[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷29及答案与解析.doc

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1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 29 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设周期函数 f(x)在(一，+)内可导，周期为 4，又 =一 1，则曲线 y=f(x)在点(5，f(5)处的切线斜率为 ( )（A）（B） 0（C）一 1（D）一 22 设函数 f(x)与 g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若 f(x)g(x)，则 f(x) g(x)；(2)若 f(x)g(x) ，则 f(x)g(x)则 ( )（A）(1)，(2)都正确（B） (1)，(2)都不正确（C） (1)正确，但(2)不正确（D）(2)正确，但 (1)不正确3 两曲线

2、 y= 处相切，则 ( )4 若 f(x)在 x0 点可导，则f(x) 在 x0 点 ( )（A）必可导（B）连续，但不一定可导（C）一定不可导（D）不连续5 设函数 f(x)= 则 f(x)在点 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导6 关于函数 y=f(x)在点 x0 的以下结论正确的是 ( )（A）若 f(x0)=0，则 f(x0)必是一极值（B）若 f“(x0)=0，则点(x 0，f(x 0)必是曲线 y=f(x)的拐点（C）若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)在 x0 点可导，且有 =f(x0)（D）若 f(x)在 x0 处可微

3、，则 f(x)在 x0 的某邻域内有界7 设 F(x)= 其中 f(x)在 x=0 处可导，f(0)0，f(0)=0，则 x=0 是 F(x)的 ( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定8 设函数 f(x)= 在 x=0 处 f(x) ( )（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导，且导数连续二、填空题9 p(x)为二次三项式，要使得 ex=p(x)+o(x2)(x0) ，则 p(x)=_10 曲线 y= 的斜渐近线方程为_11 若 f(t)= ，则 f(t)=_12 设 =_13 曲线 处的法线方程是_三、解答题解答应写

4、出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 y= 求 y(n)(0)15 设 f(x)满足 f(x)+2f ，求 f(x)16 设 f(x)= 试确定常数 a，b，c，使 f(x)在 x=0 处连续且可导17 顶角为 60，底圆半径为 a 的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为 b(ba)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?18 防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图 121)，截面的面积为 5 平方米，问底宽 x 为多少时才能使建造时所用的材料最省?19 试证明：曲线 y= 恰有三个拐点，且位于同

5、一条直线上20 求曲线 的斜渐近线21 求曲线 r= 的斜渐近线22 作函数 y=x2+ 的图形23 求函数 y=excos x 的极值24 若函数 f(x)在(一，+)内满足关系式 f(x)=f(x)，且 f(0)=1，证明：f(x)=e x25 设 f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f(x)的零点26 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0，求证：(1)存在 (a，b)，使 f()+f()=0；(2)存在 (a，b) ，使 f()+f()=027 设函数 f(x)在一 2，2上二阶可导，且f(x) 1，又 f2(0)+f(

6、0)2=4 试证：在(一 2，2) 内至少存在一点 ，使得 f()+f“()=028 设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使f“()4 29 设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 上可导且 f(a)f(b)试证：存在， (a，b)，使得 30 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续(a，b0) ，在(a ，b) 内可导试证：在(a ，b)内至少有一点 ，使等式 =f()一 f()成立。31 设 f(x)在0， 上具有连续的二阶导数，且 f(0)=0证明：存在 ， ， sin 2f“()32 试求方程 ex=ax2(

7、a0 为常数)的根的个数33 设 f(x)在 x0 处 n 阶可导，且 f(m)(x0)=0(m=1，2，n 一 1)，f (n)(x0)0(n2)，证明：(1)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时 f(x)在 x0 处取得极大值； (2)当 n 为偶数且 f(n)(x0)0 时 f(x)在 x0 处取得极小值考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 29 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为函数 f(x)周期为 4，曲线在点(5，f(5) 处的切线斜率与曲线在点(1，f(1)处的切线斜率相等，根据导数的几何意义，曲线在

8、点(1，f(1) 处的切线斜率即为函数 f(x)在点 x=1 处的导数即 f(1)=一 2【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 考虑 f(x)=e 一 x 与 g(x)=一 e 一 x，显然 f(x)g(x)，但 f(x)=一 e 一x，g(x)=e 一 x，f(x)g(x)，(1)不正确将 f(x)与 g(x)交换可说明(2)不正确【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因两曲线相切于点=4a+b，又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以一。【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)=x 在 x=0 处

