[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编7及答案与解析.doc

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1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2011 年) 函数 f()ln(1)(2)( 3) 的驻点个数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）32 (2012 年) 曲线 y 渐近线的条数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）33 (2012 年) 设函数 f()(e 1)(e 22)(e nn) ，其中，n 为正整数，则 f(0) 【 】（A）(1) n-1(n1)!（B） (1) n(n1)! （C） (1) n-1n!（D）(1) nn!4 (2013 年) 设函数 yf()由方程 co

2、s(y)lny1 确定，则 【 】（A）2（B） 1（C） 1（D）25 (2014 年) 下列曲线中有渐近线的是 【 】（A）y sin（B） y 2sin（C） ysin（D）y 2 sin6 (2014 年) 设函数 f()具有 2 阶导数，g()f(0)(1)f(1)，则在区间0，1上 【 】（A）当 f()0 时，f()g()（B）当 f()0 时，f()g()（C）当 f()0 时，f()g()（D）当 f()0 时，f()g()7 (2014 年) 曲线 上对应于 t1 的点处的曲率半径是 【 】（A）（B）（C）（D）8 (2014 年) 设函数 f()arctan，若 f()

3、f()，则 【 】（A）1（B）（C）（D）9 (2015 年) 设函数 f() (0，0)若 f()在 0 处连续，则 【 】（A）1（B） 01（C） 2（D）02 10 (2015 年) 设函数 f()在(，) 内连续，其 2 阶导函数 f()的图形如图所示，则曲线 yf() 的拐点个数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题11 (2010 年)已知一个长方形的长 l 以 2cms 的速率增加，宽 以 3cms 的速率增加，则当 l12cm， 5cm 时，它的对角线增加的速率为_12 (2012 年) 设 yy()是由方程 2y1e y 所确定的隐函数，则_13 (20

4、12 年) 曲线 y 2( 0)上曲率为 的点的坐标是_14 (2013 年) 曲线 对应于 t1 的点处的法线方程为_15 (2014 年)设 f()是周期为 4 的可导奇函数，且 f()2(1)， 0，2，则 f(7)_16 (2014 年) 曲线 L 的极坐标方程是 r，则 L 在点(r，) 处的切线的直角坐标方程是_17 (2015 年) 设 _18 (2015 年) 函数 f() 22在 0 处的 n 阶导数 f(n)(0)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 (2006 年)证明：当 0a b 时，bsinb2cosb 6asina2cosaa20 (2007

5、年)设函数 f()，g()在a，b上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a) g(a)，f(b) g(b)，证明：存在 (a，b)，使得 f()g()21 (2008 年) 设函数 yy()由参数方程 确定，其中 (t)是初值问题 的解，求 22 (2009 年)()证明拉格朗日中值定理：若函数 f()在a，b上连续，在(a，b)内可导，则存在 (a，b) ，使得 f(b)f(a) f()(ba) ()证明：若函数 f()在 0处连续，在(0，)( 0)内可导，且 f()A，则 f+(0)存在，且 f+(0)A 23 (2010 年) 求函数 f() 的单调区间与极值24

6、(2010 年) 设函数 f()在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1) 证明：存在 (0， )，( ，1)，使得 f()f() 2 225 (2011 年) 设函数 yy()由参数方程 确定，求 yy()的极值和曲线 yy()的凹凸区间及拐点26 (2012 年) 证明： ln (11)27 (2013 年)设奇函数 f()在1，1上具有 2 阶导数，且 f(1)1证明：()存在 (0，1) ，使得 f()1；()存在 (1，1)，使得 f()f()128 (2014 年) 已知函数 yy()满足微分方程 2y 2y1y，且 y(2)0，求 y()的极大值与极

7、小值29 (2015 年) 已知函数 f() ，求 f()零点的个数30 (2015 年) 已知函数 f()在区间，)上具有 2 阶导数，f(a)0，f()0，f()0设 ba，曲线 yf()在点(b，f(b) 处的切线与 轴的交点是( 0，0)，证明a 0b考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 令3212110 由于 12212110，则该方程有两个实根，f()有两个驻点【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1，则该曲线有水平渐近线 y1 又，则

8、 1 为该曲线的一条垂直渐近线，故应选 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 记 g()(e 22)(e 33)(e nn)，则 f()(e 1)g() f()e g()(e 1)g() 则 f(0)g(0)(1)(2)( (n1) ( 1) n-1(n1)! 故应选 A【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 由方程 cos(y)lny1 知，当 0 时，y1，即 f(0)1，以上方程两端对 求导得 sin(y)(yy) 10 将 0，y1 代入上式得 y 0 1，即 f(0)1【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 所以曲

9、线ysin 有斜渐近线 y ，故应选 C【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 g(0)f(0) ，g(1)f(1)则直线 yf(0)(1)f(1) 过点(0，f(0)和(1，f(1)，当 f()0 时，曲线 yf()在区间0，1上是凹的，曲线yf()应位于过两个端点(0 ，f(0) 和(1，f(1)的弦 yf(0)(1)f(1) 的下方，即f()g()故应选(D) 【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 故应选 C【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 由 f()arctan，及 f()f()得故应选 D【知识模块】 一

10、元函数微分学9 【正确答案】 A【试题解析】 该极限存在当且仅当 a10，即 a1此时，a1，f +(0)0，f(0)0 当 0 时，f() 1 1 cos 要使上式的极限存在且为 0，当且仅当 10 则 1 故应选 A【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 由下图知 f()f ( 2)0，f(0)不存在，其余点上二阶导数 f()存在且非零，则曲线 yf() 最多三个拐点，但在 1 两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点而在 0 和 2 两侧的二阶导数变号，则曲线 yf()有两个拐点，故应选 C【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 3【试题解析】 设 l

