（江苏专用）2019高考数学二轮复习专题四解析几何微专题9解析几何中的探索性问题课件.pptx

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1、微专题9 解析几何中的探索性问题,微专题9 解析几何中的探索性问题 题型一 定值问题的探索,例1 (2018南京高三第三次模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1(ab0)经过点P ,离心率为 . 已知过点M 的直线l与椭圆C 交于A,B两点. (1)求椭圆C的方程; (2)试问x轴上是否存在定点N,使得 为定值?若存在,求出点N的坐标;若 不存在,请说明理由.,解析 (1)离心率e= = , 所以c= a,b= = a. 所以椭圆C的方程为 + =1. 因为椭圆C经过点P ,所以 + =1. 所以b2=1.所以椭圆C的方程为 +y2=1. (2)设N(n,0).当直线l的斜率存

2、在时,设l:y=k .,设A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去y,得(4k2+1)x2- k2x+ k2-4=0. 所以x1+x2= ,x1x2= . 所以 =(x1-n)(x2-n)+y1y2 =(x1-n)(x2-n)+k2 =(k2+1)x1x2- (x1+x2)+n2+ k2 =(k2+1) - +n2+ k2,= +n2 = +n2. 若 为常数,则 为常数. 设 =,为常数,则 k2-4=4k2+对任意的实数k恒成立, 所以 所以 此时 =12. 当直线l的斜率不存在时,设A ,B ,则y2=1- = . 所以 = -y2= - =12. 所以在x轴上存在定点N(4,0),

3、使得 为定值.,【方法归纳】 定值问题的探索一般有两种思路,一是利用特殊值法求出定 值,再证明对一般情况也成立;二是直接探索求解,即根据条件联立直线方程 与椭圆方程,结合斜率公式、根与系数的关系等计算.,1-1 (2018泰州中学高三检测)已知椭圆C: + =1 (ab0)过点(0, ),右焦 点F到右准线的距离为 ,若直线l与椭圆C交于两个不同点A,B. (1)求椭圆C的方程; (2)若点M为椭圆C的右顶点,直线l过点N(2 ,2 ). 若直线l的斜率为 ,试求MAB的外接圆方程; 若直线MA与MB的斜率分别为k1,k2,试问k1+k2是不是定值?并说明理由.,解析 (1)由椭圆过点(0,

4、),得b= . 又 -c= = ,则c= .故a2=b2+c2=8,a=2 . 椭圆C的方程为 + =1. (2)直线l的斜率为 ,l过点N(2 ,2 ), 直线l的方程为y-2 = (x-2 ),即y= x+ . 由 得x2+2 x=0.A(0, ),B(-2 ,0).,又M(2 ,0),AM的中点为 ,kAM=- . 线段AM的中垂线方程为y- =2(x- ),即y=2x- . 又线段BM的中垂线方程为x=0, MAB的外接圆圆心为 ,且半径为 . MAB的外接圆方程为x2+ = . 由题意知直线l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y-2 =k(x-2 ),即

5、y=kx-2 k+2 .与椭圆方 程 + =1联立,得,(1+4k2)x2+16 (k-k2)x+32k2-64k+24=0. 0,x1+x2= ,x1x2= . k1+k2= + = + =2k+ + =2k+ =2k+,=2k+ =- , k1+k2=- .,题型二 定点问题的探索,例2 (2018南京师大附中高三模拟)如图,已知椭圆C: + =1(ab0)的左、 右焦点分别为F1,F2,若椭圆C经过点(0, ),离心率为 ,直线l过点F2,与椭圆C 交于A,B两点.,(1)求椭圆C的方程; (2)若点N为F1AF2的内心(三角形三条内角平分线的交点),求F1NF2与F1 AF2面积的比值

6、; (3)设点A,F2,B在直线x=4上的射影依次为点D,G, E.连接AE,BD,试问当直线l 的倾斜角变化时,直线AE与BD是否相交于定点T?若是,请求出定点T的坐标;,若不是,请说明理由.,解析 (1)由题意,b= .又因为 = ,所以 = . 所以a=2.所以椭圆C的方程为 + =1. (2)因为点N为F1AF2的内心,所以点N为F1AF2的内切圆的圆心.设该圆的 半径为r,则 = = = = . (3)若直线l的斜率不存在时,四边形ABED是矩形,此时AE与BD交于F2G的中 点 .,证明如下:当直线l的倾斜角变化时,直线AE与BD相交于定点T . 设直线l的方程为y=k(x-1).

