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2019年北京市高考数学试卷（理科）及答案解析.docx

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2019年北京市高考数学试卷（理科）及答案解析.docx

1、试卷第 1页，总 19页外装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线绝密启用前2019年北京市高考数学试卷（理科)试卷副标题考试范围： xxx；考试时间： 100分钟；命题人： xxx题号一二三总分得分注意事项：1 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题 )请点击修改第 I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1 已知复数 z=2+i，则 z z A

2、 3 B 5 C 3 D 5【答案】 D【解析】【分析】题先求得 z ，然后根据复数的乘法运算法则即得 . 【详解】 z 2 i,z z (2 i)(2 i) 5 故选 D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题 .2 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为试卷第 2页，总 19页外装订线请不要在装订线内答题内装订线 A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 B【解析】

3、【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可 .【详解】运行第一次， =1 ， = 11 = ，运行第二次， = ， = = ，运行第三次， = ， = = ，结束循环，输出 = ，故选 B.【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查 .3 已知直线 l 的参数方程为 1 3 ,2 4x ty t （ t 为参数），则点（ 1,0）到直线 l 的距离是A 15 B 25 C 4

4、5 D 65【答案】 D【解析】【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可 . 试卷第 3页，总 19页外装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线【详解】直线 l的普通方程为 4 1 3 2 0 x y ,即 4 3 2 0 x y ,点 1,0 到直线 l的距离2 2|4 0 2| 654 3d ,故选 D.【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化 ,点到直线的

5、距离 ,属于容易题 ,注重基础知识基本运算能力的考查 .4 已知椭圆 2 22 2 1x ya b （ a b 0）的离心率为 12 ，则 A a2=2b2 B 3a2=4b2 C a=2b D 3a=4b【答案】 B【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和 , ,a b c的关系可得满足题意的等式 .【详解】椭圆的离心率 2 2 21,2ce c a ba ,化简得 2 23 4a b ,故选 B. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程

6、与几何性质 ,属于容易题 ,注重基础知识基本运算能力的考查 .5 若 x， y 满足 | 1|x y ，且 y1，则 3x+y 的最大值为A 7 B 1 C 5 D 7【答案】 C【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可 .【详解】由题意 1 ,1 1yy x y 作出可行域如图阴影部分所示 . 试卷第 4页，总 19页外装订线请不要在装订线内答题内装订线设 3 , 3

7、z x y y z x ,当直线 0 : 3l y z x 经过点 2, 1 时 ,z 取最大值 5.故选 C.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型 ,根据 “ 画移解 ” 等步骤可得解 .题目难度不大题 ,注重了基础知识基本技能的考查 .6 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 .两颗星的星等与亮度满足 1 = lg1，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（ k=1,2） .已知太阳

8、的星等是 26.7，天狼星的星等是 1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10 10.1【答案】 A【解析】【分析】由题意得到关于 1 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值 .【详解】两颗星的星等与亮度满足 1 = lg1,令 = 1 1 = ,lg1 = 1 = 1 = 111 = 111.故选： A.【点睛】本题以天文学问题为背景 ,考查考生的数学应

9、用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算 . 试卷第 5页，总 19页外装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线 7 设点 A， B， C 不共线，则 “ AB 与 AC 的夹角为锐角 ” 是 “ | | | |AB AC BC ”的A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】 C【解析】【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则

11、中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C： = 1 就是其中之一（如图） .给出下列三个结论：曲线 C 恰好经过 6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过；曲线 C 所围成的 “ 心形 ” 区域的面积小于 3.其中，所有正确结论的序号是A. B. C. D. 【答案】 C 试卷第 6页，总 19页外装订线请不要在装订线内答题内装订

12、线【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定 x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围 .【详解】由 = 1 得 , = 1 , = 1 1 ,所以可为的整数有 0,-1,1,从而曲线 = 1 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点 ,结论正确

13、 .由 = 1 得 , 1 ,解得 ,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过 . 结论正确 .如图所示 ,易知 1 1 11 1 ,四边形的面积 = 1 1 1 1 1 = ,很明显 “ 心形 ” 区域的面积大于,即 “ 心形 ” 区域的面积大于 3,说法错误 . 故选 C.【点睛】本题考查曲线与方程曲线的几何性质，基本不等式及其应用 ,属于难题 ,注重基础知识基本运算能力及分析问题解决问题的

14、能力考查 ,渗透 “ 美育思想 ” . 试卷第 7页，总 19页外装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线第 II 卷（非选择题 )请点击修改第 II卷的文字说明评卷人得分二、填空题9 函数 f(x)=sin22x 的最小正周期是 _【答案】 2 .【解析】【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可 . 【详解】函数 2sin 2f x x 1 42cos x ,周期

