[考研类试卷]考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷76及答案与解析.doc

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1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 76 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知随机事件 A，B 满足条件 AB ，则 ( )（A）A，B 两事件相等（B） A，B 两事件相互独立（C） A，B 两事件为对立事件（D）A，B 两事件不相互独立2 以下结论，错误的是 ( )（A）若 0P(B)1，P(A|B)+ =1，则 A，B 相互独立（B）若 A，B 满足 P(B|A)一 1，则 P(AB)=0（C）设 A，B ，C 是三个事件，则 (AB)B=AB（D）若当事件 A，B 同时发生时，事件 C 必发生，则 P(C)P(A)+P(B)一 13 设

2、 P(B)0，A 1，A 2 互不相容，则下列各式中不一定正确的是 ( )（A）P(A 1A2|B)=0（B） P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)（C）（D）4 设 YU(a，5)，关于 x 的方程 4x2+4Yx+3Y+4=0 无实根的概率为 ，则常数 a= ( )5 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= (0)，则概率 PX +a(a 0)的值 ( )（A）与 a 无关，随 增大而增大（B）与 a 无关，随 增大而减小（C）与 无关，随 a 增大而增大（D）与 无关，随 a 增大而减小6 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，XN(，4 2)，Y N( ，5 2)，记

3、 p2=PX一 4， p2=PY+5，则 ( )（A）对任意实数 ,都有 p1=p2（B）对任意实数 ，都有 p1p 2（C）只对 的个别值，才有 p1=p2（D）对任意实数 ，都有 p1p 27 设二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x， y)，则随机变量 Z=YX 的概率密度 fZ(z)= ( )（A） -+f(x，zx)dx（B） -+f(x，x 一 z)dx（C） -+ f(x，z+x)dx（D） -+ f(-x，z+x)dx8 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 12)，Y N(0 ， 22)，则概率 P|XY|1 ( )（A）随 1 的增加而增加，随 2 的

4、增加而减少（B）随 1 的增加而减少，随 2 的减少而减少（C）随 1 的增加而减少，随 2 的减少而增加（D）随 1 的增加而增加，随 2 的减少而减少9 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XN(0，1)，Y B(n，p)(0p1)，则 X+Y的分布函数 ( )（A）为连续函数（B）恰有 n+1 个间断点（C）恰有 1 个间断点（D）有无穷多个间断点10 设 X 为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C 和 0，必有 ( )（A）P|XC|=E(|XC|) （B） P|XC|E(|XC|)（C） P|XC|E(|XC|)（D）P|XC|DX 2二、填空题11 某单位员工中有 90的人

5、是基民(购买基金)，80的人是炒股的股民，已知在是股民的前提条件下，还是基民的人所占的比例至少是_12 设两个相互独立的事件 A 与 B 至少有一个发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，则 P(A)=_13 将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为_14 已知每次试验“ 成功” 的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部 “失败”的条件下，“ 成功” 不止一次的概率为 _15 设 X 服从参数为 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 ，则 =_16 设随机变量 X 与随机变量一 X 具有相同的

6、概率密度 f(x)，则 f(x)一 f(一 x)=_17 设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度为则常数 k=_18 设二维随机变量(X，Y)在 G=(x，y)| x0，0y2x+1 上服从均匀分布，则条件概率19 设二维随机变量(X，Y)的分布律为 则随机变量 Z=Y.minX，Y) 的分布律为_20 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 Z=的概率密度为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 某计算机系统有 100 个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有 10 个或更多个终端在使用的概率22 设

7、 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，已知 EX=，DX= 2+，求 和E(S2)23 从装有 1 个白球，2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 这样连续取 5 次得样本 X1，X 2，X 3，X 4，X 5记 Y=X1+X2+X5，求： (1) ，E(S2)(其中 ，S 2 分别为样本 X1，X 2，X 5 的均值与方差)； (2)Y 的分布律，EY，E(Y 2)24 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X 3 是来自总体 X 的样本，证明估计量的期望都是 ，并指出它们中哪一个方差最小25 设 X1，X 2，X n 为总体 X 的一个样本，设 EX=，DX= 2，试确定常数 C，

8、使 一 CS2 的期望为 2(其中 ，S 2 分别为样本 X1，X 2，X n 的均值和方差)26 设X n是一随机变量序列，X n 的概率密度为：27 假设有四张同样卡片，其中三张上分别只印有 a1，a 2，a 3，而另一张上同时印有a1，a 2，a 3现在随意抽取一张卡片，令 Ak=卡片上印有 ak证明：事件A1，A 2，A 3 两两独立但不相互独立28 设 X 和 Y 相互独立都服从 0-1 分布，且 PX=1=PY=1=06，试证明：U=X+Y，V=XY 不相关，但是不独立29 某保险公司接受了 10 000 辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为 12元若车丢失，则赔偿车主 1 00

9、0 元假设车的丢失率为 0006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：(1)亏损的概率 ；(2)一年获利润不少于 40 000 元的概率 ；(3)一年获利润不少于 60 000 元的概率 30 设事件 A 出现的概率为 p=05，试利用切比雪夫不等式，估计在 1 000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数在 450 到 550 次之间的概率 31 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，且 X 的概率分布为其中 01分别以 v1，v 2 表示X1，X 2，X n 中 1，2 出现的次数，试求 (1)未知参数 的最大似然估计量； (2)未知参数 的矩估计量； (3)

