2019年北京市高考数学试卷（理科）及答案解析.docx

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1、试 卷 第 1页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2019年北京市高考数学试卷（理科)试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I 卷 （ 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分 一 、 单 选 题1 已 知 复 数 z=2+i， 则 z z A

2、 3 B 5 C 3 D 5【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】题 先 求 得 z ， 然 后 根 据 复 数 的 乘 法 运 算 法 则 即 得 . 【 详 解 】 z 2 i,z z (2 i)(2 i) 5 故 选 D.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 复 数 的 运 算 法 则 ， 共 轭 复 数 的 定 义 等 知 识 ， 属 于 基 础 题 .2 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 s 值 为 试 卷 第 2页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 A.1 B.2 C.3 D.4【 答 案 】 B【 解 析 】

3、【 分 析 】根 据 程 序 框 图 中 的 条 件 逐 次 运 算 即 可 .【 详 解 】运 行 第 一 次 ， =1 ， = 11 = ，运 行 第 二 次 ， = ， = = ，运 行 第 三 次 ， = ， = = ，结 束 循 环 ， 输 出 = ， 故 选 B.【 点 睛 】本 题 考 查 程 序 框 图 ， 属 于 容 易 题 ， 注 重 基 础 知 识 、 基 本 运 算 能 力 的 考 查 .3 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 1 3 ,2 4x ty t （ t 为 参 数 ） ， 则 点 （ 1,0） 到 直 线 l 的 距 离 是A 15 B 25 C 4

4、5 D 65【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】首 先 将 参 数 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ， 然 后 利 用 点 到 直 线 距 离 公 式 求 解 距 离 即 可 . 试 卷 第 3页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 详 解 】直 线 l的 普 通 方 程 为 4 1 3 2 0 x y ,即 4 3 2 0 x y ,点 1,0 到 直 线 l的 距 离2 2|4 0 2| 654 3d ,故 选 D.【 点 睛 】本 题 考 查 直 线 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 转 化 ,点 到 直 线 的

5、距 离 ,属 于 容 易 题 ,注 重 基 础 知 识基 本 运 算 能 力 的 考 查 .4 已 知 椭 圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0） 的 离 心 率 为 12 ， 则 A a2=2b2 B 3a2=4b2 C a=2b D 3a=4b【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】由 题 意 利 用 离 心 率 的 定 义 和 , ,a b c的 关 系 可 得 满 足 题 意 的 等 式 .【 详 解 】椭 圆 的 离 心 率 2 2 21,2ce c a ba ,化 简 得 2 23 4a b ,故 选 B. 【 点 睛 】本 题 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程

6、 与 几 何 性 质 ,属 于 容 易 题 ,注 重 基 础 知 识 基 本 运 算 能 力 的 考查 .5 若 x， y 满 足 | 1|x y ， 且 y1， 则 3x+y 的 最 大 值 为A 7 B 1 C 5 D 7【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 首 先 画 出 可 行 域 ， 然 后 结 合 目 标 函 数 的 几 何 意 义 确 定 其 最 值 即 可 .【 详 解 】由 题 意 1 ,1 1yy x y 作 出 可 行 域 如 图 阴 影 部 分 所 示 . 试 卷 第 4页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 设 3 , 3

7、z x y y z x ,当 直 线 0 : 3l y z x 经 过 点 2, 1 时 ,z 取 最 大 值 5.故 选 C.【 点 睛 】本 题 是 简 单 线 性 规 划 问 题 的 基 本 题 型 ,根 据 “ 画 移 解 ” 等 步 骤 可 得 解 .题 目 难 度 不 大题 ,注 重 了 基 础 知 识 基 本 技 能 的 考 查 .6 在 天 文 学 中 ， 天 体 的 明 暗 程 度 可 以 用 星 等 或 亮 度 来 描 述 .两 颗 星 的 星 等 与 亮 度 满 足 1 = lg1， 其 中 星 等 为 mk的 星 的 亮 度 为 Ek（ k=1,2） .已 知 太 阳

