2020高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲课时作业73不等式的证明文.doc

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1、1课时作业 73 不等式的证明基础达标12018江苏卷若 x， y， z为实数，且 x2 y2 z6，求 x2 y2 z2的最小值证明：由柯西不等式，得( x2 y2 z2)(122 22 2)( x2 y2 z)2.因为 x2 y2 z6，所以 x2 y2 z24，当且仅当 时，等号成立，x1 y2 z2此时 x ， y ， z ，23 43 43所以 x2 y2 z2的最小值为 4.22019云南大理模拟已知函数 f(x)| x| x3|.(1)解关于 x的不等式 f(x)5 x；(2)设 m， n y|y f(x)，试比较 mn4 与 2(m n)的大小解析：(1) f(x)| x| x

2、3|Error!f(x)5 x，即Error!或Error!或Error!解得 x 或 x或 x8，23所以不等式的解集为 8，)( ， 23(2)由(1)易知 f(x)3，所以 m3， n3.由于 2(m n)( mn4)2 m mn2 n4( m2)(2 n)且 m3， n3，所以 m20,2 n0，即( m2)(2 n)0，所以 2(m n)mn4.32019河北省“五个一名校联盟”高三考试已知函数 f(x)|2 x1|， xR.(1)解不等式 f(x)|x|1；(2)若对 x， yR，有| x y1| ，|2 y1| ，求证： f(x)1.13 16解析：(1) f(x)|x|1，|2

3、 x1| x|1，即Error! 或Error!或Error!得 x2或 0x 或无解12 12故不等式 f(x)|x|1 的解集为 x|0x2(2)证明： f(x)|2 x1|2( x y1)(2 y1)|2( x y1)|2 y1|2| x y1|2 y1|2 1.13 16 5642019安徽省知名示范高中质检已知 x， y， z， 均为正实数(1)求证： ；x2 y2x y1 (2)若 x y z1，求证： 2 .x2 2xy 5y2 y2 2yz 5z2 z2 2zx 5x2 2证明：(1)要证 ，即证(1 )(x2 y 2)( x y )2，x2 y2x y1 而(1 )(x2 y

4、 2)( x y )2 (x y)20，当且仅当 x y时取等号，故原不等式成立2(2)由(1)可得 (当且仅x2 2xy 5y2 x y 2 2y 2 x y 2y1 1 x 3y2当 x y2 y，即 x y时取等号)，同理可得 (当且仅当 y z2 z，即 y z时取等号)，y2 2yz 5z2y 3z2 (当且仅当 z x2 x，即 x z时取等号)，z2 2zx 5x2z 3x2所以 2 (x y z)x2 2xy 5y2 y2 2yz 5z2 z2 2zx 5x2x 3y2 y 3z2 z 3x2 22 ，当且仅当 x y z时取等号252019广州测试已知函数 f(x)|2 x1

5、|2 x1|，不等式 f(x)2 的解集为 M.(1)求 M；(2)证明：当 a， b M时，| a b| a b|1.解析：(1) f(x)2，即|2 x1|2 x1|2，当 x 时，得(2 x1)(12 x)2，解得 x ，故 x ；12 12 12当 x 时，得(2 x1)(2 x1)2，即 22，故 x ；12 12 12 12当 x 时，得(2 x1)(2 x1)2，解得 x ，故 x .12 12 12所以不等式 f(x)2 的解集 M .x|12 x 12(2)证法一 当 a， b M时， a ， b ，得| a| ，| b| .12 12 12 12 12 12当( a b)(

6、a b)0 时，| a b| a b|( a b)( a b)|2| a|1，当( a b)(a b)0时，|a b| a b|( a b)( a b)|2| b|1，所以| a b| a b|1.证法二 当 a， b M时， a ， b ，得| a| ，| b| .12 12 12 12 12 12(|a b| a b|)22( a2 b2)2| a2 b2|Error!因为 a2 ， b2 ，所以 4a21,4 b21.14 14故(| a b| a b|)21，所以| a b| a b|1.62019南昌模拟已知函数 f(x)| x1| x2|4.(1)求不等式 f(x)2 的解集 M；

7、(2)若 a， b M，min A表示数集 A中的最小数，若 hmin ，证明：2b，aa2 b2h f(x)解析：(1)由题意得，Error!或 Error!或Error!解得 x ， M x|x 12 12(2)证法一 由题意知，Error! h2 ，2aba2 b23 a2 b22 ab，当且仅当 a b时等号成立， h2 1，2aba2 b20 h1.| x1| x2|( x1)( x2)|3，3| x1| x2|3， f(x)1 h，得证证法二 由 f(x)Error!结合 f(x)的图象(图略)可得 f(x)1. b ，2 b1， 1，当且仅当 a b时等号成立， h f(x)12

8、 aa2 b2 a2ab 12b能力挑战7求证： 1 2 (nN *且 n2)32 1n 1 122 1n2 1n证明： k(k1) k2 k(k1)( kN *且 k2)， ，即 .1k k 1 1k2 1k k 1 1k 1k 1 1k2 1k 1 1k分别令 k2,3， n得 1 ，12 13 122 12 ，13 14 132 12 13 ，将这些不等式相加得1n 1n 1 1n2 1n 1 1n 1 ，即12 13 13 14 1n 1n 1 122 132 1n2 12 12 13 1n 1 1n 1 ，12 1n 1 122 132 1n2 1n1 1 11 ，12 1n 1 122 132 1n2 1n即 1 2 (nN *且 n2)成立32 1n 1 122 132 1n2 1n4