[考研类试卷]考研数学三(n维向量)模拟试卷1及答案与解析.doc
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1、考研数学三(n 维向量)模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列向量组 1, 2, 3 中,线性无关的是(A)(1 ,2,3,4) ,(4, 3,2,1) ,(0,0,0,0)(B) (a,b, c),(b ,c,d),(c ,d,e),(d,e,f)(C) (a,l,b,0,0) ,(c,0,d,2,3),(e,4, f,5,6)(D)(a,1,2,3),(b, 1,2,3),(c,4,2,3),(d,0,0,0)2 已知向量组 1, 2, 3, 4 线性无关,则命题正确的是(A) 1+2, 2+3, 3+4, 4+1 线性无关(B)
2、1-2, 2-3, 3-4, 4-1 线性无关(C) 1+2, 2+3, 3-4, 4-1 线性无关(D) 1+2, 2-3, 3-4, 4-1 线性无关3 设 1, 2, , s 是 n 维向量,则下列命题中正确的是(A)如 s 不能用 1, 2, s-1 线性表出,则 1, 2, s 线性无关(B)如 1, 2, s 线性相关, s 不能由 1, 2, s-1 线性表出,则1, 2, s-1 线性相关(C)如 1, 2, s 中,任意 s-1 个向量都线性无关,则 1, 2, s 线性无关(D)零向量 0 不能用 1, 2, s 线性表出 4 设向量组: 1, 2, r 可由向量组: 1,
3、 2, s 线性表出,则下列命题正确的是(A)若向量组线性无关,则 ars(B)若向量组线性相关,则 rs(C)若向量组线性无关,则 rs(D)若向量组线性相关,则 rs二、填空题5 已知向量组 1=(1,2,-1,1) T, 2=(2,0,a,0) T, 3=(0,-4,5,1-a) T 的秩为2,则 a=_6 若 1=(1,0 ,5,2) T, 2=(3,-2,3,-4) T, 3=(-1,1,t ,3) T 线性相关,则t=_.7 若 1=(1,-1,2,4) T, 2=(0,3,1,2) T, 3=(3,0,7,a) T, 4=(1,-2,2,0) T线性无关,则 a 的取值范围为 _
4、8 若 =(1,2,t) T 可由 1=(2,1,1) T, 2=(-1,2, 7)T, 3=(1,-1,-4) T 线性表出,则 t=_.9 设 1=(1,2 ,1) T, 2=(2,3,a) T, 3=(1,a+2 ,-2) T,若 1=(1,3,4) T 可以由1, 2, 3 线性表出, 2=(0,1,2) T 不能由 1, 2, 3 线性表出,则 a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 若 i1, i2, ir 与 j1, j2, jt 都是 1, 2, s 的极大线性无关组,则 r=t11 设 A,B 都是 mn 矩阵,则 r(A+B)r(A)+r(B)12
5、设 A 是 mn 矩阵,B 是 nP 矩阵,如 AB=0,则 r(A)+r(B)n13 已知 1=(1,1,1,0) T, 2=(0,1,2,1) T, 3=(3,1,-2,1) T 线性无关,则将其正交化,有14 判断 1=(1,0,2,3) T, 2=(1,1,3,5) T, 3=(1,-1,a+2,1)T, 4=(1,2,4,a+9) T 的线性相关性15 已知 1=(1, -1 ,1) T, 2=(1,t,-1) T, 3=(t,1 ,2) T,=(4,t 2,-4) T,若 可以由 1, 2, 3 线性表出且表示法不唯一,求 t 及 的表达式16 已知 可用 1, 2, m 线性表示
6、,但不能用 1, 2, m-1 表出,试判断: ( )m 能否用 1, 2, m-1, 线性表示; () m 能否用 1, 2, m-1 线性表示,并说明理由17 若向量组 1, 2, 3 线性相关,向量组 2, 3, 4 线性无关,试问 4 能否由1, 2, 3 线性表出?并说明理由18 已知线性方程组 的通解是(2,1,0,3) T+k(1,-1,2,0) T,如令 i=(ai,b i,c i,d i)T, i=1,2,5试问:() 1 能否由2, 3, 4 线性表出? () 4 能否由 1, 2, 3 线性表出? 并说明理由19 已知 1, 2, 3 线性无关,证明 21+32, 2-3
7、, 1+2+3 线性无关20 设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k,使线性方程组 Akx=0 有解向量 ,且 Ak-10 证明:向量组 ,A,A k-1是线性无关的21 设 A 是 nm 矩阵,B 是 mn 矩阵,其中 nm,若 AB=E,证明 B 的列向量线性无关22 设 A 是 n 阶矩阵, 1, 2, 3 是 n 维列向量,且10,A 1=k1,A 2=l1+k2,A 3=l2+l3,l0,证明 1, 2, 3 线性无关 23 证明 n 维列向量 1, 2, n 线性无关的充要条件是24 已知向量 可以由 1, 2, s 线性表出,证明:表示法唯一的充分必要条件是 1, 2, , s