9、可导，但f(x)= x在 x=0 处不可导，排除(A)函数 f(x)=x2 在 x=0 处可导，f(x) =x 2在 x=0 处也可导，排除(C) ，(D)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 不存在，故 f(0)不存在【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不一定，反例： f(x)=x3，f(0)=0 ，但 x=0 非极值点；(B)不一定，需加条件：f“(x)在 x0 点两侧异号；(C)项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 F(0)=f(0)=0， =f(0)0【知

10、识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题9 【正确答案】 x2+x+1【试题解析】 设 p(x)=ax2+bx+c，由题意知，当 x0 时，e x 一 p(x)=o(x2)，【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 =1，所以斜渐近线为y=2x+1【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 (2t+1)e 2t【试题解析】 f(t)=【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 0【试题解析】 因为【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 y= 一 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三

11、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 方程两边同时对 x 求导得【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 设在时刻 t，漏斗中水平面的高度为 h，水量为 p，水桶中水平面的高度为 H，水量为 q(如图 121)，则 p= h2，q=b 2H 因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量，所以【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 设截面周长为 S，矩形高为 y，则由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽为 2367 米时

12、，截面的周长最小，因而所用材料最省【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 所以这三个拐点在一条直线上【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 当 t1，t一 1 或 t时，都有 x 当 t1 时，【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 写为参数方程形式【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 定义域 (一 ，0)(0，+)，无周期性无奇偶性【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 【试题解析】 欲证 f(x)=ex，一种思路是移项作辅助函数 (x)=f(x)一 ex，如能证明(x)0，从而 (x)C由条件 (0)

13、=f(0)一 1=0，得 C=0，即 f(x)一 ex0，于是f(x)=ex但 (x)=f(x)一 ex，利用已知条件 f(x)=f(x)得 (x)=f(x)一 ex，要证 (x)0，即要证 f(x)=ex，而这就是我们要证明的结论，故这种思路行不通另一种思路是由 f(x)=ex 两边同除以 ex 得辅助函数 (x)= 若能证明 (x)=0，从而 (x)=C，由条件 (0)=0，因此本题利用第二种思路【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 构造辅助函数 F(x)=f(x)ex，由于 f(x)可导，故 F(x)可导，设 x1 和x2 为 f(x)的两个零点，且 x1x 2，则 F(x)在

14、x 1，x 2上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点 (x1，x 2)，使得 F()=0，即 f()e+f()e=e【试题解析】 f(x)的两个零点 x1，x 2(不妨设 x1x 2)之间有 f(x)+f(x)的零点问题，相当于在(x 1，x 2)内有 f(x)+f(x)=0 的点存在的问题若能构造一个函数 F(x)，使F(x)=f(x)+f(x)(x)，而 (x)0，则问题可以得到解决由(e x)=ex 可以得到启发，令 F(x)=f(x)ex【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 (1)设 (x)=xf(x)，则 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且(a)=(b)=0

15、，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 ()=0，即 f()+f()=0 (2)设F(x)= f(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 F()= f()=0，即 f()+f()=0【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 根据拉格朗日中值定理有 f(0)一 f(一 2)=2f(1)，一 2 10， f(2)一 f(0)=2f(2)，0 22 由f(x)1 知f( 1)=1 令 (x)=f2(x)+f(x)2，则有 (1)2，( 2)2 因为 (x)在 1， 2上连续，且 (0)=4，设 (x)在 1， 2上的

16、最大值在 1， 2 (一 2，2)上取，则 ()4，且 在 1， 2上可导，由费马定理有：()=0，即 2f()f()+2f()f“()=0 因为f(x)l，且 ()4，所以 f()0，于是有 f()+f“()=0， (一 2，2)【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 把函数 f(x)在 x=0 展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得f“(1)一 f“(1)=8f“( 1)+ f“( 1)8 从而，在 1 和 2 中至少有一个点，使得在该点的二阶导数绝对值不小于 4，把该点取为 ，就有 (0，1)，使f“()4【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 由拉格朗日中值定理知 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)，又由柯西中值定理知【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 即在(0，+) 内有且仅有两个零点【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 咒为偶数，令 n=2k，构造极限当 f(2k)(x0)0 时，由极限保号性可得 0，即 f(x)f(x 0)，故 x0 为极大值点；当 f(2k)(x0)0 时，由极限保号性可得 0，即 f(x)f(x 0)，故 x0 为极小值点【知识模块】 一元函数微分学