y23设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C ，(x3， y3) 1， 1，x214 y213 x24 y2317两式作差得 ，(x2 x1)(x2 x1)4 (y2 y1)(y2 y1)3则 ， kOD，(x2 x1)(y2 y1) 4(y
33、2 y1)3(x2 x1) 1k1 43同理可得 kOM， kOE，1k3 43 1k2 43所以 .1k1 1k2 1k3 43(kOD kOE kOM) 439(2018全国)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A， B 两点，| AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A， B 且与 C 的准线相切的圆的方程解 (1)由题意得 F(1,0)， l 的方程为 y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .2k
34、2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题意知 8，解得 k1(舍去)或 k1.4k2 4k2因此 l 的方程为 x y10.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11) 2( y6) 2144.10(2018天津)设椭圆 1( ab0)的右顶点为 A，上顶点为 B，已知椭圆的离心率x2a2 y2b2为 ，| AB| .53 13(1)
35、求椭圆的方程；(2)设直线 l： y kx(kx10，点 Q 的坐标为( x1， y1)由 BPM 的面积是 BPQ 面积的 2 倍，可得| PM|2| PQ|，从而 x2 x12 x1( x1)，即 x25 x1.由题意求得直线 AB 的方程为 2x3 y6，由方程组Error!消去 y，可得 x2 .63k 2由方程组Error!消去 y，可得 x1 .69k2 4由 x25 x1，可得 5(3 k2)，两边平方，9k2 4整理得 18k225 k80，解得 k 或 k .89 12当 k 时， x29a 时，截口曲线为椭圆；与 PH 夹角 a 时，截口曲线 2为抛物线；与 PH 夹角 a
36、0 时，截口曲线为双曲线如图，底面内的直线 AM AB，过 AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与 PB 的交点为 C，可知 AC 为长轴那么当 C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A圆的一部分 B椭圆的一部分C双曲线的一部分 D抛物线的一部分答案 D19解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点 Q 到焦点 F 的距离等于长半轴 a，但短轴的端点 Q 到直线 AM 的距离也是 a，即说明短轴的端点 Q 到定点 F 的距离等于到定直线 AM 的距离，且点F 不在定直线 AM 上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选 D.12双曲线 C 的左
37、、右焦点分别为 F1， F2，以 F1为圆心，| F1F2|为半径的圆与 C 的左支相交于 M， N 两点，若 MNF2的一个内角为 60，则 C 的离心率为_答案 3 12解析 画出图形如图所示，设双曲线方程为 1( a0， b0)x2a2 y2b2由题意得 MNF2是等边三角形，点 M， N 关于 x 轴对称，且|F1M| F1N|2 c， MF1N120.点 M 的横坐标为 c2 ccos 602 c，纵坐标为 2csin 60 c，3故点 M(2 c， c)3又点 M 在双曲线 1( a0， b0)上，x2a2 y2b2 1，即 1，4c2a2 3c2b2 4c2a2 3c2c2 a2
38、整理得 4c48 c2a2 a40，4 e48 e210，解得 e2 ，8488 4234 e ，312又 e1，故 e .3 122013已知直线 MN 过椭圆 y21 的左焦点 F，与椭圆交于 M， N 两点，直线 PQ 过原点 Ox22与 MN 平行，且与椭圆交于 P， Q 两点，则 _.|PQ|2|MN|答案 2 2解析 方法一 特殊化，设 MN x 轴，则| MN| ，| PQ|24， 2 .2b2a 22 2 |PQ|2|MN| 42 2方法二 由题意知 F(1,0)，当直线 MN 的斜率不存在时，| MN| ，| PQ|2 b2，2b2a 2则 2 ；|PQ|2|MN| 2当直线
39、 MN 的斜率存在时，设直线 MN 的斜率为 k，则 MN 的方程为 y k(x1)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，联立方程Error!整理得(2 k21) x24 k2x2 k220， 8 k280.由根与系数的关系，得x1 x2 ， x1x2 ，4k22k2 1 2k2 22k2 1则| MN| .1 k2x1 x22 4x1x222k2 12k2 1直线 PQ 的方程为 y kx， P(x3， y3)， Q(x4， y4)，则Error! 解得 x2 ， y2 ，21 2k2 2k21 2k2则| OP|2 x y ，23 2321 k21 2k2又| PQ|2| OP|，
40、所以| PQ|24| OP|2 ，81 k21 2k2所以 2 .|PQ|2|MN| 2综上， 2 .|PQ|2|MN| 214(2017天津)已知椭圆 1( ab0)的左焦点为 F( c,0)，右顶点为 A，点 E 的坐x2a2 y2b2标为(0， c)， EFA 的面积为 .b2221(1)求椭圆的离心率；(2)设点 Q 在线段 AE 上，| FQ| ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M， N 在 x 轴上，3c2PM QN，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM 的面积为 3c.求直线 FP 的斜率；求椭圆的方程解 (1)设椭圆的离心率为 e.由已知可得 (c
41、 a)c .12 b22又由 b2 a2 c2，可得 2c2 ac a20，即 2e2 e10，解得 e1 或 e .12又因为 00)，则直线 FP 的斜率为 .1m由(1)知 a2 c，可得直线 AE 的方程为 1，x2c yc即 x2 y2 c0，与直线 FP 的方程联立，可得 x ， y ，2m 2cm 2 3cm 2即点 Q 的坐标为 .(2m 2cm 2 ， 3cm 2)由已知| FQ| ，3c2有 2 2 2，2m 2cm 2 c (3cm 2) (3c2)整理得 3m24 m0，所以 m (m0 舍去)，43即直线 FP 的斜率为 .34由 a2 c，可得 b c，3故椭圆方程
42、可以表示为 1.x24c2 y23c2由得直线 FP 的方程为 3x4 y3 c0，与椭圆方程联立得Error!消去 y，整理得 7x26 cx13 c20，22解得 x (舍去)或 x c.13c7因此可得点 P ，(c，3c2)进而可得| FP| ，c c2 (3c2)2 5c2所以| PQ| FP| FQ| c.5c2 3c2由已知，线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP.因为 QN FP，所以| QN| FQ|tan QFN ，3c2 34 9c8所以 FQN 的面积为 |FQ|QN| .12 27c232同理 FPM 的面积等于 .75c232由四边形 PQNM 的面积为 3c，得 3 c，75c232 27c232整理得 c22 c.又由 c0，得 c2.所以椭圆的方程为 1.x216 y212