8、的 星 等 是 26.7，天 狼 星 的 星 等 是 1.45， 则 太 阳 与 天 狼 星 的 亮 度 的 比 值 为A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10 10.1【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】由 题 意 得 到 关 于 1 的 等 式 ， 结 合 对 数 的 运 算 法 则 可 得 亮 度 的 比 值 .【 详 解 】两 颗 星 的 星 等 与 亮 度 满 足 1 = lg1,令 = 1 1 = ,lg1 = 1 = 1 = 111 = 111.故 选 ： A.【 点 睛 】本 题 以 天 文 学 问 题 为 背 景 ,考 查 考 生 的 数 学 应

9、用 意 识 信 息 处 理 能 力 阅 读 理 解 能 力 以 及指 数 对 数 运 算 . 试 卷 第 5页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 7 设 点 A， B， C 不 共 线 ， 则 “ AB 与 AC 的 夹 角 为 锐 角 ” 是 “ | | | |AB AC BC ”的A 充 分 而 不 必 要 条 件 B 必 要 而 不 充 分 条 件C 充 分 必 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】由 题 意 结 合 向 量 的 减 法 公 式 和 向 量 的 运 算 法 则

10、考 查 充 分 性 和 必 要 性 是 否 成 立 即 可 .【 详 解 】 ABC三 点 不 共 线 ,| AB + AC |BC| AB + AC | AB - AC | AB + AC |2| AB - AC |2 AB AC 0 AB 与 AC的 夹 角 为 锐 角 .故 “ AB 与 AC 的 夹 角 为 锐 角 ” 是 “ | AB + AC |BC|” 的 充 分 必 要条 件 ,故 选 C.【 点 睛 】本 题 考 查 充 要 条 件 的 概 念 与 判 断 平 面 向 量 的 模 夹 角 与 数 量 积 ,同 时 考 查 了 转 化 与 化 归数 学 思 想 . 8 数 学

11、中 有 许 多 形 状 优 美 、 寓 意 美 好 的 曲 线 ， 曲 线 C： = 1 就 是 其 中 之一 （ 如 图 ） .给 出 下 列 三 个 结 论 ： 曲 线 C 恰 好 经 过 6个 整 点 （ 即 横 、 纵 坐 标 均 为 整 数 的 点 ） ； 曲 线 C 上 任 意 一 点 到 原 点 的 距 离 都 不 超 过 ； 曲 线 C 所 围 成 的 “ 心 形 ” 区 域 的 面 积 小 于 3.其 中 ， 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是A. B. C. D. 【 答 案 】 C 试 卷 第 6页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订

12、线 【 解 析 】【 分 析 】将 所 给 方 程 进 行 等 价 变 形 确 定 x 的 范 围 可 得 整 点 坐 标 和 个 数 ， 结 合 均 值 不 等 式 可 得 曲 线上 的 点 到 坐 标 原 点 距 离 的 最 值 和 范 围 ， 利 用 图 形 的 对 称 性 和 整 点 的 坐 标 可 确 定 图 形 面 积的 范 围 .【 详 解 】由 = 1 得 , = 1 , = 1 1 ,所 以 可 为 的 整 数 有 0,-1,1,从 而 曲 线 = 1 恰 好 经 过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六 个 整 点 ,结 论 正 确

13、 .由 = 1 得 , 1 ,解 得 ,所 以 曲 线 上 任 意 一 点 到原 点 的 距 离 都 不 超 过 . 结 论 正 确 .如 图 所 示 ,易 知 1 1 11 1 ,四 边 形 的 面 积 = 1 1 1 1 1 = ,很 明 显 “ 心 形 ” 区 域 的 面 积 大 于,即 “ 心 形 ” 区 域 的 面 积 大 于 3,说 法 错 误 . 故 选 C.【 点 睛 】本 题 考 查 曲 线 与 方 程 曲 线 的 几 何 性 质 ， 基 本 不 等 式 及 其 应 用 ,属 于 难 题 ,注 重 基 础 知 识 基 本 运 算 能 力 及 分 析 问 题 解 决 问 题 的