15、为 2【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式三角函数的最小正周期公式，属于基础题 .10 设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a2=3， S5=10，则 a5=_， Sn的最小值为 _【答案】 0. -10.【解析】【分析】首先确定公差 ,然后由通项公式可得 5a 的值，进一步研究数列中正项负项的变化规律 ,得到和的最小值 .【详解】等差数列 na 中 , 5 35 10S a ,得

16、 3 22, 3a a ,公差3 2 1d a a , 5 3 2 0a a d ,由等差数列 na 的性质得 5n 时 , 0na , 6n 时 , na 大于 0,所以 nS 的最小值为 4S 或 5S ,即为 10 .【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式等差数列的性质 ,难度不大 ,注重重要知识基础知识基本运算能力的考查 .11 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸

17、上试卷第 8页，总 19页外装订线请不要在装订线内答题内装订线小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为 _ 【答案】 40.【解析】【分析】本题首先根据三视图 ,还原得到几何体 ,根据题目给定的数据 ,计算几何体的体积 .属于中等题 .【详解】如图所示 ,在棱长为 4 的正方体中 ,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1 1 1 1MPD A NQC B 之后余下的几何体 ,

18、几何体的体积 3 14 2 4 2 4 402V .【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解； (2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解 12 已知 l， m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论

19、断：试卷第 9页，总 19页外装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线 l m； m ； l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_【答案】如果 l ， m ，则 l m.【解析】【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析 .【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（ 1）如果 l ， m ，则 l m. 正确；

20、（ 2）如果 l ， l m，则 m .不正确，有可能 m 在平面内；（ 3）如果 l m， m ，则 l .不正确，有可能 l 与斜交、 l .【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力 .13 设函数 f（ x） =ex+aex（ a 为常数）若 f（ x）为奇函数，则 a=_；若 f（ x）是 R上的增函数，则 a 的取值范围是 _【答案】 -1; ,0 .【解析】【分析】

21、首先由奇函数的定义得到关于 a的恒等式，据此可得 a的值，然后利用导函数的解析式可得 a 的取值范围 .【详解】若函数 x xf x e ae 为奇函数 ,则 , x x x xf x f x e ae e ae ， 1 0 x xa e e 对任意的 x恒成立 .若函数 x xf x e ae 是 R上的增函数 ,则 0 x xf x e ae 恒成立 , 2 , 0 xa e a .即实数 a的取值范围是 ,0【点睛】本题考查函数的奇偶

22、性单调性利用单调性确定参数的范围 .解答过程中 ,需利用转化与化归思想 ,转化成恒成立问题 .注重重点知识基础知识基本运算能力的考查 . 试卷第 10页，总 19页外装订线请不要在装订线内答题内装订线 14 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60元 /盒、 65元 /盒、 80元 /盒、 90元 /盒为增加销量，李

23、明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120元，顾客就少付 x 元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80% 当 x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1盒，需要支付 _元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x的最大值为 _【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支

24、付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得 x的最大值 .【详解】(1) 10 x ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒 ,需要支付 60 80 10 130 元 .(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 y元 ,120y 元时 ,李明得到的金额为 80%y ,符合要求 .120y 元时 ,有 80% 70%y x y 恒成立 ,即 8 7 , 8yy x y x ,即 min 158yx 元 .所以 x的最大值为

25、 15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质数学的应用意识数学式子变形与运算求解能力 ,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养 .评卷人得分三、解答题15 在 ABC 中， a=3， bc=2， cosB= 12 （）求 b， c 的值；（）求 sin（ B C）的值【答案】 ( ) 75bc ；试卷第 11页，总 19页外装订线学校:_姓名：_班级：

26、_考号：_ 内装订线 ( ) 4 37 .【解析】【分析】( )由题意列出关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定 b,c 的值；( )由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得 sin B C 的值 .【详解】( )由题意可得： 2 2 2 1cos 2 223a c bB acb ca ，解得： 375abc . ( )由同角三角函数基本关系可得： 2 3sin 1 cos 2B B ，结合正弦定理 sin sinb cB C

27、可得： sin 5 3sin 14c BC b ，很明显角 C 为锐角，故 2 11cos 1 sin 14C C ，故 4sin sin cos cos sin 37B C B C B C .【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 .16 如图，在四棱锥 PABCD 中， PA 平面 ABCD， AD CD， AD BC， PA=AD=CD=2，BC=3 E 为 PD 的

