[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷150及答案与解析.doc

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1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 150 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知向量组()， ， 线性无关，则与()等价的向量组是 ( )（A）+， +，+，+（B） -，-，-， 一 （C） +，-，+ ， 一 （D）+， -， 一 ， -2 设 n 阶(n3)矩阵 ，若矩阵 A 的秩为 n 一 1，则 a 必为 ( )（A）1（B）（C）一 1（D）3 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表出（B）

2、向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表出（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=1， 2， m与矩阵 B=1， 2， m等价4 要使 都是线性方程组 AX=0 的解，则下列矩阵可能为 A 的是 ( )5 齐次线性方程组 的系数矩阵为 A，若存在 3 阶矩阵 BO，使得 AB=O，则 ( )（A）=一 2 且|B|=0（B） =一 2 且|B|0（C） =1 且|B|=0（D）=1 且|B|06 齐次线性方程组的系数矩阵 A45=1， 2， 3， 4， 5经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 A=1， 2， 3， 4， 5 则 ( )（A） 1

3、不能由 3， 4， 5 线性表出（B） 2 不能由 1， 3， 5 线性表出（C） 3 不能由 1， 2， 5 线性表出（D） 4 不能由 1， 2， 3 线性表出7 设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）m=n 且 |A|0（B） AX=0 有唯一零解（C） A 的列向量组 1， 2， n 和 1， 2， ， n，b 是等价向量组（D）r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量线性表出8 设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（A）ATX=0 只有零解（B） ATAX=0 必有无穷多解（C）对任意的 b，A T

4、X=b 有唯一解（D）对任意的 b，AX=b 有无穷多解9 设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（A）r(A)=m （B） r(A)=s （C） r(B)=s（D）r(B)=n10 设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 有解的充要条件是 ( )（A）r(A)=r(A|b)，r(B)任意（B） AX=b 有解，BY=0 有非零解（C） |A|0， b 可由 B 的列向量线性表出（D）|B|0， b 可由 A 的列向量线性表出11 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b

5、 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=1，2，3，4 T， 2+3=0，1，2，3 T，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( )12 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2 分别是 A 的对应于 1， 2 的特征向量，则 ( )（A）当 1=2 时， 1， 2 对应分量必成比例（B）当 1=2 时， 1， 2 对应分量不成比例（C）当 12 时， 1， 2 对应分量必成比例（D）当 12 时， 1， 2 对应分量必不成比例13 已知 1=一 1，1，a，4 T， 2=一 2，1，5，a T， 3=a，2，10，1 T 是 4 阶方阵A 的三个不同特征值对应的特征向

6、量，则 a 的取值范围为 ( )（A）a5（B） a-4（C） a一 3（D）a一 3 且 a-414 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（A）EA=E 一 B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE 一 A 与 tE 一 B 相似15 设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（A）若 为 AT 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（B）若 为 A*的特征向量，那么 为 A 的特征向量（C）若 为 A2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（D）若 为 2A 的特征向

7、量，那么 为 A 的特征向量二、填空题16 设 1=1， 0，一 1，2 T， 2=2，一 1，一 2，6 T， 3=3，1，t ，4 T，=4 ，一1，一 5，10 T，已知 不能由 1， 2,3 线性表出，则 t=_17 已知 3 维向量组 1， 2， 3 线性无关，则向量组 1 一 2， 2 一 k3， 3 一 1 也线性无关的充要条件是_18 设 n 维向量 1， 2， 3 满足 21 一 2+33=0，若对于任意的 n 维向量 ，向量组l1+1，l 2+2，l 3+3 都线性相关，则参数 l1，l 2，l 3 应满足关系_19 设 A 是 5 阶方阵，且 A2=O，则 r(A*)=_

8、20 已知向量组 与向量组 等秩，则 x=_21 已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n 一 1，则线性方程组 AX=0的通解是_22 方程组 有解的充要条件是_23 已知非齐次线性方程组 A 34X=b 有通解 k11，2，0，一 2T+k24，一 1，一1，一 1T+1，0，一 1，1 T，其中 k1，k 2 为任意常数，则满足方程组且满足条件 x1=x2，x 3=x4 的解是_ 24 已知 4 阶方阵 A=1， 2， 3， 4， 1， 2， 3， 4 均为 4 维列向量，其中1， 2 线性无关，若 =1+22 一 3=1+2+3+4=1+32+3+24，则 Ax=