14、 能 力 考 查 ,渗 透 “ 美 育 思 想 ” . 试 卷 第 7页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 第 II 卷 （ 非 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题9 函 数 f(x)=sin22x 的 最 小 正 周 期 是 _【 答 案 】 2 .【 解 析 】【 分 析 】将 所 给 的 函 数 利 用 降 幂 公 式 进 行 恒 等 变 形 ， 然 后 求 解 其 最 小 正 周 期 即 可 . 【 详 解 】函 数 2sin 2f x x 1 42cos x ,周 期

15、为 2【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 二 倍 角 的 三 角 函 数 公 式 三 角 函 数 的 最 小 正 周 期 公 式 ， 属 于 基 础 题 .10 设 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 若 a2=3， S5=10， 则 a5=_， Sn的 最小 值 为 _【 答 案 】 0. -10.【 解 析 】 【 分 析 】首 先 确 定 公 差 ,然 后 由 通 项 公 式 可 得 5a 的 值 ， 进 一 步 研 究 数 列 中 正 项 负 项 的 变 化 规 律 ,得 到 和 的 最 小 值 .【 详 解 】等 差 数 列 na 中 , 5 35 10S a ,得

16、 3 22, 3a a ,公 差3 2 1d a a , 5 3 2 0a a d ,由 等 差 数 列 na 的 性 质 得 5n 时 , 0na , 6n 时 , na 大 于 0,所 以 nS 的 最 小 值 为 4S 或 5S ,即 为 10 .【 点 睛 】本 题 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式 求 和 公 式 等 差 数 列 的 性 质 ,难 度 不 大 ,注 重 重 要 知 识 基础 知 识 基 本 运 算 能 力 的 考 查 .11 某 几 何 体 是 由 一 个 正 方 体 去 掉 一 个 四 棱 柱 所 得 ， 其 三 视 图 如 图 所 示 如 果 网 格 纸

17、 上 试 卷 第 8页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 那 么 该 几 何 体 的 体 积 为 _ 【 答 案 】 40.【 解 析 】【 分 析 】本 题 首 先 根 据 三 视 图 ,还 原 得 到 几 何 体 ,根 据 题 目 给 定 的 数 据 ,计 算 几 何 体 的 体 积 .属 于中 等 题 .【 详 解 】如 图 所 示 ,在 棱 长 为 4 的 正 方 体 中 ,三 视 图 对 应 的 几 何 体 为 正 方 体 去 掉 棱 柱1 1 1 1MPD A NQC B 之 后 余 下 的 几 何 体 ,

18、 几 何 体 的 体 积 3 14 2 4 2 4 402V .【 点 睛 】(1)求 解 以 三 视 图 为 载 体 的 空 间 几 何 体 的 体 积 的 关 键 是 由 三 视 图 确 定 直 观 图 的 形 状 以 及直 观 图 中 线 面 的 位 置 关 系 和 数 量 关 系 ， 利 用 相 应 体 积 公 式 求 解 ； (2)若 所 给 几 何 体 的 体 积不 能 直 接 利 用 公 式 得 出 ， 则 常 用 等 积 法 、 分 割 法 、 补 形 法 等 方 法 进 行 求 解 12 已 知 l， m 是 平 面 外 的 两 条 不 同 直 线 给 出 下 列 三 个 论