8、 线性无关25 设 i=(ai1,a i2,a in)T(i=1,2,r;rn) 是 n 维实向量,且1, 2, r 线性无关,已知 =(b1,b 2,b n)T 是线性方程组的非零解向量试判断向量组 1, 2, r, 的线性相关性考研数学三(n 维向量)模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 有零向量的向量组肯定线性相关,任意 n+1 个 n 维向量必线性相关因此(A) ,(B)均线性相关 对于(D) ,若 d=0,肯定线性相关;若 d0,则(a,1, 2,3)-(b,1,2, 3)= (d,0,0,0),即 1
9、, 2, 4 线性相关,而线性相关的向量组再增加向量肯定仍是线性相关,因此不论哪种情况,(D)是线性相关的由排除法可知(C) 入选另一方面,若能观察出 1=(1,0,0), 2=(0,2,3),3=(4,5,6)所构成的行列式 则可知 1, 2, 3 线性无关,而1, 2, 3 是其延伸组,即不论如何扩充均线性无关,故选(C)【知识模块】 n 维向量2 【正确答案】 D【试题解析】 由观察法可知( 1+2)-(2+3)+(3+4)-(4+1)=0,即(A)线性相关 对于(B) ,( 1-2)+(2-3)+(3-4)+(4-1)=0,即(B)线性相关 而(C)中,( 1+2)-(2+3)+(3-
10、4)+(4-1)=0,即(C)线性相关 由排除法可知(D)正确作为复习并掌握基本方法,请读者直接证明(D)线性无关.【知识模块】 n 维向量3 【正确答案】 B【试题解析】 (A) ,(C) , (D)均错,仅(B)正确 (A)中当 s 不能用 1, 2, s-1 线性表出时,并不保证每一个向量 i(i=1,2,s-1)都不能用其余的向量线性表出例如, 1=(1,0), 2=(2,0), 3=(0,3) ,虽 3 不能用 1, 2 线性表出,但21-2+03=0, 1, 2, 3 是线性相关的 (C) 如 1, 2, s 线性无关,可知它的任何一个部分组均线性无关但任一部分组线性无关并不能保证
11、该向量组线性无关例如 e 1=(1,0,0,0),e 2=(0,1,0, ,0),e n=(0,0,0,1),=(1,1,1,1),其中任意 n 个都是线性无关的,但这 n+1 个向量是线性相关的 (D)在线性表出的定义中,对组合系数没有任何约束条件,因此,零向量可以用任何向量组线性表出,最多组合系数全取为 0,即0=01+02,+0 s 其实,零向量 0 用 1, 2, s 表示时,如果组合系数可以不全为 0,则表明 1, 2, s 是线性相 关的,否则线性无关 关于(B),由于 1, 2, s 线性相关,故存在不全为 0 的 ki(i=1,2,s),使 k11+k22+kss=0 显然,
12、ka=0(否则 s 可由 1, s-1 线性表出),因此1, 2, s-1 线性相关【知识模块】 n 维向量4 【正确答案】 A【试题解析】 因为可由线性表出,故 r()r() 当向量组线性无关时,有 r()=r( 1, 2, r)=r由向量组秩的概念自然有 r()=r( 1, 2, s)s从而(A)正确若 1= ,可见(B)、(D)均不正确若 1= ,可知(C) 不正确【知识模块】 n 维向量二、填空题5 【正确答案】 3【试题解析】 根据三秩相等定理及经初等变换秩不变定理,对( 1, 2, 3)作初等变换,有 所以a=3【知识模块】 n 维向量6 【正确答案】 1【试题解析】 1, 2,
13、3 线性相关的充要条件是齐次方程组 x11+x22+x33=0 有非零解 对系数矩阵高斯消元,化为阶梯形,于是有因为齐次方程组有三个未知数,它若有非零解则阶梯形方程组中方程个数必不大于 2,故知 t=1【知识模块】 n 维向量7 【正确答案】 a14【试题解析】 n 个 n 维向量 1, 2, n 线性无关 1, 2, n 0因为所以a14【知识模块】 n 维向量8 【正确答案】 5【试题解析】 可以由向量组 1, 2, 3 线性表出的充要条件是线性方程组x11+x22+x33= 有解 对增广矩阵高斯消元,化为阶梯形,即【知识模块】 n 维向量9 【正确答案】 -1【试题解析】 依题意,方程组
14、 x11+x22+x33=1 有解,而方程组x11+x22+x33=2 无解.因为两个方程组的系数矩阵相同,故可合并一次加减消元,即 可见 a=-1 时,方程组 x11+x22+x33=1 有解,而 x11+x22+x33=2 无解,故 a=-1.【知识模块】 n 维向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 因为 i1, i2, ir 是极大线性无关组,所以添加 j1 后i1, , ir, j1 必线性相关那么 j1 可由 i1, i2, ri 线性表出类似地,j2, , jr 也都可由 i1, i2, ir 线性表出. 又因 j1, j2, jt 线性无关,得
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