9、的通解为_25 设 ，B 是 3 阶非零矩阵，且 AB=O，则 Ax=0 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 设 (1)计算 A2，并将 A2 用 A 和 E 表出； (2)证明：当 k2 时，Ak=O 的充分必要条件为 A2=O27 证明：方阵 A 与所有同阶对角矩阵可交换的充分必要条件是 A 是对角矩阵28 证明：若 A 为 n 阶可逆方阵，A*为 A 的伴随矩阵，则(A*) T=(AT)*29 证明：若 A 为 n 阶方阵，则有|A*|=|(-A)*|(n2)30 已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A2 一 3A-2E=O证明 A 可逆，并求出其逆矩阵A-

10、131 已知对于 n 阶方阵 A，存在正整数 k，使得 Ak=O证明矩阵 EA 可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E 为 n 阶单位矩阵)32 设矩阵 矩阵 X 满足 AX+E=A2+X，其中 E 为 3 阶单位矩阵求矩阵 X.33 假设 求|A|的所有代数余子式之和34 设(2E-C -1B)AT=C-1，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，已知 求 A35 已知 求 An(n3)36 设矩阵 (1)已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；(2)求矩阵 P，使(AP)T(AP)为对角矩阵37 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值证明：(1

11、)若 AB=BA，则 B 相似于对角矩阵；(2)若 A 的特征向量也是 B 的特征向量，则 AB=BA38 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为1， 2， 3，令 =1+2+3 (1)证明 ，A，A 2 线性无关； (2)若 A3A，求秩 r(AE)及行列式|A+2E|39 证明 AB，其中 并求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B考研数学三（线性代数）模拟试卷 150 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因(A)( 1+2)一( 2+3)+(3+4)一( 4+1)=0； (B)

12、( 1-2)+(2 一 3)+(3-4)+(4 一 1)=0； (C)( 1+2)一( 2-3)一( 3+4)+(4 一 1)=0，故均线性相关而 1+2， 2-3， 3 一 4， 4 一 1=1， 2， 3， 4=1， 2， 3， 4C，其中故 1+2， 2-3， 3-4， 4 一 1 线性无关，两向量组等价【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 因故由 r(A)=n 一 1，知 1+(n 一 1)a=0，即【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 A= 1， 2， m，B= 1， 2， m等价 r(1，, m)=r(1, m) 1， 2， m 线性无关(已知

13、1， 2， m 线性无关时)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 因-2，1，1 1=0，一 2，1，1 2=0，故选 A【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因 BO，AB=O，故 AX=0 有非零解，|A|=0，于是有又 AO，故 B 不可逆，故 =1，且|B|=0【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 i 能否由其他向量线性表出，只需将 i 视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)，有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数7 【正确答

14、案】 D【试题解析】 r(A)=n，b 可由 A 的列向量组线性表出，即为 r(A)=r(A|b)=n，故AX=b 有唯一解 (A)是充分条件，但非必要条件，(B) 是必要条件，但非充分条件(可能无解) ， (C)是必要条件，但非充分条件(b 可由 1， 2， n 线性表出，但可能不唯一)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 r(A)=4，A T 是 54 矩阵，方程组 ATX=b，对任意的 b，方程组若有解，则必有唯一解，也可能无解，即可能 r(AT)=r(A)=4r(AT|b)=5，而使方程组无解【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 显然 BX=0 的解

15、，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)=s，即 A 的列向量组线性无关，从而若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故 ABX=0 必有BX=0，即 ABX=0 的解也是 BX=0 的解，故选(B)，其余选项均可举例说明【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 ，r(A)=r(A|b)，r(B) 任意(BY=0总有解，至少有零解)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 方程组有齐次解 21 一( 2+3)=2，3，4，5 T，故选(C)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线

16、性无关，所以 1， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)当 12 时，1， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A【试题解析】 1， 2， 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由知a5故应选(A)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 D【试题解析】 A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B 成立，则 tE 一 B=tE一 P-1AP=P-1(tE)PP-1AP=P-1(tE 一 A)P，即 tE 一 A 与 tE 一 B 相似，选(D) 对于(A)，由 E 一 A=E 一 B，有