11、(t)， y(t) ，其对角线长为 z(t)，则 z 2(t) 2(t)y 2(t)， 2z(t)z(t)2(t)(t)2y(t)y(t) 将 (t)12，y(t)5，(t)2，y(t)3，z(t)13 代入上式得 z(t)3【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 1【试题解析】 在方程 2y1e y 中令 0，得 y0，该方程两端对 求导得 2ye yy 将 0，y0 代入上式得 y(0)0，上式再对 求导 2ye yy2e yyv 将 0，y0，y(0) 代入上式得 y(0) 1【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 (1，0)【试题解析】 由 y 2 得，y21，y2，代

12、入曲率计算公式得 K由 K 得 (21) 21 解得 0 或 1，又0，则 1，这时 y0，故所求点的坐标为(1，0)【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 2166 y ln2【试题解析】 而 t1 时， ，yln ln2，则 t1 处的法线方程为【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 1【试题解析】 由 f()2( 1) ，0，2知，f()(1) 2C又 f()为奇函数，则 f(0)0，C1f()(1) 21 由于 f()以 4 为周期则 f(7)f8 (1)f(1)f(1)1【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 y 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学17

13、 【正确答案】 48【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 n(n1)(ln2) n-2【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 设 f()sin2cos， 0，则 f()sincos 2sincossinf()cossincossin0， (0，)故 f()在0，上单调减少，从而f()f()0，(0，)因此 f()在 0，上单调增加，当 0a b 时f(b)f(a)即 bsinb2cosbb asina2cosaa【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 ()f()g()，以下分两种情况讨论：

14、1)若 f()和 g()在(a，b)内的同一点处 c(a，b)取到其最大值，则 (c)f(c) g(c) 0，又 (a)(b)0，由罗尔定理知 1(a，c) ，使 (1)0； 2(c，B)，使 (2)0 对 ()在1， 2上用罗尔定理得， (1， 2)，使 () 0 2)若 f()和 g()在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设 f()和 g()分别在 1 和 2(1 2)取到其在(a，b)内的最大值，则 ( 1)f( 1)g( 1)0，( 2)f( 2) g(2)0 由连续函数的介值定理知， c(1， 2)，使 (c)0以下证明与 1)相同【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案

15、】 由 2te 0 得 ed2dt，积分并由条件 t0 0，得e 1t 2，即 ln(1 t 2)【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 () 取 F()f() (a) 由题意知 F()在a ，b上连续，在(a，b)内可导，且 根据罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F(）f( ） 0，即 f(b)f(a)f()(ba) ()对于任意的 t(0，) ，函数 f()在0，t上连续，在(0，t) 内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理 f+(0) ，其中(0， t) 由于 f(t)A，且当 t0 +时，0 +，所以 f()A ，故 f+(0)存在，且 f+(0)A【知识模块】 一元函数微分学

16、23 【正确答案】 f() 的定义域为( ，)，由于所以 f()的驻点为 0，1 列表讨论如下：因此，f()的单调增加区间为(1，0)及(1，)，单调减少区间为(，1)及(0，1)；极小值为 f(1) 0，极大值为 f(0) (1e -1)【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 设函数 F()f() 3，由题意知 F(0)0，F(1)0 在0， 和 ， 1上分别应用拉格朗日中值定理，有即 f()f() 2 2【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 0，得 t1 当 t1 时， ；当 t1 时，1 令 ，得 t0，即 由此可知，函数 y()的极大值为 y(1)y t1 1，极

17、小值为 曲线 yy()的凹区间为( ，)，凸区间为(， ) 由于 y( ) y t0 ，所以曲线 yy() 的拐点为 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 f()ln cos1 ， 1 1 显然 f()为偶函数，因此，只要证明 f()0 0，1) 由于 f()ln sin 当 (0，1)时，0， 又 1， 则 2 sin 从而有 f()0 (0，1) 又 f(0)0 则 f()0 0，1) 故原不等式成立【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 () 因为 f()是区间1，1上的奇函数，所以 f(0)0 因为函数 f()在区向 0，1上可导，根据微分中值定理，存在 (0，1

18、)，使得 f(1)f(0)f() 又因为 f(1)1，所以 f()1 ()因为 f()是奇函数，所以 f()是偶函数，故 f()f()1 令 F()f()1e ，则 F()可导，且 F() F() 0 根据罗尔定理，存在 (，) (1，1)，使得 F()0 由 F()f()f()1e 且 e0，得 f()f()1【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由方程 2y 2y1y得 (1y 2)y1y (1) (1y 2)dy(1 2)d y 3C 由 y(2)0 得 C 由(1)式得 y 令 y0 得 1 ，且 当 1 时，y0； 当11时，y0； 当 1 时， y0； 所以，函数 yy(

19、)在 1 处取得极小值，在1 处取得极大值由 (2)式得 y(1)0，y(1)1【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 令 f()0 得， 当 (， )时，f() 0，f()单调减， f()在该区间最多一个零点； 当 ( ，) 时，f()0，f()单调增，f()在该区间最多一个零点；则 f()在区间(1，0)上至少有一个零点，又 f(1)0，则 f()共有两个零点【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 曲线 yf()在点(b，f(b) 处的切线方程为 yf(b)f(b)( b) 该切线与 z 轴交点处的 坐标为 b 由于 f()0，则 f(b)0，f()单增，f(b)f(a) 0，则 0b b 欲证 0a，等价于证明 b a，又 f(b)0，则等价于证明 f(b)(ba)(b) 事实上 f(b)f(b)f(a) f()(ba) a b 由于 f()0，则 f()单调增，从而 f()f(b) ，则 f(b)f()(ba)f(b)(ba) 原题得证【知识模块】 一元函数微分学