2013届广东省陆丰市碣石中学高三第四次月考理科数学试卷与答案（带解析）.doc

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1、2013届广东省陆丰市碣石中学高三第四次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 巳知全集 ， 是虚数单位，集合 （整数集）和的关系韦恩（ enn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ） A个 B个 C个 D无穷个 答案： B 试题分析：因为集合 M是整数集，而根据复数的运算得到集合 N=i， -1， -i，2，而阴影部分表示的为集合 M,N 的交集故为 1,2，有两个元素，选 B. 考点：本题主要考查了复数的运算以及集合的交集的运用。 点评：解决该试题的关键是运用集合的交集表示出阴影部分，同时利用复数的运算得到集合 N。注意 i2=-1的运用。 对于使 成立的所有常数 中，我们把

2、的最小值 叫做的上确界，若 ，则 的上确界为 （ ） A -3 B C -D 答案： D 试题分析：由题意知相当于求 的最大值 ,将 a+b=1代入， 又 ,故选 ( ) 考点：本题主要考查了均值不等式的求解最值的问题的运用。 点评：解决该试题的关键是构造均值不等式的结构特点来求解最值。注意整体的思想，先通分合并，然后将 a+b=1,整体代入得到。 设 为三条不同的直线， 为一个平面，下列命题中 不正确 的是（ ） A若 ，则 与 相交 B若 则 C若 / ， / ， ，则 D若 / ， ， ，则 / 答案： B 试题分析： 因为 A.若 ，则利用线面垂直的定义可知，则 与 相交 成立。 B.

3、若 则 ，只有 m,n 相交时成立，选项 B错误。 C.若 / ， / ， ，因为利用平行的传递性可知， l/n,则根据平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于该平面，故 成立。 D.若 / ， ， ，则根据线面垂直的性质定理可知， m/n， ,根据平行的传递性得到结论，故 / 成立。故选 B. 考点：本题主要考查了立体几何中线面的位置关系的判定和运用。 点评：解决该试题的关键是熟练的掌握空间中点、线、面的位置关系的运用。尤其是垂直的判定定理和平行判定定理的问题，要注意严密性。 函数 的图像为 C,如下结论中正确的是（ ） A图像 C关于直线 对称 B图像 C关于点 对称 C函数 在区间

4、内是增函数 D由 的图像向右平移 个单位长度可以得到图像 C。 答案： C 试题分析： 当 2x- = 时，则可以求 解得到其函数的对称轴为,故选项 A错误。选项 B中，令 2x- = ， x= ，故（ ， 0）是函数的对称中心。选项 C中，令 2x- ，可以得到函数的增区间为 ，当时满足题意，选项中，如果将函数图像向右平移 个单位得到的式为（ - ），故排除 D，选 C. 考点：本题主要考查了三角函数的图像与性质的运用。 点评：解决该试题的关键是利用正弦函数的对称轴方程和对称中心，以及单调区间，利用整体的思想来求解结论。 函数 的图象大致是（ ）答案： B 试题分析： 当 x0， y0， -

5、n（ x-4） y0得 0 x4， 所以平面区域为 Dn内的整点为点（ 4， 0）与在直线 x=1和 x=2上， 直线 y=-n（ x-4）与直线 x=1和 x=2,x=3交点纵坐标分别为 y1=3n和 y2=2n, y3=n Dn内在直线 x=1和 x=2上的整点个数分别为 3n和 2n， n an=3n+2n+n=6n 当 时，区域内的整点个数分别为 6个，经推理可得到共 = ，故答案：为 6,6n。 考点：本题主要考查了平面区域内整点个数的问题的运用。 点评：解决该试题的关键是理解不等式对于 x的限定范围，然后分别对于 x令值为 1,2， 3，得到整点的数，相加即为所求。 已知函数 ，则

6、实数 a= 答案： 试题分析： 因为根据题意可知 f(0)=20+1=2，那么 f(f(0)=f(2)=22+2a=4+2a=4a,故可知 a=2,那么解得 a的值为 2.因此答案：为 2. 考点：本题主要考查了分段函数的式的运用。 点评：解决该试题的关键是利用从内向外的思想来求解函数值，得到实数 a的取值情况。体现了复合函数的求值的运用。 若 的展开式中 x4的系数为 答案： 试题分析： 因为 ， 那么令 8-2r=4,则 r=2,故展开式中 x4的系数为 ,故答案：为 7. 考点：本题主要考查了二项式定理展开式通项公式的运用。 点评：解决该试题的关键是先明确写出第 r+1项的表达式，然后令

7、 x的次数为 4，那么该项的系数即为所求。 已知等比数列 各项均为正数 ,前 项和为 ，若 ， 则公比 q= ， 答案：， 31. 试题分析： 因为等比数列的各项都是正数，且 设其公比为 q,那么可知 ，故可知公比为 2，首项为1，那么 ，因此答案：为 2,31. 考点：本题主要考查了等比数列的前 n项和公式的运用，以及通项公式的求解运算。 点评：解决该试题的关键是根据数列的前几项的关系式，联立方程组得到公比和首项的值，得到解决。 抛物线 在点（ 0， 1）处的切线方程为 答案： （或 y=x+1） 试题分析：因为抛物线 的导数值为 y=2x+1，那么可知在 x=0处的导数值为 1,可知该点的