17、 A=B；对于(B)，A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)，A 与 B 不一定能够相似对角化【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵 AT 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，当 0 时， 也为 A*的特征向量这是由于 A= A*A=A* A*=-1|A| 但反之， 为 A*的特征向量， 却不一定为 A 的特征向量例如：当 r(A)n 一 1 时，A*=O ，此时，任意 n 维非零列向量都是 A*的特征向量，故 A*的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B)错误假

18、设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A2 的特征向量这是由于 A=A(A)=A= 但反之，若 为 A 的特征向量， 却不一定为 A 的特征向量例如：假设 A1=， A=一 ，其中 ，0此时有 A。(+)=A+A=+，可知 + 为 A。的特征向量但 ， 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和 + 不是 A 的特征向量故(C)错误若 为 2A 的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 ，因此 为 A 的特征向量，可知(D)是正确的故选 (D)【知识模块】 线性代数二、填空题16 【正确答案】 一 3【试题解析】 因故 不能由1， 2， 3 线性表出 t=一 3【知识模块】 线

19、性代数17 【正确答案】 k1【试题解析】 1-2， 2 一 k3， 3-1=1， 2， 3 因 1， 2， 3线性无关，故 1-2， 2 一 k3， 3 一 1 线性无关的充要条件是 =1一 k0，即 k1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 2l 1-l2+3l3=0【试题解析】 因 l1+1， l2+2，l 3+3 线性相关 存在不全为零的 k1，k 2，k 3，使得 k 1(l1+1)+k2(l2+2)+k3(l3+)3=0，即 (k 1l1+k2l2+k3l3)+k11+k22+k33=0 因 是任意向量， 1， 2， 3 满足 21 一 2+33=0，故当 2l1 一 l2+3

20、l3=0 时上式恒成立故 l1，l 2，l 3 应满足 2l1 一 l2+3l3=0【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 0【试题解析】 因 A 2=AA=O，r(A)+r(A)5，r(A)2， 从而 A*=O r(A*)=0 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 1【试题解析】 由 1， 2， 3= 知 r(1， 2， 3)=2由题设有 r(1， 2， 3)=2因故 x=1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【试题解析】 由 r(A)=n 一 1 知 AX=0 的基础解系由 n 一(n 一 1)=1 个非零向量组成A 的各行元素之和均为零，

21、即 a i1+ai2+ain=0，i=1 ，2，n 也就是 ail.1+ai2.1+ain.1=0，i=1，2，n， 即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为 k1，1，1 T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 2，2，一 1，一 1T【试题解析】 方程组的通解为 由题设 x1=x2，x 3=x4 得解得 k1=1，k 2=0，代入通解得满足 及 x1=x2，x 3=x4 的解为2，2，一 1，一 1T【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 ，k 1，k 2 均为任意常数【

22、试题解析】 由 =1+22 一 3=1+2+3+4=1+32+3+24 可知均为 Ax= 的解，故 1 一 2= 均为Ax=0 的解 由于 1， 2 线性无关，可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1 一 2， 2 一 3，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4 一 r(A)2，即 r(A)2 综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故1 一 2， 2 一 3 即为 Ax=0 的基础解系故 Ax= 的通解为，k 1，k 2 均为任意常数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 k一 1，1，0 T，k 为任意常数【试题解析】 由于 A

23、为 43 矩阵，AB=O，且 BO，由此可知 r(A)3，对 A 作变换 由 r(A)3，有 a=1 当 a=1 时，求得 Ax=0 的基础解系为一 1，1，0 T，因此通解为 k一 1，1，0 T，k 为任意常数【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 【正确答案】 (1) 令解得 x=a+d，y=bc一 ad，即 A 2=(a+d)A+(bc-ad)E(2)A 2=O Ak=O， k2，显然成立；A2=O |A|=ad-bc=0，由(1)知 A2=(a+d)A，于是 Ak=(a+d)k-1A=O，故 A=O 或a+d=0，从而有 A2=(a+d)A=O.

