[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷40及答案与解析.doc

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1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 40 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 处不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续2 函数 f(x)在=1 处可导的充分必要条件是( )3 设 f(x)可导，则下列正确的是( )4 下列说法正确的是( ) 5 下列说法中正确的是( )（A）若 f(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少（B）若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0-，x 0)时，f(x)单调增加，当 x(x0，x 0+)

2、时，f(x)单调减少（C） f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续（D）f(x)为偶函数，f(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值6 设 f(x)二阶连续可导， ，则( )，（A）f(2)是 f(x)的极小值（B） f(2)是 f(x)的极大值（C） (2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点二、填空题7 设 =_8 设由方程 xef(y)=ey 确定 y 为 x 的函数，其中 f(x)二阶可导，且 f1，则=_9 设 y=y(x)由 yexy+xcosx-1=0 确定，求 dy x=0=

3、_10 设 =_11 设函数 y=y(x)由 确定，则 y=y(x)在 x=ln2 处的法线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，取 xia，b(i=1，2，n)及ki0(i=1，2，n)且满足 k1+k2+kn=1证明： f(k 1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)13 证明：当 x0 时，(x 2-1)lnx(x-1)214 当 x0 时，证明：15 设 0a b，证明：16 求由方程 x2+y3-xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值17 设 f(x)

4、在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f(x)-f(x)=0在(0， 1)内有根18 设 f(x)=3x2+Ax-3(x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时， f(x)20?19 设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=-2，f(0)=1，f(x)0证明：f(x)=0 在(0，+) 内有且仅有一个根19 设 fn(x)=x+x2+xn(n2)20 证明方程 fn(x)=1 有唯一的正根 xn；21 求22 设 a0，讨论方程 aex=x2 根的个数23 就 k 的不同取值情况，确定方程 x3-3x+k=0 根的个数24 设 k 为常数，方程 kx

5、- +1=0 在(0 ，+)内恰有一根，求 k 的取值范围25 设 f(x)在-1 ，1 上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f(0)=4 求26 设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 X 轴上的截距为 u，求26 设函数 f(x)= 其中 g(x)二阶连续可导，且 g(0)=127 确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；28 求 f(x)；29 讨论 f(x)在 x=0 处的连续性考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 40 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，

6、只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 显然 f(x)在 x=0 处连续，因为，所以 f(x)在 x=0 处连续，选(D) 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 f(x)= 存在，但 f(x)在 x=1 处不连续，所以也不可导； (B)不对，因为存在只能保证 f(x)在 x=1 处右导数存在；(C) 不对，因为不一定存在，于是 f(x)在 x=1 处不一定右可导，也不一定可导；由存在，所以 f(x)在 x=1处可导所以选(D) 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(x)=x，显然，则对任意的 M0，存

7、在 X00，当 xX0 时，有 f(x)M，于是当 xX0 时，f(x)-f(X0)=f()(x-X0)，其中 (X0，x) ，即 f(x)f(X0)+M(x-X0)，根据极限的保号性，有 =+，选(C)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 设 f(x)=时，f(x)=0，其中 kZ，则 ，(A)不对；设 f(x)=0，(B)不对；设 f(x)=x，=1，(C)不对，选(D).【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)=当 ，则 f(x)在 x=0 的任意邻域内都不单调减少，(A) 不对； f(x)在 x=0 处取得极大值，但其在 x=0 的

8、任一邻域内皆不单调，(B) 不对；f(x)在 x=1 处取得极大值，但 f(x)在 x=1 处不连续，(C)不对；由 f(0)存在，得 f(0)存在，又 f(x)为偶函数，所以 f(0)=0，所以 x=0 一定为 f(x)的极值点，选(D)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由 ，则存在 0，当 0x-2 时，有 ，即当 x(2-，2)时，f(x)0；当 x(2，2+)时，f(x) 0，于是 x=2 为 f(x)的极小点，选(A)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 方程 xe

9、f(y)=ey 两边对 x 求导，得 eff(y)+xef(x)f(y)【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 -2dx【试题解析】 当 x=0 时，y=1，将 yexy+xcosx-1=0 两边对 x 求导得将 x=0，y=1 代入上式得 =-2，故 dy x=0=-2dx【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 当 x=ln2 时， t=1；当 t=1 时，y=0 (1)当 t=-1 时，由(2)当 t=1时，由【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答

