2019届高考数学二轮复习专题突破训练（二）导数与方程文.docx

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1、1专题突破训练(二) 导数与方程时间 /45 分钟 分值 /72 分基础热身1.(12 分)已知函数 f(x)=lnx.(1)若函数 g(x)=f(x)-ax+ x2有两个极值点,求实数 a 的取值范围;12(2)若关于 x 的方程 f(x)=m(x+1),mZ 有实数解,求整数 m 的最大值 .2.(12 分)2018芜湖二模 已知函数 f(x)=x3-alnx(aR) .(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)若函数 f(x)在区间(1,e上存在两个不同零点,求实数 a 的取值范围 .2能力提升3.(12 分)2018长春模拟 已知函数 f(x)=lnx,g(x)=x+m(mR) .(1)

2、若 f(x) g(x)恒成立,求实数 m 的取值范围;(2)已知 x1,x2是函数 F(x)=f(x)-g(x)的两个零点,且 x10),12 x2-ax+1x由题意得方程 x2-ax+1=0 有两个不相等的正实数根,即 解得 a2. =a2-40,x1+x2=a0,x1x2=10,(2)方程 lnx=m(x+1)有实数解,即 m= 有实数解,记函数 h(x)= (x0),则 h(x)=lnxx+1 lnxx+1.x+1x-lnx(x+1)2令 (x)= -lnx(x0),则 (x)=- - 0, (e2)= -10,h(x)单调递增,当 x( x0,+ )时, h(x)0).ax3x3-ax

3、 若 a0,则 f(x)0,此时函数 f(x)在(0, + )上单调递增 . 若 a0,则令 f(x)= =0,得 x= ,3x3-ax 3a3当 x 时, f(x)0,函数 f(x)在 上单调递增 .(3a3,+ ) (3a3,+ )(2)由题意知方程 a= 在区间(1,e上有两个不同实数解,x3lnx即直线 y=a 与函数 g(x)= (x(1,e)的图像有两个不同的交点 .x3lnx因为 g(x)= (x(1,e),令 g(x)=0 得 x= .x2(3lnx-1)(lnx)2 3e所以当 x(1, )时, g(x)0,g(x)在( ,e上单调递增 .3e 3e所以 g(x)min=g(

4、 )=3e,而 g( )= =27 27,且 g(e)=e30),1x 1-xx当 x1 时, F(x)0,所以 F(x)在(1, + )上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以 F(x)在 x=1 处取得极大值,也是最大值,最大值为 -1-m.若 f(x) g(x)恒成立,则 -1-m0,即 m -1.(2)证明:由(1)可知,若函数 F(x)=f(x)-g(x)有两个零点,则 mF ,由 F(x1)1x1 (1x1)=0,得 m=lnx1-x1,又 F(x2)=0,所以只需证 ln - -m=ln - +x1-lnx10,1x 1x2 2xx2-2x+1x2所以 h(x)在(0,1)上单调

5、递增, h(x)0, (x)在(0,1)上单调递增;当 x1 时, (x)0,当x( x2,+ )时, g(x)g(1)=0.又当 x0 时, g(x) 0,当 x + 时, g(x) - ,a2所以函数 g(x)有三个零点 .5.解:(1) f(x)=1- .aex 当 a0 时, f(x)0,f(x)在( - ,+ )上为增函数,所以函数 f(x)无极值 . 当 a0 时,令 f(x)=0,得 x=lna.当 x( - ,lna)时, f(x)0.所以 f(x)在( - ,lna)上单调递减,在(ln a,+ )上单调递增,故 f(x)在 x=lna 处取得极小值,且极小值为 f(lna)

6、=lna-1,无极大值 .综上,当 a0 时,函数 f(x)无极值;当 a0,f(x)在 x=lna 处取得极小值 lna-1,无极大值 .(2)当 a=1 时, f(x)=x-2+ .1ex直线 l:y=kx-2 与曲线 y=f(x)没有公共点等价于关于 x 的方程 kx-2=x-2+ 在 R 上没有实数1ex解,即关于 x 的方程( k-1)x= (*)在 R 上没有实数解 .1ex 当 k=1 时,方程( *)可化为 =0,在 R 上没有实数解,符合题意 .1ex 当 k1 时,方程( *)可化为 =xex.1k-1令 g(x)=xex,则有 g(x)=(1+x)ex,令 g(x)=0,

7、得 x=-1.当 x 变化时, g(x),g(x)的变化情况如下表:x (- ,-1) -1 (-1,+ )g(x) - 0 +g(x) -1e 所以当 x=-1 时, g(x)min=- ,又当 x + 时, g(x) + ,1e所以 g(x)的取值范围为 .-1e,+ )所以当 时,方程( *)无实数解,1k-1 (-, -1e)7故 k 的取值范围是(1 -e,1).综上, k 的取值范围是(1 -e,1,即 k 的最大值为 1.6.解:(1)设切点坐标为( x0,g(x0),因为 g(x)=3(x-1)2,所以 g(x0)=3(x0-1)2,由题知 =g(x0),即 =3(x0-1)2

8、,g(x0)-0x0-13 (x0-1)3x0-13可得( x0-1)3=(3x0-1)(x0-1)2,即 x0(x0-1)2=0,所以 x0=0 或 x0=1.当 x0=0 时, g(x0)=3,切线 l 的方程为 y-0=3 ,即 3x-y-1=0;(x-13)当 x0=1 时, g(x0)=0,切线 l 的方程为 y-0=0 ,即 y=0.(x-13)综上所述,切线 l 的方程为 3x-y-1=0 或 y=0.(2)由 3af(x)=g(x)得 3af(x)-g(x)=0,即 a(x-2)ex+(x-1)2=0,设 h(x)=a(x-2)ex+(x-1)2,则 h(x)=a(x-1)ex

9、+2(x-1)=(x-1)(aex+2),由题意得函数 h(x)有两个不同的零点 . 当 a=0 时, h(x)=(x-1)2,此时 h(x)只有一个零点,不符合题意 . 当 a0 时,由 h(x)0 得 x1,即 h(x)在( - ,1)上为减函数,在(1, + )上为增函数,而 h(1)=-ae0,所以 h(x)在(1, + )上有唯一的零点,且该零点在(1,2)上 .若 a ,则 ln h = + =ln 0,(ln12a)12(ln 12a-2)(ln 12a-1)2 12a(ln 12a-32)所以 h(x)在( - ,1)上有唯一的零点,且该零点在( b,1)上 .若 00 时, h(x)有两个不同的零点,符合题意 . 当 a0,ln(-2a) (-2a) (-2a) (-2a)8所以 h(x)至多有一个零点 .若 - 1,易知 h(x)在 上单调递增,在( - ,1)和2e (-2a) (1,ln(-2a)上单调递减,又 h(1)=-ae0,所以 h(x)至多有一个零点 .(ln(-2a),+ )所以当 a0 时, h(x)至多有一个零点,不符合题意 .综上所述, a 的取值范围为(0, + ).