10、当样本值为 1，1，2，1，3，2 时的最大似然估计值和矩估计值32 设有甲、乙两名射击运动员，甲命中目标的概率是 06，乙命中目标的概率是05，求下列事件的概率：(1)从甲、乙中任选一人去射击，若目标被命中，则是甲命中的概率；(2)甲、乙两人各自独立射击，若目标被命中，则是甲命中的概率33 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱 24 只装统计资料表明，每箱最多有 2 只残品，且含 0，1，2 件残品的箱各占 80，15，5现在随意抽取一箱，随意检验其中 4 只，若未发现残品则通过验收，否则要逐一检验并更换试求：(1)一次通过验收的概率；(2)通过验收的箱中确实无残品的概率34 在电视剧乡村爱情中，谢

11、广坤家中生了一对龙凤胎，专业上叫异性双胞胎假设男孩的出生率为 51，同性双胞胎的概率是异性双胞胎的 3 倍，已知一双胞胎第一个是男孩，试求第二个也是男孩的概率35 甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为04，05，07设飞机中一弹而被击落的概率为 02，中两弹而被击落的概率为 06，中三弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率36 某考生想借张宇编著的张宇高等数学 18 讲，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 76

12、答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 AB 等价于 AB= 等价于AB=由 得到 A，B 为对立事件两个对立事件 A 和 B 是互斥的，一般情况下是不相互独立的但当 A 和 B 中有一个为不可能事件时，则另一个必为必然事件这时对立的两个事件 A 和 B 又是相互独立的故 (B)，(D) 两选项都不正确【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【试题解析】 对于(A) ，即 P(B)-P 2(B)=P(AB)+P(B)一 P(A)P(B)一 P2(B)从而 P(AB)=P(A)P(B)，故(A) 正确对于(D)， P(C

13、)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)一 1，(D) 错误，故选(D)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1A2= ，得 P(A1A2)=0，于是P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)一 P(A1A2|B) =P(A1|B)+P(A2|B)，(B)正确； =1P(A1|B)一 P(A2|B)不一定等于 1，(C) 错误； =1 一P(A1A2|B)=10=1，(D)正确故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 D【试题解析】 Y 的概率密度 题设一元二次方程无实根，则由其判别式 =16Y 2 一 44(3Y+

14、4)x0 一 1Y4，可知： 当 a-1 时，由P方程无实根=P一 1 Y4= 当一 1a4 时，由 P方程无实根=P一 1Y4= 当4a5 时，则与题设矛盾，因为 P方程无实根=P 一 1Y 4=0 综上所述，a=一 15 或【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 由概率密度的性质知， +Ae-xdx=Ae-=1，可得 A=e.于是 PX+a= +aee-xdx=1 一 e-a， 与 无关，随 a 增大而增大【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 A【试题解析】 用 (x)代表标准正态分布 N(0，1)的分布函数，有由于 (一 1)=1 一 (1)，所以p1=

15、p2【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 记 Z 的分布函数为 FZ(z)，则 FZ(z)=PZz=PYXz=-+dx-x+zf(x，y)dy， 其中 Dz=(x，y)|y 一 xz如图 36 的阴影部分所示， 将代入 得 FZ(z)=-+dx-zf(x，u+x)du= -zdu-f+(x，u+x)dx于是 因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 由 XN(0， 12)，YN(0， 22)且 X，Y 独立，知 X-YN(0 ， 12+22)，从而 P|XY|1=P一 1X Y1=由于 (x)是 x 的单调增加函数，因此当1 增加

16、时, 减少；当 2 减少时， 增加因此本题选(C)【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 记 Z=X+Y，则 Z 的分布函数是 n+1 个连续函数之和，所以为连续函数因此本题选(A)【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 C【试题解析】 故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 0875【试题解析】 设事件 A，B 分别表示员工是基民、股民，依题意 P(A)=09，P(B)=0 8 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)P(A)+P(B)一 1=07，因此【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 已知事件

17、 A 与 B 独立，且 P(AB)= P(AB)=P(BA)，故 P(A)一 P(AB)=P(B)一 P(AB) 所以【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 这是独立重复试验概型，设 X=掷五次硬币，正面出现的次数，则X ，而 Y=5 一 X 为五次中反面出现的次数记 A=正面、反面都至少出现两次，则 P(A)=P2X5，2Y5=P2X5 ，25 一 X5 =P2X5，0X3=PX=2X=3【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 这是独立重复试验概型，记 A=成功，则 P(A)=p，X=n 次试验中A 发生的次数 ，则 XB(n，p)，“在没有全