19、 断 ： 试 卷 第 9页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 l m； m ； l 以 其 中 的 两 个 论 断 作 为 条 件 ， 余 下 的 一 个 论 断 作 为 结 论 ， 写 出 一 个 正 确 的 命 题 ：_【 答 案 】 如 果 l ， m ， 则 l m.【 解 析 】【 分 析 】将 所 给 论 断 ， 分 别 作 为 条 件 、 结 论 加 以 分 析 .【 详 解 】将 所 给 论 断 ， 分 别 作 为 条 件 、 结 论 ， 得 到 如 下 三 个 命 题 ：（ 1） 如 果 l ， m ， 则 l m. 正 确 ；

20、 （ 2） 如 果 l ， l m， 则 m .不 正 确 ， 有 可 能 m 在 平 面 内 ；（ 3） 如 果 l m， m ， 则 l .不 正 确 ， 有 可 能 l 与 斜 交 、 l .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 空 间 线 面 的 位 置 关 系 、 命 题 、 逻 辑 推 理 能 力 及 空 间 想 象 能 力 .13 设 函 数 f（ x） =ex+aex（ a 为 常 数 ） 若 f（ x） 为 奇 函 数 ， 则 a=_； 若 f（ x）是 R上 的 增 函 数 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 _【 答 案 】 -1; ,0 .【 解 析 】 【 分 析 】

21、首 先 由 奇 函 数 的 定 义 得 到 关 于 a的 恒 等 式 ， 据 此 可 得 a的 值 ， 然 后 利 用 导 函 数 的 解 析 式可 得 a 的 取 值 范 围 .【 详 解 】若 函 数 x xf x e ae 为 奇 函 数 ,则 , x x x xf x f x e ae e ae ， 1 0 x xa e e 对 任 意 的 x恒 成 立 .若 函 数 x xf x e ae 是 R上 的 增 函 数 ,则 0 x xf x e ae 恒 成 立 , 2 , 0 xa e a .即 实 数 a的 取 值 范 围 是 ,0【 点 睛 】本 题 考 查 函 数 的 奇 偶

22、性 单 调 性 利 用 单 调 性 确 定 参 数 的 范 围 .解 答 过 程 中 ,需 利 用 转 化与 化 归 思 想 ,转 化 成 恒 成 立 问 题 .注 重 重 点 知 识 基 础 知 识 基 本 运 算 能 力 的 考 查 . 试 卷 第 10页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 14 李 明 自 主 创 业 ， 在 网 上 经 营 一 家 水 果 店 ， 销 售 的 水 果 中 有 草 莓 、 京 白 梨 、 西 瓜 、 桃 ，价 格 依 次 为 60元 /盒 、 65元 /盒 、 80元 /盒 、 90元 /盒 为 增 加 销 量 ， 李

23、 明 对 这 四 种 水 果进 行 促 销 ： 一 次 购 买 水 果 的 总 价 达 到 120元 ， 顾 客 就 少 付 x 元 每 笔 订 单 顾 客 网 上 支 付成 功 后 ， 李 明 会 得 到 支 付 款 的 80% 当 x=10时 ， 顾 客 一 次 购 买 草 莓 和 西 瓜 各 1盒 ， 需 要 支 付 _元 ； 在 促 销 活 动 中 ， 为 保 证 李 明 每 笔 订 单 得 到 的 金 额 均 不 低 于 促 销 前 总 价 的 七 折 ， 则 x的 最 大 值 为 _【 答 案 】 130. 15.【 解 析 】【 分 析 】 由 题 意 可 得 顾 客 需 要 支

24、 付 的 费 用 ， 然 后 分 类 讨 论 ， 将 原 问 题 转 化 为 不 等 式 恒 成 立 的 问 题可 得 x的 最 大 值 .【 详 解 】(1) 10 x ,顾 客 一 次 购 买 草 莓 和 西 瓜 各 一 盒 ,需 要 支 付 60 80 10 130 元 .(2)设 顾 客 一 次 购 买 水 果 的 促 销 前 总 价 为 y元 ,120y 元 时 ,李 明 得 到 的 金 额 为 80%y ,符 合 要 求 .120y 元 时 ,有 80% 70%y x y 恒 成 立 ,即 8 7 , 8yy x y x ,即 min 158yx 元 .所 以 x的 最 大 值 为

