[考研类试卷]考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷47及答案与解析.doc

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1、考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 47 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，记 EX，DX 2，DS0，则（A）S 是 的无偏估计（B） S2 是 2 的无偏估计（C） 是 2 的无偏估计（D） 是 EX2 的无偏估计2 设 是从总体 X 中取出的简单随机样本 X1，X n 的样本均值，则 是 的矩估计，如果（A）XN(， 2)（B） X 服从参数为 的指数分布（C） PX m(1 一 )m1 ，m1，2，（D）X 服从0，上均匀分布3 假设总体 X 的方差 DX 2 存在(0)，X 1，

2、X n 是取自总体 X 的简单随机样本，其方差为 S2，且 DS0，则（A）S 是 的矩估计量（B） S 是 的最大似然估计量（C） S 是 的无偏估计量（D）S 是 的相合(一致)估计量二、填空题4 设 X1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本， 是总体方差 2 的无偏估计量，则 a_ ，b_5 设总体 X 服从(a，b)上的均匀分布， X1，X 2，X n 是取自 X 的简单随机样本，则未知参数 a，b 的矩估计量为 _ _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设总体 X 的概率分布为 其中 p(01，x 2，x n 是总体 X 的一组样本观测值(I)试求参数

3、p 的矩估计量和最大似然估计量；()验证相应两个估计量的无偏性7 设总体 X 的概率密度为 f(x，) 其中 和 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值一 05，03，一 02 ，一 06，一01，04，05，一 08，求 的矩估计值和最大似然估计值8 已知总体 X 服从瑞利分布，其密度函数为X1，X n 为取自总体 X 的简单随机样本，求 的矩估计量，并问这个估计量是否为无偏估计量?9 接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击次数相应为 k1，k 2，后，试求命中率 P 的最大似然估计值和矩估计值10 设 X 服从0，6 上的均匀分布， X

4、1，X n 为简单随机样本，求 a，b 的最大似然估计量11 已知总体 X 的密度函数为 其中 ， 为未知参数，X 1，X n 为简单随机样本，求 和 的矩估计量12 设总体 X 服从韦布尔分布，密度函数为 其中0 为已知，0 是未知参数，试根据来自 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n，求 的最大似然估计量13 设某种电子器件的寿命(以小时计)T 服从指数分布，概率密度为其中 0 未知现从这批器件中任取 n 只在时刻 t0 时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间 T0 结束，此时有 k(0kn)只器件失效，试求 的最大似然估计14 设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，X 1，X 2，X

5、 n 取自总体 X 的简单随机样本， ，X( n)max(X 1，X n)(I)求 的矩估计量和最大似然估计量；( )求常数 a，b，使 均为 的无偏估计，并比较其有效性；( )应用切比雪夫不等式证明： 均为 的一致性(相合性)估计15 设有一批同型号产品，其次品率记为 P现有五位检验员分别从中随机抽取 n件产品，检测后的次品数分别为 1，2，2，3，2(I)若已知 P25，求 n 的矩估计值 ；() 若已知 n100，求 P 的极大似然估计值 ；()在情况()下，检验员从该批产品中再随机检测 100 个产品，试用中心极限定理近似计算其次品数大于 3 的概率 16 假设批量生产的某种配件的内径

6、 X 服从正态分布 N(， 2)，今随机抽取 16 个配件，测得平均内径 305 毫米，样本标准差 s04 毫米，试求 和 2 的90置信区间17 在测量反应时间中假设反应时间服从正态分布，一心理学家估计的标准差是005 秒为了以 95的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过 001 秒，应取的样本容量 n 为多少?18 某装置的平均工作温度据制造厂家称低于 190今从一个由 16 台装置构成的随机样本测得工作温度的平均值和标准差分别为 195和 8，根据这些数据能否支持厂家结论? 设 a005 ，并假定工作温度近似服从正态分布考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷 47 答案与解析一、选择

7、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 从上题知 S2 是无偏估计，应选(B)进一步分析 DSES 2 一(ES) 20 (ES)2ES2 2 ES 2 22，【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 若 XN(， 2)，则 EX， 的矩估计为 ，应选(A) 若 x服从参数为 的指数分布，则 ， 的矩估计 ；对于选项(C) ，X 服从参数为 的几何分布，EX ， 的矩估计 ；对选项(D) ，EX ，2EX，于是 的矩估计 【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 由各选项中概念的定义及 知，正确选项是(

8、D)，这是因为 2DX 的矩估计量 ，因而 S 不是 的矩估计量，(A)不成立；题中未对 X 的分布做出假设，因此 的最大似然估计量是否存在不知，(B)不成立。如果 S2 是 2 的最大似然估计量，根据最大似然估计的不变性，可以断言 S 是 的最大似然估计量，选项(B)成立，否则选项 (B)不成立如果 S 是 的无偏估计即 ES，由此得(ES) 2 2，又 ES2 2，所以 DSES 2 一(ES) 20，与假设矛盾，所以(C) 不成立，因此选 (D)事实上，由大数定律及依概率收敛性质知故 ，即 S 是 的相合估计量【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 样本方

