[考研类试卷]考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷3及答案与解析.doc
《[考研类试卷]考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷3及答案与解析.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《[考研类试卷]考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷3及答案与解析.doc(14页珍藏版)》请在麦多课文档分享上搜索。
1、考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶实对称矩阵,P 是 n 阶可逆矩阵,已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量,则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是( )(A)P -1(B) PT(C) P(D)(P -1)T2 n 阶矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量是 A 与对角矩阵相似的( )(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件3 n 阶矩阵 A 和 B 具有相同的特征向量是 A 和 B 相似的( )(
2、A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既非充分又非必要条件4 设三阶矩阵 A 的特征值是 0,1,-1,则下列命题中不正确的是( )(A)矩阵 A-E 是不可逆矩阵(B)矩阵 A+E 和对角矩阵相似(C)矩阵 A 属于 1 与-1 的特征向量相互正交(D)方程组 Ax=0 的基础解系由一个向量构成5 已知 A 是一个三阶实对称正定的矩阵,那么 A 的特征值可能是( )(A)3,i,-1(B) 2,-1,3(C) 2,i,4(D)1,3,46 下列矩阵中,不能相似对角化的矩阵是( )7 设 1, 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 1, 2,则1
3、, A(1+2)线性无关的充分必要条件是( )(A) 10(B) 20(C) 1=0(D) 2=0二、填空题8 已知 =12 是 A= 的特征值,则 a=_9 设 A 是 3 阶矩阵,如果矩阵 A 的每行元素的和都是 2,则矩阵 A 必定有特征向量_10 设 =(1, -1,a) T,=(1,a,2) T,A=E+ T,且 =3 是矩阵 A 的特征值,则矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量是_11 已知矩阵 A= 和对角矩阵相似,则 a=_12 已知矩阵 A= 有两个线性无关的特征向量,则 a=_13 已知矩阵 A= 只有一个线性无关的特征向量,那么 A 的三个特征值是_14 已知 A= 有
4、 3 个线性无关的特征向量,则 x=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 已知 1, 2, 3 是 A 的特征值, 1, 2, 3 是相应的特征向量且线性无关,如1+2+3 仍是 A 的特征向量,则 1=2=315 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解,16 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2;17 求 a,b 的值及方程组的通解17 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1, 2=2, 3=-2, 1=(1,-1,1) T 是 A 的属于特征值 1 的一个特征向量,记 B=A5-4A3+E,其中 E 为 3 阶单位矩阵18 验证 1 是矩阵 B 的特征向
5、量,并求 B 的全部特征值与特征向量;19 求矩阵 B19 A 为三阶实对称矩阵,A 的秩为 2,且20 求 A 的所有特征值与特征向量;21 求矩阵 A22 设 A 为正交阵,且A=-1 ,证明 =-1 是 A 的特征值23 已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,2,-3,求A *+3A+2E23 已知 p= 的一个特征向量24 求参数 a, b 及特征向量 p 所对应的特征值;25 问 A 能相似对角化,并说明理由26 设 A2-3A+2E=O,证明: A 的特征值只能取 1 或 2考研数学三线性代数(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有
6、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 设 是矩阵 (P-1AP)-1 属于 的特征向量,并考虑到 A 为实对称矩阵AT=A,有 (P -1AP)T=,即 PTA(P-1)T= 把四个选项中的向量逐一代人上式替换 ,同时考虑到 A=,可得选项 B 正确,即左端 =PTA(P-1)T(PT)=PTA=PT=PT=右端 所以应选 B【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量2 【正确答案】 A【试题解析】 若 AA= ,则有可逆矩阵 P 使 P-1AP=A,或AP=PA令 P=1, 2, n,即 A1, 2, , n=1, 2, 2=a11, a22,a nn从而有 Ai=aii, i=
7、1,2,n 由 P 可逆,即有 i0,且 1, 2, n 线性无关根据定义可知 1, 2, n 是 A的 n 个线性无关的特征向量 反之,若 A 有 n 个线性无关的特征向量1, 2, n,且满足 Ai=ii, i=l,2,n 那么,用分块矩阵有由于矩阵 P=(1, 2, N)可逆,所以 P-1AP=A,即 A 与对角矩阵 A 相似所以应选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量3 【正确答案】 D【试题解析】 根据相似矩阵的定义,由 AB 可知,存在可逆矩阵 P 使 P-1AP=jB:若 A=,0, 有 B(P -1)=(P-1AP)(P-1)=P-1A=(P-1), 即 是 A 的特征向量
8、,P -1 是 B 的特征向量,即矩阵 A 与 B 的特征向量不同 相反地,若矩阵 A 与 B 有相同的特征向量,且它们属于不同的特征值,即 A=,B=, 因为矩阵 A 与 B 的特征值不同,所以矩阵 A 和 B 不可能相似 所以矩阵 A 与 B 有相同的特征向量对于 AB 来说是既非充分又非必要,故选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为矩阵 A 的特征值是 0,1,-1,所以矩阵 AE 的特征值是-1,0,-2 由于 =0 是矩阵 A-E 的特征值,所以 A-E 不可逆故命题 A 正确 因为矩阵 A+E 的特征值是 1,2,0,矩阵 A+E 有三个不
9、同的特征值,所以 A+E 可以相似对角化命题 B 正确(或由 AA A+EA+E 而知 A+E 可相似对角化) 因为矩阵 A 有三个不同的特征值,知 因此,r(A)=r(A)=2,所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系由 n-r(A)=3-2=1 个解 向量构成,即命题 D正确 命题 C 的错误在于,若 A 是实对称矩阵,则不同特征值的特征向量相互正交,而一般 n 阶矩阵,不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不正交【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量5 【正确答案】 D【试题解析】 因为实对称矩阵的特征值都是实数,故选项 A,C 都不正确;又因为正定矩阵的特征值均为正数,故选项 B 也不正确;应用
10、排除法,答案为 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是实对称矩阵,实对称矩阵必可以相似对角化 选项 B 是下三角矩阵,主对角线元素就是矩阵的特征值,因而矩阵有三个不同的特征值,所以矩阵必可以相似对角化 选项 C 是秩为 1 的矩阵,因为 E-A= 3-42,可知矩阵的特征值是 4,0,0对于二重根 =0,由秩 r(0E-A)=r(A)=1 可知齐次方程组(0E-A)x=0 的基础解系有 3-1=2 个线性无关的解向量,即 =0 有两个线性无关的特征向量,从而矩阵必可以相似对角化 选项 D 是上三角矩阵,主对角线上的元素1,1,-1 就是矩阵的特征值
- 1.请仔细阅读文档,确保文档完整性,对于不预览、不比对内容而直接下载带来的问题本站不予受理。
- 2.下载的文档,不会出现我们的网址水印。
- 3、该文档所得收入(下载+内容+预览)归上传者、原创作者;如果您是本文档原作者,请点此认领!既往收益都归您。
下载文档到电脑,查找使用更方便
2000 积分 0人已下载
下载 | 加入VIP,交流精品资源 |
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 考研 试卷 数学 线性代数 矩阵 特征值 特征向量 模拟 答案 解析 DOC