25、 15.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 不 等 式 的 概 念 与 性 质 数 学 的 应 用 意 识 数 学 式 子 变 形 与 运 算 求 解 能 力 ,以实 际 生 活 为 背 景 ， 创 设 问 题 情 境 ， 考 查 学 生 身 边 的 数 学 ， 考 查 学 生 的 数 学 建 模 素 养 .评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题15 在 ABC 中 ， a=3， bc=2， cosB= 12 （ ） 求 b， c 的 值 ；（ ） 求 sin（ B C） 的 值 【 答 案 】 ( ) 75bc ； 试 卷 第 11页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：

26、_考号：_ 内 装 订 线 ( ) 4 37 .【 解 析 】【 分 析 】( )由 题 意 列 出 关 于 a,b,c 的 方 程 组 ， 求 解 方 程 组 即 可 确 定 b,c 的 值 ；( )由 题 意 结 合 正 弦 定 理 和 两 角 和 差 正 余 弦 公 式 可 得 sin B C 的 值 .【 详 解 】( )由 题 意 可 得 ： 2 2 2 1cos 2 223a c bB acb ca ， 解 得 ： 375abc . ( )由 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 可 得 ： 2 3sin 1 cos 2B B ，结 合 正 弦 定 理 sin sinb cB C

27、 可 得 ： sin 5 3sin 14c BC b ，很 明 显 角 C 为 锐 角 ， 故 2 11cos 1 sin 14C C ，故 4sin sin cos cos sin 37B C B C B C .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 余 弦 定 理 、 正 弦 定 理 的 应 用 ， 两 角 和 差 正 余 弦 公 式 的 应 用 等 知 识 ， 意 在 考 查 学 生 的 转 化 能 力 和 计 算 求 解 能 力 .16 如 图 ， 在 四 棱 锥 PABCD 中 ， PA 平 面 ABCD， AD CD， AD BC， PA=AD=CD=2，BC=3 E 为 PD 的

28、中 点 ， 点 F 在 PC 上 ， 且 13PFPC （ ） 求 证 ： CD 平 面 PAD；（ ） 求 二 面 角 FAEP 的 余 弦 值 ；（ ） 设 点 G 在 PB 上 ， 且 23PGPB 判 断 直 线 AG 是 否 在 平 面 AEF 内 ， 说 明 理 由 【 答 案 】 ( )见 解 析 ； 试 卷 第 12页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 ( ) 33 ；( )见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】( )由 题 意 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 证 得 题 中 的 结 论 ；( )建 立 空 间 直

29、角 坐 标 系 ， 结 合 两 个 半 平 面 的 法 向 量 即 可 求 得 二 面 角 F-AE-P 的 余 弦 值 ；( )首 先 求 得 点 G 的 坐 标 ， 然 后 结 合 平 面 AEF 的 法 向 量 和 直 线 AG 的 方 向 向 量 可 判 断直 线 是 否 在 平 面 内 .【 详 解 】 ( )由 于 PA 平 面 ABCD， CD平 面 ABCD， 则 PA CD，由 题 意 可 知 AD CD， 且 PAAD=A，由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 CD 平 面 PAD.( )以 点 A 为 坐 标 原 点 ， 平 面 ABCD 内 与 AD 垂 直

30、的 直 线 为 x 轴 ， AD,AP 方 向 为 y 轴 ， z轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 A xyz ， 易 知 ： 0,0,0 , 0,0,2 , 2,2,0 , 0,2,0A P C D ，由 13PF PC 可 得 点 F 的 坐 标 为 2 2 4, ,3 3 3F ，由 12PE PD 可 得 0,1,1E ，设 平 面 AEF 的 法 向 量 为 ： , ,m x y z ， 则 2 2 4 2 2 4, , , , 03 3 3 3 3 3, , 0,1,1 0m AF x y z x y zm AE x y z y z ， 试 卷 第 13页

