（江苏专用）2019高考数学二轮复习专题四解析几何微专题7解析几何中定点与定值问题课件.pptx

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1、微专题7 解析几何中定点与定值问题,微专题7 解析几何中定点与定值问题 题型一 定点问题,例1 (2018高考数学模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直 线l:x=a(其中r和a均为常数,且0ra),M为l上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个 交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点分别为P,Q. (1)若r=2,点M的坐标为(4,2),求直线PQ方程; (2)求证:直线PQ过定点,并求定点的坐标.,解析 (1)当r=2,M(4,2)时,A1(-2,0),A2(2,0), 直线MA1的方程为x-3y+2=0. 由 得P . 直线MA2的方程为x-y-2=0.由 得Q

2、(0,-2). 所以直线PQ的方程为2x-y-2=0. (2)由题设,得A1(-r,0),A2(r,0).设M(a,t),直线MA1的方程是y= (x+r),与圆C的,交点为P(x1,y1),直线MA2的方程是y= (x-r),与圆C的交点为Q(x2,y2),则点P(x1,y1),Q(x2,y2)在曲线(a+r)y-t(x+r)(a-r)y-t(x-r)=0上.,化简,得(a2-r2)y2-2ty(ax-r2)+t2(x2-r2)=0. 又P(x1,y1),Q(x2,y2)在圆C上,圆C:x2+y2-r2=0.,由-t2,得(a2-r2)y2-2ty(ax-r2)+t2(x2-r2)-t2(x

3、2+y2-r2)=0. 化简,得(a2-r2)y-2t(ax-r2)-t2y=0. 所以直线PQ的方程为(a2-r2)y-2t(ax-r2)-t2y=0. 令y=0,得x= ,所以直线PQ过定点 .,【方法归纳】 证明直线过定点,要弄清直线方程与哪个量无关,再整理为关 于这个量的恒等式,由其系数和常数项等于0求解. 与圆有关的定值问题,可以直接计算或证明,还可以先猜出定值,再给出证明. 这里采用的方法是先设出定值,再通过根据已知条件中的“恒成立”列方程 组进行求解. 与圆有关的定点问题,最终可以化为含有参数的动直线或动圆过定点问题.解 这类问题的关键是引入参数,求出动直线或动圆的方程. 圆锥曲

4、线中定点问题的两种常用解法:引进参数法,用动点的坐标或动直线 中系数为参数表示变化量,再研究变化量与参数之间的关系,找到定点.特殊到一般法,根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.,1-1 已知圆O:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0. (1)求与圆O相切,且与直线l垂直的直线方程; (2)若在直线OA上存在定点B(不同于点A),满足:对于圆O上任一点P,都有 为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.,解析 (1)设所求直线方程为y=-2x+b,即2x+y-b=0. 因为该直线与圆O相切,所以 =3.解得b=3 . 所以所求直线方程为y=-2x+3 或

5、y=-2x-3 . (2)设B(t,0),P(x,y),且 为常数,则|PB|2=2|PA|2. 所以(x-t)2+y2=2(x+5)2+y2.将y2=9-x2代入,得x2-2xt+t2+9-x2=2(x2+10x+25+9-x2),即2(52+t)x+342-t2-9=0对x-3,3恒成立. 所以 解得 或 (舍去). 故满足题意的点B的坐标为 .,题型二 椭圆中的定值问题,例2 (2018苏锡常镇四市高三调研)如图,椭圆 + =1(ab0)的离心率为,焦点到相应准线的距离为1,点A,B,C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上 顶点,过点C的直线l交椭圆于点D,交x轴于点M(x1,0),直线AC与

6、直线BD交于点 N(x2,y2). (1)求椭圆的标准方程; (2)若 =2 ,求直线l的方程; (3)求证:x1x2为定值.,解析 (1)由椭圆的离心率为 ,焦点到对应准线的距离为1,得 解 得 所以椭圆的标准方程为 +y2=1. (2)由(1)知C(0,1),设D(x0,y0). 由 =2 ,得2y0=-1,所以y0=- .,代入椭圆的方程,得x0= 或- . 所以D 或D , 所以l的方程为y= x+1或y=- x+1. (3)设点D的坐标为(x3,y3).由C(0,1),M(x1,0)可得直线CM的方程y=- x+1, 与椭圆方程联立,得 解得x3= ,y3= .,由B( ,0),得直

7、线BD的方程为y= (x- ),直线AC方程为y-x+1.联立,得x2= , 从而x1x1=2为定值.,【方法归纳】 定值问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解方法是: 先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导并结合已知条件,消去变量, 得到定值.,2-1 (2018南通高三第二次调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,B1,B2是椭圆 + =1(ab0)的短轴端点,P是椭圆上异于点B1,B2的一动点,当直线PB1的 方程为y=x+3时,线段PB1的长为4 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设点Q满足:QB1PB1,QB2PB2.求证:PB1B2与QB1B2的面积之比为定 值.,解析 设

8、P(x0,y0),Q(x1,y1). (1)在y=x+3中,令x=0,得y=3,从而b=3. 由 得 + =1. 所以x0=- .因为|PB|1= = |x0|, 所以4 = .解得a2=18. 所以椭圆的标准方程为 + =1. (2)设直线PB1,PB2的斜率分别为k,k,则直线PB1的方程为y=kx+3. 又QB1PB1,所以直线QB1的方程为y=- x+3. 将y=kx+3代入 + =1,得(2k2+1)x2+12kx=0. 因为P是椭圆上异于点B1,B2的点,所以x00, 从而x0=- . 因为点P(x0,y0)在椭圆 + =1上,所以 + =1, 从而 -9=- .,所以kk= =

9、=- ,k=- . 又QB2PB2,所以直线QB2的方程为y=2kx-3. 联立 解得x= ,即x1= . 所以 = = =2.,2-2 (2018苏州学业阳光指标调研)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: + = 1(ab0)的离心率为 ,椭圆上的动点P到一个焦点的距离的最小值为3( - 1). (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知过点M(0,-1)的动直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断以AB为直径的圆 是否恒过定点,并说明理由.,解析 (1)由题意, = ,故a= c. 又椭圆上的动点P到一个焦点的距离的最小值为3( -1), 所以a-c=3 -3.解得c=3,a=3 .所以b2=a2-

10、c2=9. 所以椭圆C的标准方程为 + =1. (2)当直线l的斜率为0时,令y=-1,则x=4, 此时以AB为直径的圆的方程为x2+(y+1)2=16. 当直线l的斜率不存在时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=9,联立 解得 即两圆过点T(0,3). 猜想:以AB为直径的圆恒过定点T(0,3). 对一般情况证明如下: 设过点M(0,-1)的直线l的方程为y=kx-1,与椭圆C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 整理,得(1+2k2)x2-4kx-16=0. 所以x1+x2= ,x1x2=- .,所以 =(x1,y1-3)(x2,y2-3),=x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9,=x1x2+(kx1-1)(kx2-1)-3(kx1-1+kx2-1)+9,=(k2+1)x1x2-4k(x1+x2)+16 = - +16 = +16=0. 所以TATB.所以存在以AB为直径的圆恒过定点T,且定点T的坐标为(0,3).,