9、差是总体方差 2 的无偏估计，所以【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 (I)矩估计 p，故 p 的矩估计量 最大似然估计：似然函数 解得 p ，故 p 的最大似然估计量 ()由于，要证无偏性只要验证 即相应的估计量均为无偏估计量【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 由 f(x； ，)0 和 f(x；，)dx1，得到 0，0 且1.于是 (I)求矩估计值 由于而(050302060104050.8) ，令 E(X)，解得 的矩估计值 ()求最大似然估计值 由于在给

10、定的 8 个样本值中，属(一 1，0) 的有 5 个，属0，1) 的有 3 个，故似然函数为令 ，解得 的最大似然估计值(显然这时 L()最大 )【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 记 EX ，DX 2，则由等式 ，因此参数 的矩估计量为 由于样本均值 与总体 X 的期望相等，因此 ，计算可知 是 的有偏估计量【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 依题意，总体 X 服从参数为 p 的几何分布，即 PXkp(1p)k1 ，k1，2，由于 EX ，所以 p 的矩估计值 样本(k 21，k 2，k n)的似然函数 L 为 L(k1，k 2，k n；p)PX 1k 1，X 2k

11、2， ，X nk n因此 P 的最大似然估计值【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 设 的样本观测值为 x1，x n 则似然函数显然 ，且 b 一 a 越小 L值越大，但是bx i，i1，nbmax(x i，x n)，同理axi，i1， ，na (xi，x n)，所以只有当 bmaxX i，a Xi时，L 才达到最大值，故 a，b 的最大似然估计值分别为，从而可知其最大似然估计量分别是【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 因此 与 的矩估计量分别为【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 设 x1，x 2，x n 是样本 X1， ，X n 的观测值，当Xi0(i

12、1，2，n)时其似然函数为因此 的最大似然估计值为，最大似然估计量为 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 考虑事件 A：“试验直至时间 T0 为止，有 k 只器件失效，而有nk 只未失效” 的概率记 T 的分布函数为 F(t)，即有 一只器件在 t0 时投入试验，则在时间 T0 以前失效的概率为 PTT0F(T 0)：1 一；而在时间 T0 未失效的概率为 PTT01 一 F(T0) 由于各只器件的试验结果是相互独立的，因此事件 A 的概率为这就是所求的似然函数取对数得 lnL()lnC nkkln(1 一 )(n 一 k)(一 T0)，于是 A 的最大似然估计为【知识模块】 概

13、率论与数理统计14 【正确答案】 (I)依题意总体 X 的密度函数、分布函数分别为令 EX= ，解得 2，于是 的矩估计量为 又样本 X1，X n 的似然函数为L()为 的单调减函数，且Oxi，即 要取大于 xi 的一切值，因此 的最小取值为 max(x1，x n)， 的最大似然估计量 max(X 1，X n)X (n)为求得 b，必须求 X(n)的分布函数 F(n)(x)及密度函数 f(n)(x)，由 X(n)max(X 1，X n)得【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 记 X 为 n 件产品中的次品数，则 XB(n，P)( )由EX np，即 2.5%n，得 80.()()在

14、情况() 下，X B(100， )，由中心极限定理知 X 近似服从 N(2， )，于是【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 这是一个正态总体的区间估计，由于 2 未知，关于 的置信区间公式为 其中 满足 Pt(15) 01，查表可知 t0.05(15)1753，于是置信度为 90关于 的置信区间为 I(3.05 1.753，3.05 1.753)(2.87， 3.23) 未知关于 2 的置信区间公式为 其中 (n 一 1)分别满足 P2(n1) 0.05，P 2(n1)1 0.95，查 2 分布上分位数表得 0.952(15)7261， 0.052(15)24996，于是置信度为

15、90关于 2 的置信区间为【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 对于正态总体方差已知 的置信区间为其中 满足 PU 095，UN(0，1)，所以196 对平均反应时间的估计误差为 ，解不等式因此应取的样本容量 n 至少为 97【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 这是一个正态总体方差未知关于期望值 的假设检验问题H0： 0190；H 1： 0，就可以支持“低于 190”的结论选取统计量 ，当 0 时 Tt(15)，这是一单边检验，其拒绝域应为 RTt (15) 0t (15) ，其中 PTt (15)2，PT t (15) ，Tt(15).查表得知 t(15)t 0.05(15)1753拒绝域为 RT 根据样本观测数据不能拒绝 H0，即不能支持厂家所称“平均工作温度低于 190”的结论【知识模块】 概率论与数理统计