31、 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 据 此 可 得 平 面 AEF 的 一 个 法 向 量 为 ： 1,1, 1m ，很 明 显 平 面 AEP 的 一 个 法 向 量 为 1,0,0n ，1 3cos , 33 1m nm n m n ，二 面 角 F-AE-P 的 平 面 角 为 锐 角 ， 故 二 面 角 F-AE-P 的 余 弦 值 为 33 .( )易 知 0,0,2 , 2, 1,0P B ， 由 23PG PB 可 得 4 2 2, ,3 3 3G ， 则 4 2 2, ,3 3 3AG ，注 意 到 平 面 AEF 的 一 个 法

32、 向 量 为 ： 1,1, 1m ，其 0m AG 且 点 A 在 平 面 AEF 内 ， 故 直 线 AG 在 平 面 AEF 内 .17 改 革 开 放 以 来 ， 人 们 的 支 付 方 式 发 生 了 巨 大 转 变 近 年 来 ， 移 动 支 付 已 成 为 主 要 支付 方 式 之 一 为 了 解 某 校 学 生 上 个 月 A， B两 种 移 动 支 付 方 式 的 使 用 情 况 ， 从 全 校 学 生中 随 机 抽 取 了 100人 ， 发 现 样 本 中 A， B两 种 支 付 方 式 都 不 使 用 的 有 5人 ， 样 本 中 仅 使用 A和 仅 使 用 B的 学 生

33、的 支 付 金 额 分 布 情 况 如 下 ： 交 付 金 额 （ 元 ）支 付 方 式 （ 0,1000 （ 1000,2000 大 于 2000仅 使 用 A 18人 9人 3人仅 使 用 B 10人 14人 1人（ ） 从 全 校 学 生 中 随 机 抽 取 1人 ， 估 计 该 学 生 上 个 月 A， B两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 概率 ；（ ） 从 样 本 仅 使 用 A和 仅 使 用 B的 学 生 中 各 随 机 抽 取 1人 ， 以 X 表 示 这 2人 中 上 个 月 支 付 金 额 大 于 1000元 的 人 数 ， 求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望

34、；（ ） 已 知 上 个 月 样 本 学 生 的 支 付 方 式 在 本 月 没 有 变 化 现 从 样 本 仅 使 用 A的 学 生 中 ，随 机 抽 查 3人 ， 发 现 他 们 本 月 的 支 付 金 额 都 大 于 2000元 根 据 抽 查 结 果 ， 能 否 认 为 样 试 卷 第 14页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 本 仅 使 用 A的 学 生 中 本 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 人 数 有 变 化 ？ 说 明 理 由 【 答 案 】 ( ) 25 ；( )见 解 析 ；( )见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】(

35、 )由 题 意 利 用 古 典 概 型 计 算 公 式 可 得 满 足 题 意 的 概 率 值 ；( )首 先 确 定 X 可 能 的 取 值 ， 然 后 求 得 相 应 的 概 率 值 可 得 分 布 列 ， 最 后 求 解 数 学 期 望 即可 . ( )由 题 意 结 合 概 率 的 定 义 给 出 结 论 即 可 .【 详 解 】( )由 题 意 可 知 ， 两 种 支 付 方 式 都 是 用 的 人 数 为 ： 100 30 25 5 40 人 ， 则 ：该 学 生 上 个 月 A， B 两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 概 率 40 2100 5p .( )由 题 意 可 知

36、 ，仅 使 用 A支 付 方 法 的 学 生 中 ， 金 额 不 大 于 1000的 人 数 占 35， 金 额 大 于 1000的 人 数 占 25 ，仅 使 用 B支 付 方 法 的 学 生 中 ， 金 额 不 大 于 1000的 人 数 占 25 ， 金 额 大 于 1000的 人 数 占 35，且 X 可 能 的 取 值 为 0,1,2. 3 2 60 5 5 25p X ， 2 23 2 131 5 5 25p X ， 3 2 62 5 5 25p X ，X 的 分 布 列 为 ：X 0 1 2 p X 625 1325 625其 数 学 期 望 ： 6 13 60 1 2 125