7、由 化简,得,(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0. 因为直线l经过椭圆C内的点(1,0),所以0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= ,x1x2= . 由题意,D(4,y1),E(4,y2), 直线AE的方程为y-y2= (x-4). 令x= ,得y=y2+ =,= = = = = = =0.,所以点T 在直线AE上.同理可证,点T 在直线BD上. 所以当直线l的 倾斜角变化时,直线AE与BD相交于定点T .,【方法归纳】 定点问题的探索思路一般也有两种:一是利用图形的对称性 分析出定点所在的位置,或者利用特殊位置求出可能的定点,再验证对一般情 况也成立;二是直

8、接设出定点坐标,由条件建立恒等式,弄清定点与哪个量无 关,整理为关于这个量的恒等式,利用对应项系数相等建立方程组求解,常用 方法一.,2-1 (2017常州教育学会学业水平检测)已知圆C:(x-t)2+y2=20(tb0)的一个公共点为B(0,-2),F(c,0)为椭圆E的右焦点,直线BF与 圆C相切于点B. (1)求t的值以及椭圆E的方程; (2)过点F任作与坐标轴都不垂直的直线l,与椭圆交于M,N两点,在x轴上是否 存在一定点P,使PF恰为MPN的角平分线?,解析 (1)由题意易知b=2, C(t,0),B(0,-2),|BC|= = .t=4. t0,t=-4. BCBF,c=1.a2=

9、b2+c2=5. 椭圆E的方程为 + =1.,(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),l:y=k(x-1)(k0).将直线l的方程代入 + =1并化简,得 (4+5k2)x2-10k2x+5k2-20=0. x1+x2= , x1x2= . 若点P存在,设P(m,0).由题意,得kMP+kNP=0. + = + =0.,(x1-1)(x2-m)+(x2-1)(x1-m)=0, 即2x1x2-(1+m)(x1+x2)+2m=2 -(1+m) +2m=0. 8m-40=0.m=5. 故在x轴上存在一定点P(5,0),使PF恰为MPN的角平分线.,题型三 其他问题的探索,例3 (2018苏北四市

10、高三第一次调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭 圆 + =1(ab0)的离心率为 ,且过点 .F为椭圆的右焦点,A,B为椭圆 上关于原点对称的两点,连接AF,BF,分别交椭圆于C,D两点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若|AF|=|FC|,求 的值; (3)设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,是否存在实数m, 使得k2=mk1?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.,解析 (1)设椭圆的方程为 + =1(ab0). 由题意得 解得 所以椭圆的方程为 + =1. (2)若|AF|=|FC|,由椭圆对称性,知A ,所以B , 此时直线BF的方程为3x-4y-3=0.,由 得7x

11、2-6x-13=0.解得x= (x=-1舍去). 故 = = . (3)设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),直线AF的方程为y= (x-1).代入椭圆的方程 + =1,得(15-6x0)x2-8 -15 +24x0=0. 因为x=x0是该方程的一个解,所以点C的横坐标xC= . 又C(xC,yC)在直线y= (x-1)上,所以yC= (xC-1)= . 同理,点D的坐标为 ,所以k2= = = k1,即存在,使得k2= k1.,【方法归纳】 椭圆中探索性问题的关键是计算,包括计算方法的选择、计 算结果的正确性,对运算求解能力有较高要求,而运算能力的提高功在平时, 所以平时认真计算,不偷

12、懒是关键.,3-1 (2017江苏连云港高三模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: + =1的左、右顶点分别为A,B,过右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点 (点P在x轴上方). (1)若|QF|=2|FP|,求直线l的方程; (2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,是否存在常数,使得k1=k2?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.,解析 (1)因为a2=4,b2=3,所以c= =1.所以点F的坐标为(1,0).设P(x1,y1),Q (x2,y2),直线l的方程为x=my+1, 将直线l的方程代入椭圆方程,得(4+3m2)y2+6my-9=0. 解得y1= ,y2= . 若|QF|=2|PF|,则 +2 =0. 所以m= .故直线l的方程为 x-2y- =0. (2)由(1)知,y1+y2= ,y1y2= ,所以my1y2= = (y1+y2). 所以 = = = = . 故存在常数= ,使得k1= k2.,