8、切线的斜率为 1，点斜式方程可知为 y-1=x-0，故可知y=x+1.答案：为 y=x+1 考点：本题主要考查了导数几何意义的运用。 点评：解决该试题的关键是求解导数，并利用导数的几何意义，在某点的导数值即为该点的切线的斜率。 解答题 已知函数 ， （ 1）求该函数的最小正周期和最小值； （ 2）若 ，求该函数的单调递增区间。 答案：（ 1） （ 2）函数的 试题分析：（ 1）先利用两角和差的公式化为单一函数的形式。 （ 2）运用正 弦函数的单调增区间，结合定义域，利用集合的交集运算得到结论。 解：（ 1） -3分 所以 -6分 （ 2） -8分 令 ，得到 或 ，与 取交集 , 得到 或,所

9、以，当 时，函数的 . -12分 考点：本题主要考查了三角函数的图像与性质的综合运用。 点评：解决该试题的关键是利用两角和差的公式将函数化为单一三角函数，然后利用整体思想，结合正弦函数的单调区间得到结论。 在 中，角 所对的边为 ，已知 （ 1）求 的值； （ 2）若 的面积为 ，求 的值 答案：（ 1） （ 2） 或 试题分析：（ ）把已知的等式左边利用正弦定理，化边为角，即可求出 sinB的值，进而求出 B的度数； （ ）利用三角形的面积公式表示出 ABC的面积，结合余弦定理和把 c，sinB的值代入即可求出 c的值，然后由 a， c及 cosB的值，利用余弦定理即可求出 a， b的值 解

10、：（ 1） ， ， 或 ， ，所以 5 分 （ 2）由 解得 或 8 分 又 由 或 12 分 考点：本题主要考查了学生灵活运用二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值，是一道中档题 点评：解决该试题的关键是边角的转换，是化边为角和，还是化角为边呢，根据表达式合理的选择。 甲和乙参加智力答题活动，活动规则： 答题过程中，若答对则继续答题；若答错则停止答题； 每人最多答 3个题； 答对第一题得 10分，第二题得20分，第三题得 30分，答错得 0分。已知甲答对每个题的概率为 ，乙答对每个题的概率为

11、 。 （ 1）求 甲恰好得 30分的概率； （ 2）设乙的得分为 ，求 的分布列和数学期望； （ 3）求甲恰好比乙多 30分的概率 . 答案：（ 1） （ 2）分布列见 数学期望 （ 3） 试题分析：（ 1）要求甲恰好得 30分的概率，我们分析活动规则后可得，甲恰好得 30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，代入分步事件概率公式即可得到答案： （ 2）设乙的得分为 ，则 的取值为 0， 10， 30， 60，我们根据活动规则，分析出 取不同值时的情况，代入概率公式即可求解（ 3）要求甲恰好比乙多30分的概率，我们要先分析甲恰好比乙多 30分的发生情况，由（ 2）的结论，共有两种情况，即甲恰好

12、得 30分且乙恰好得 0分，或是甲恰好得 60分且乙恰好得 30分，代入概率公式即可求解 。 解：（ I）甲恰好得 30分，说明甲前两题都答对，而第三题答错，其概率为， -3分 （ II） 的取值为 0， 10， 30， 60.-4分 ， ， 的概率分布如下表： 0 10 30 60 -8分 -10分 （ III）设甲恰好比乙多 30分为事件 A，甲恰好得 30分且乙恰好得 0分为事件 B1, 甲恰好得 60分且乙恰好得 30分为事件 B2，则 A= 为互斥事件 . . 所以，甲恰好比乙多 30分的概率为 -14分 考点：本题主要考查了相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力。 点评

13、：解决该试题的关键是对于要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解。 在数列 中， ，并且对任意 都有成立，令 （ ）求数列 的通项公式； （ ）设数列 的前 n项和为 ，证明： 答案：（ ） （ ）见 试题分析：（ I）、当 n=1时，先求出 b1=3，当 n2时，求得 b n+1与 bn的关系即可知道 bn为等差数列，然后便可求出数列 bn的通项公式； （ II）根据（ I）中求得的 bn的通项公式先求出数列 的表达式，然后求出Tn的表达式，根据不等式的性质即可证明 0，则 ， 1 分 当 时， ；当 时， . 所以 在（ 0， 1）上单调递增；在 上单调递减， 所以函数 在 处取得极大值 f（ 1） =1 ，无极小值。 3 分 （ 2）不等式 即为 记 所以 7 分 令 ，则 ， ， 在 上单调递增， ，从而 ， 故 在 上也单调递增， 所以 ，所以 . 9 分 （ 3）由（ 2）知： 恒成立，即 ， 令 ，则 所以 , ， ， ， 12 分 叠加得： . 则 ，所以 14分 考点：本题主要考查了导数在研究函数中的运用。 点评：解决该试题的关键是对于导数的符号与函数单调性的熟练的运用，并能结合单调性求解函数的 极值和最值问题。难点是对于递进关系的试题，证明不等式，往往要用到上一问的结论。