37、25 25E X . ( )我 们 不 认 为 样 本 仅 使 用 A 的 学 生 中 本 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 人 数 有 变 化 .理 由 如下 ：随 机 事 件 在 一 次 随 机 实 验 中 是 否 发 生 是 随 机 的 ， 是 不 能 预 知 的 ， 随 着 试 验 次 数 的 增 多 ，频 率 越 来 越 稳 定 于 概 率 。 试 卷 第 15页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 学 校 是 一 个 相 对 消 费 稳 定 的 地 方 ， 每 个 学 生 根 据 自 己 的 实 际 情 况 每 个 月 的 消

38、 费 应 该 相 对固 定 ， 出 现 题 中 这 种 现 象 可 能 是 发 生 了 “小 概 率 事 件 ”.【 点 睛 】本 题 以 支 付 方 式 相 关 调 查 来 设 置 问 题 ， 考 查 概 率 统 计 在 生 活 中 的 应 用 ， 考 查 概 率 的 定 义和 分 布 列 的 应 用 ， 使 学 生 体 会 到 数 学 与 现 实 生 活 息 息 相 关 .18 已 知 抛 物 线 C： x2=2py 经 过 点 （ 2， 1） （ ） 求 抛 物 线 C 的 方 程 及 其 准 线 方 程 ；（ ） 设 O 为 原 点 ， 过 抛 物 线 C 的 焦 点 作 斜 率 不

39、为 0的 直 线 l 交 抛 物 线 C 于 两 点 M，N， 直 线 y=1分 别 交 直 线 OM， ON 于 点 A 和 点 B.求 证 ： 以 AB 为 直 径 的 圆 经 过 y 轴 上的 两 个 定 点 【 答 案 】 ( ) 2 4x y ， 1y ；( )见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】( )由 题 意 结 合 点 的 坐 标 可 得 抛 物 线 方 程 ， 进 一 步 可 得 准 线 方 程 ；( )联 立 准 线 方 程 和 抛 物 线 方 程 ， 结 合 韦 达 定 理 可 得 圆 心 坐 标 和 圆 的 半 径 ， 从 而 确 定 圆的 方 程 ， 最 后 令

40、 x=0即 可 证 得 题 中 的 结 论 .【 详 解 】 ( )将 点 2, 1 代 入 抛 物 线 方 程 ： 22 2 1p 可 得 ： 2p ，故 抛 物 线 方 程 为 ： 2 4x y ， 其 准 线 方 程 为 ： 1y .( )很 明 显 直 线 l的 斜 率 存 在 ， 焦 点 坐 标 为 0, 1 ，设 直 线 方 程 为 1y kx ， 与 抛 物 线 方 程 2 4x y 联 立 可 得 ： 2 4 4 0 x kx .故 ： 1 2 1 24 , 4x x k x x .设 2 21 21 2, , ,4 4x xM x N x ， 则 1 2,4 4OM ONx

41、xk k ， 直 线 OM 的 方 程 为 14xy x ， 与 1y 联 立 可 得 ： 14 , 1A x ， 同 理 可 得 24 , 1B x ，易 知 以 AB 为 直 径 的 圆 的 圆 心 坐 标 为 ： 1 22 2 , 1x x ， 圆 的 半 径 为 ： 1 22 2x x ， 试 卷 第 16页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 且 ： 1 21 2 1 222 2 2x x kx x x x ， 21 2 1 2 21 2 1 2 42 2 2 2 1x x x x kx x x x ，则 圆 的 方 程 为 ： 2 2 22 1