24、【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 充分性 A 是对角矩阵，则显然 A 与任何对角矩阵可交换必要性 设 与任何对角矩阵可交换，则应与对角元素互不相同的对角矩阵 可交换，即因此 biaij=bjaij，又因为bibj，所以 aij=0(ij，i=1，2，n，j=1 ，2，n)，故 A= 是对角矩阵【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (A*) T=(|A|A-1)T=|A|(A-1)T=|A|(AT)-1=|AT|(AT)-1=(AT)*【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 设 A=(aij)nn，|A|的元素 aij 的代数余子式为 Aij，则| A|的元素一aij 的代数余子式

25、为 Bij=(一 1)n-1Aij 于是(-A)*=(一 1)n-1(Aji)nn=(一 1)n-1A*，所以 |(-A)*|=|(一 1)n-1A*|=(一 1)n-1n|A*|=|A*|【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 A 2 一 3A 一 2E=O，则 ，故 A 可逆，且【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 E=E-A k=Ek-Ak=(E 一 A)(E+A+Ak-1)，所以 E 一 A 可逆，且 (E一 A)-1=E+A+Ak-1【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 由 AX+E=A2+X，有(A-E)X=(AE)(A+E)又|AE|=一 10，则【知识模块】 线性代数

26、33 【正确答案】 先计算出 A-1= 由于 |A|=1，所以|A|的所有代数余子式之和即为 A*的所有元素之和，即为0【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 由(2E-C -1B)AT=C-1，有 A=(2C-B)T-1=【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 将 A 分块为则 B=3E+J，其中于是 Bn=(3E+J)n=3nE+Cn13n-1J+Cn23n-2J2+Jn，其中 ，Jn=O(n3)而 ，C 2=6C，C n=6n-1C，所以【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 (1)|A-E|=( 一 1)(+1)2 一(2+y)+(2y 一 1)=0 y=2(2)A 为对称矩阵，

27、要使(AP) T(AP)=PTA2P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A2 对角化由(1)得 A 的特征值 1=一 1,2,3=1， 4=3，故 A2 的特征值 1,2,3=1， 4=9，且A2 的属于特征值 1,2,3=1 的正交单位化的特征向量为A2 的属于特征值 4=9 的正交单位化的特征向量为令 P=p1，p 2，p 3，p 4= ，则(AP) T(AP)=【知识模块】 线性代数37 【正确答案】 设 1， 2， n 为 A 的 n 个互不相同的特征值，则 A 有 n 个线性无关特征向量 p1，p 2，p n，记可逆矩阵 P=p1，p 2，p n，有(1)由 AB=BA 得 P-1ABP=

28、P-1BAP，于是 P-1AEBP=P-1BEAP令 E=PP-1，有 (P -1AP)(P-1BP)=(P-1BP)(P-1AP)，即 A 1(P-1BP)=(P-1BP)A1 下面证明 P-1BP 是对角矩阵设 P-1BP=(cij)nn，则比较两边对应元素得 icij=jcij (i 一 j)cij=0，当 ij 时， ij，则 cij=0，故从而 B 相似于对角矩阵 (2)若 pi(i=1，2，n)也是B 的特征向量，设对应特征值为 i，即 Bp i=ipi(i=1，2，n)，则有从而 P -1ABP=P-1AEBP=(P-1AP)(P-1BP)=A1A2=A2A1 =(P-1BP)(

29、P-1AP)=P-1BAP，由此可得 AB=BA【知识模块】 线性代数38 【正确答案】 (1)设 k 1+k2A+k3A2=0， 由题设 Ai=ii(i=1，2，3)，于是 A=A1+A2+A3=11+22+33， A 2=121+222+323，代人 式整理得 (k1+k21+k312)1+(k1+k22+k322)2+(k1+k23+k332)3=0 因为 1， 2， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 其系数行列式0，必有 k1=k2=k3=0，故 ，A ，A 2 线性无关(2)由 A3=A 有A，A，A 2=A，A 2，A 2=A，A 2，A=，A，A 2 令P=

30、，A，A 2，则 P 可逆，且【知识模块】 线性代数39 【正确答案】 由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角矩阵 B 由于 1=1 时，( 1E-A)X=0，有特征向量1=1，0，0 T； 2=2 时，( 2E-A)X=0，有特征向量 2=0，1，0 T； n=n 时，( nE-A)X=0，有特征向量 n=0，0，1 T故有 A n=nn，A n-1=(n 一 1)n-1，A 1=1，即 A n， n-1，, 1=nn(n 一 1)n-1，, 1=n， n-1，, 1 故得可逆矩阵 P= n， n-1,， 1= 有 P -1AP=B【知识模块】 线性代数