18、部失败的条件下，成功不止一次”的概率为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 X 的概率密度为 f(x)= 记 Y=对 X 作三次独立重复观察X2 发生的次数 ，则 YB(3，p)，其中 p=PX 2=2+e-xdx=e-2，由题意PY1=1 一 PY=0=1 一(1 一 p3)= 于是 又 p=e-2，所以【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 0【试题解析】 随机变量 X 与随机变量一 X 具有相同的概率密度 f(x)，因而也具有相同的分布函数 F(x)，即 PXx=F(x)=P一 Xx从而 -xf(x)dx=F(x)=PXx=P-Xx=PX一 x =1

19、一 PX一 x=1-xf(x)dx 即 -xf(x)dx+-xf(x)dx=1，等式两边求导得 f(x)一 f(-x)=0【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)= 所以【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 1【试题解析】 G 如图 37 的OAB 所示，它的面积 S= ，所以(X ，Y)的概率密度为 由于关于 Y 的边缘概率密度其中 D 如图 37 阴影部分所示【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 Z 全部可能取值为 0，1，2，3，且 PZ=0=PY.minX，Y=0=PminX，Y=0=PX=0= PZ=1=PY

20、.minX，Y=1=PY=1，minX ，Y=1=PX=1，Y=1= PZ=2=PY.minX，Y=2=PY=2，minX ，Y=1=PX=1，Y=2= PZ=3=PY.minX，Y=3=PY=3，minX ，Y=1=PX=1，Y=3= 所以 Z 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 X 的概率密度为 f(x)= fZ(z)=-+|x|f(x)f(xz)dx，【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 设 Xi= 则同时使用的终端数所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 【知识模块】

21、 概率论与数理统计23 【正确答案】 (1)由于 X 的分布律为 所以(2)Y 是连续 5 次取球中取得黑球的个数，所以 从而【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 因 同理可得【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 对任意给定的 0，由于【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 P(A k)= (k=1，2，3)，P(A kAj)= (k，j=1，2，3；kj) ，P(A 1A2A3)= 由于对任意 k，j=1 ，2，3 且 kj，有 可见事件 A1，A 2，A 3 两两独立但是，由于故事件 A1，A 2，A 3

22、不相互独立【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由协方差的定义和性质，以及 X 和 Y 相互独立，可知 Cov(U，V)=E(UV)一 EUEV=E(X2 一 Y2)一 E(X+Y)E(XY)=E(X2)一 E(Y2)=0， 于是，U=X+Y，V=XY 不相关 现在证明 U=X+Y，V=XY 不独立事实上，由 PU=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0=016， PV=0=PX=0，Y=0+PX=1，Y=1 =PX=0PY=0)+PX=1PY=1=052， PU=0，V=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0 =016016052=PU=0PV=0 ， 可见U，V 不独立【知识模

23、块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设 X 为“需要赔偿的车主人数” ，则需要赔偿的金额为Y=01X(万元)；保费总收入 C=12 万元易见，随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，其中 n=10 000，p=0 006；EX=np=60，DX=np(1 一 p)=5964由棣莫弗一拉普拉斯定理知，随机变量 X 近似服从正态分布 N(60，5964)，随机变量Y 近似服从正态分布 N(6，05964) (1) 保险公司亏损的概率(2)保险公司一年获利润不少于 4 万元的概率(3)保险公司一年获利润不少于 6 万元的概率【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 设 X 表示“

24、1 000 次独立重复试验中事件 A 出现的次数” ，则XB(1 000，05)， EX=100005=500，DX=1 00005 2=250由切比雪夫不等式，知 =P450X550=P|X 一 500|50【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 (1)样本 X1，X 2，X n 中 1，2，3 出现的次数分别为 v1，v 2，n一 v1 一 v2，则似然函数和似然方程为故似然方程的唯一解就是参数 的最大似然估计量 (2)总体 X 的数学期望为 EX=2+4(1 一 )+3(1 一 )2在上式中用样本均值 估计数学期望 EX，可得 的矩估计量 (3)对于样本值 1，1，2，1，3，

25、2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 (1)该随机试验分为两个阶段：选人，A 甲 ，A 乙 ； 射击，B=目标被命中则 (2)该随机试验不分阶段， A 甲 =甲命中 ，A 乙 =乙命中，B=目标被命中 ，【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 (1)设 Ai=抽取的一箱中含有 i 件残品(i=0，1，2)，则A0，A 1，A 2 构成完备事件组，且 P(A0)=08，P(A 1)=015，P(A 2)=005设B=一次通过验收，则 P(B|A0)=1，P(B|A 1)= 由全概率公式得 (2)由贝叶斯公式得【知识模块】 概率论与

26、数理统计34 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 设 A=飞机被击落 ，B i=飞机中 i 弹，i=1 ，2，3则 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3) =02P(B 1)+06P(B 2)+P(B3)设 Ci=第i 个人命中，i=1，2，3，则 P(B1)= =040503+060507+06050 3=0 36，P(B 2)= =040503+040507+060 507=041 ， P(B 3)=P(C1C2C3)=0405 07=014，所以 P(A)=02036+06041+0.14=0458【知识模块】 概率论与数理统计36 【正确答案】 设 A=该生能借到此书 ，B i=从第 i 馆借到，i=1 ，2，3则P(B1)=P(B2)=P(B3)=P第 i 馆有此书且能借到= 于是【知识模块】 概率论与数理统计