42、4 1x k y k ，令 0 x 整 理 可 得 ： 2 2 3 0y y ， 解 得 ： 1 23, 1y y ，即 以 AB 为 直 径 的 圆 经 过 y 轴 上 的 两 个 定 点 0, 3 , 0,1 .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 抛 物 线 方 程 的 求 解 与 准 线 方 程 的 确 定 ， 直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系 ， 圆 的 方程 的 求 解 及 其 应 用 等 知 识 ， 意 在 考 查 学 生 的 转 化 能 力 和 计 算 求 解 能 力 . 19 已 知 函 数 3 21( ) 4f x x x x .（ ） 求 曲 线 ( )y f

43、x 的 斜 率 为 1的 切 线 方 程 ；（ ） 当 2,4x 时 ， 求 证 ： 6 ( )x f x x ；（ ） 设 ( ) | ( ) ( )|( )F x f x x a a R ， 记 ( )F x 在 区 间 2,4 上 的 最 大 值 为 M（ a） ，当 M（ a） 最 小 时 ， 求 a 的 值 【 答 案 】 （ ） 0 x y 和 27 27 64 0 x y .（ ） 见 解 析 ； （ ） 3a .【 解 析 】【 分 析 】( )首 先 求 解 导 函 数 ， 然 后 利 用 导 函 数 求 得 切 点 的 横 坐 标 ， 据 此 求 得 切 点 坐 标 即 可

44、 确 定切 线 方 程 ；( )由 题 意 分 别 证 得 6 0f x x 和 0f x x 即 可 证 得 题 中 的 结 论 ；( )由 题 意 结 合 ( )中 的 结 论 分 类 讨 论 即 可 求 得 a 的 值 .【 详 解 】 （ ） 23( ) 2 14f x x x ， 令 23( ) 2 1 14f x x x 得 0 x 或 者 83x .当 0 x 时 ， (0) 0f ， 此 时 切 线 方 程 为 y x ， 即 0 x y ；当 83x 时 ， 8 8( )3 27f ， 此 时 切 线 方 程 为 6427y x ， 即 27 27 64 0 x y ；综 上

45、 可 得 所 求 切 线 方 程 为 0 x y 和 27 27 64 0 x y . 试 卷 第 17页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 （ ） 设 3 21( ) ( ) 4g x f x x x x ， 23( ) 24g x x x ， 令 23( ) 2 04g x x x 得0 x 或 者 83x ， 所 以 当 2,0 x 时 ， ( ) 0g x ， ( )g x 为 增 函 数 ； 当 8(0, )3x 时 ，( ) 0g x ， ( )g x 为 减 函 数 ； 当 8 ,43x 时 ， ( ) 0g x ， ( )g x

46、为 增 函 数 ；而 (0) (4) 0g g ， 所 以 ( ) 0g x ， 即 ( )f x x ；同 理 令 3 21( ) ( ) 6 64h x f x x x x ， 可 求 其 最 小 值 为 ( 2) 0h ， 所 以 ( ) 0h x ，即 ( ) 6f x x ， 综 上 可 得 6 ( )x f x x .（ ） 由 （ ） 知 6 ( ) 0f x x ， 所 以 ( )M a 是 , 6a a 中 的 较 大 者 ，若 6a a ， 即 3a 时 ， ( ) 3M a a a ；若 6a a ， 即 3a 时 ， ( ) 6 6 3M a a a ；所 以 当 ( )M a 最 小 时 ， ( ) 3M a ， 此 时 3 .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 利 用 导 函 数 研 究 函 数 的 切 线 方 程 ， 利 用 导 函 数 证 明 不 等 式 的 方 法 ， 分 类 讨论 的 数 学 思 想 等 知 识 ， 意 在 考 查 学 生 的 转 化 能 力 和 计 算 求 解 能 力 . 20 已 知 数 列 na ， 从 中 选 取 第 1i 项 、 第 2i 项 、 、 第 mi 项 1 2 . m