10、案】 令 x0=k1x1+k2x2+knxn，显然 x0a，b 因为 f(x)0，所以f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)， 分别取 x=xi(i=1，2，n)，得由 ki0(i=1，2，n) ，上述各式分别乘以 ki(i=1，2，n)，得 将上述各式分别相加，得 f(x0)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)，即 f(k 1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 令 (x)=(x2-1)lnx-(x-1)2，(1)=0 (x)=2xlnx-x+2- ，(1)=0(x)=2lnx+1+ 则故 x=1

11、 为 (x)的极小值点，由其唯一性得其也为最小值点，而最小值为 (1)=2 0，故 (x)0(x0)由故 x=1 为 (x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为 (1)=0，所以 x0 时，(x)0，即(x 2-1)lnx(x-1)2【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 方法一 令 f(x)= ln(1+x)-2arctanx，f(0)=0方法二 令 f(x)=arctanx，F(x)=ln(1+x)，f(x)= 显然 f(0)=0，F(0)=0 由柯西中值定理，存在 (0，x)，使得为 (x)在(0，+)内的最大值点，最大值为 M= 所以【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案

12、】 首先证明方法一 因为 (b2+a2)(lnb-lna)-2a(b-a)0，所以令 f(x)=(x2+a2)(lnx-lna)-2a(x-a)，f(a)=0 ，方法二 令 f(x)=lnx，则存在 (a，b)，使得 ，其中 0a b，则【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 根据隐函数求导数法，得 令 y= =0，得 y=2x，再将 y=2x 代入原方程得 x=为函数的极大值点，且极大值为 y=【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 (x)=e-xf(x)+f(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c)=0， 而 (x)=e-xf(x)

13、-f(x)且 e-x0，所以方程 f(c)-f(c)=0 在(0，1)内有根【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 f(x)20 等价于 A20x3-3x5， 令 (x)=20x3-3x5，由 (x)=60x2-15x4=0，得 x=2，(x)=120x-60x 3，因为 (2)=-2400，所以 x=2 为 (x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 因为 f(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0)=1当x0 时，f(x)-f(0)=f()x，从而 f(x)f(0)+x，因

14、为由 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)=-20， =+，则 f(x)=0 在(0，+)内至少有一个根，又由 f(x)10，得方程的根是唯一的【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 令 n(x)=fn(x)-1，因为 n(0)=-10， n(1)=n-10，所以 n(x)在(0，1) (0，+)内有一个零点，即方程 fn(x)=1 在(0，+)内有一个根因为 n(x)=1+2x+nxn-10，所以 n(x)在(0，+)内单调增加，所以 n(x)在(0，+)内的零点唯一，所以方程 fn(x)=1 在(0，+)内有唯一正根，记为 xn【知识模块】 一元函数微

15、分学21 【正确答案】 由 fn(xn)-fn+1(xn+1)=0，得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 ae x=x2 等价于 x2e-x-a=0令 f(x)=x2e-x-a，由 f(x)=(2x-x2)e-x=0 得x=0，x=2当 x0 时，f(x)0；当 0x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，于是 x=0 为极小点，极小值为 f(0)=-a0；x=2 为极大点，极大值为 f(2)=(1)当时，方程有三个根；(2)当 时，方程有两个根(3)当 时，方程只有一个根【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 f(x)=x3-3x+k， 由 f(x)=3x2-3

16、=0，得驻点为 x1=-1，x 2=1f(x)=6x，由 f(-1)=-6，f(1)=6 ，得 x1=-1，x 2=1分别为 f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别为 f(-1)=2+k，f(1)=k-2(1)当 k -2 时，方程只有一个根；(2) 当 k=-2 时，方程有两个根，其中一个为x=-1，另一个位于(1，+)内；(3)当-2 k2 时，方程有三个根，分别位于 (-，-1)，(-1，1)，(1，+) 内；(4) 当 k=2 时，方程有两个根，一个位于 (-，-1) 内，另一个为 x=1； (5)当 k2 时，方程只有一个根【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令

17、 f(x)= (1)若k0，由 ，所以原方程在(0， +)内恰有一个实根；(2)若 k=0，所以原方程也恰有一个实根；(3)若 k0，【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y-f(x)=f(x)(X-x)，令Y=0 得 u=x- ，由泰勒公式得【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 当a=g(0)时，f(x)在 x=0 处连续【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 当 x0 时，【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 因为=f(0)，所以 f(x)在 x=0 处连续.【知识模块】 一元函数微分学