28、中点，点 F 在 PC 上，且 13PFPC （）求证： CD 平面 PAD；（）求二面角 FAEP 的余弦值；（）设点 G 在 PB 上，且 23PGPB 判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由【答案】 ( )见解析；试卷第 12页，总 19页外装订线请不要在装订线内答题内装订线 ( ) 33 ；( )见解析 .【解析】【分析】( )由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；( )建立空间直

29、角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角 F-AE-P 的余弦值；( )首先求得点 G 的坐标，然后结合平面 AEF 的法向量和直线 AG 的方向向量可判断直线是否在平面内 .【详解】 ( )由于 PA 平面 ABCD， CD平面 ABCD，则 PA CD，由题意可知 AD CD，且 PAAD=A，由线面垂直的判定定理可得 CD 平面 PAD.( )以点 A 为坐标原点，平面 ABCD 内与 AD 垂直

30、的直线为 x 轴， AD,AP 方向为 y 轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，易知： 0,0,0 , 0,0,2 , 2,2,0 , 0,2,0A P C D ，由 13PF PC 可得点 F 的坐标为 2 2 4, ,3 3 3F ，由 12PE PD 可得 0,1,1E ，设平面 AEF 的法向量为： , ,m x y z ，则 2 2 4 2 2 4, , , , 03 3 3 3 3 3, , 0,1,1 0m AF x y z x y zm AE x y z y z ，试卷第 13页

31、，总 19页外装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线据此可得平面 AEF 的一个法向量为： 1,1, 1m ，很明显平面 AEP 的一个法向量为 1,0,0n ，1 3cos , 33 1m nm n m n ，二面角 F-AE-P 的平面角为锐角，故二面角 F-AE-P 的余弦值为 33 .( )易知 0,0,2 , 2, 1,0P B ，由 23PG PB 可得 4 2 2, ,3 3 3G ，则 4 2 2, ,3 3 3AG ，注意到平面 AEF 的一个法

32、向量为： 1,1, 1m ，其 0m AG 且点 A 在平面 AEF 内，故直线 AG 在平面 AEF 内 .17 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A， B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100人，发现样本中 A， B两种支付方式都不使用的有 5人，样本中仅使用 A和仅使用 B的学生

33、的支付金额分布情况如下：交付金额（元）支付方式（ 0,1000 （ 1000,2000 大于 2000仅使用 A 18人 9人 3人仅使用 B 10人 14人 1人（）从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A， B两种支付方式都使用的概率；（）从样本仅使用 A和仅使用 B的学生中各随机抽取 1人，以 X 表示这 2人中上个月支付金额大于 1000元的人数，求 X 的分布列和数学期望

34、；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A的学生中，随机抽查 3人，发现他们本月的支付金额都大于 2000元根据抽查结果，能否认为样试卷第 14页，总 19页外装订线请不要在装订线内答题内装订线本仅使用 A的学生中本月支付金额大于 2000元的人数有变化？说明理由【答案】 ( ) 25 ；( )见解析；( )见解析 .【解析】【分析】(

35、 )由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；( )首先确定 X 可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可 . ( )由题意结合概率的定义给出结论即可 .【详解】( )由题意可知，两种支付方式都是用的人数为： 100 30 25 5 40 人，则：该学生上个月 A， B 两种支付方式都使用的概率 40 2100 5p .( )由题意可知

36、，仅使用 A支付方法的学生中，金额不大于 1000的人数占 35，金额大于 1000的人数占 25 ，仅使用 B支付方法的学生中，金额不大于 1000的人数占 25 ，金额大于 1000的人数占 35，且 X 可能的取值为 0,1,2. 3 2 60 5 5 25p X ， 2 23 2 131 5 5 25p X ， 3 2 62 5 5 25p X ，X 的分布列为：X 0 1 2 p X 625 1325 625其数学期望： 6 13 60 1 2 125

37、25 25E X . ( )我们不认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000元的人数有变化 .理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。试卷第 15页，总 19页外装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消

38、费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了 “小概率事件 ”.【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关 .18 已知抛物线 C： x2=2py 经过点（ 2， 1）（）求抛物线 C 的方程及其准线方程；（）设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不

39、为 0的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y=1分别交直线 OM， ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点【答案】 ( ) 2 4x y ， 1y ；( )见解析 .【解析】【分析】( )由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；( )联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令

40、 x=0即可证得题中的结论 .【详解】 ( )将点 2, 1 代入抛物线方程： 22 2 1p 可得： 2p ，故抛物线方程为： 2 4x y ，其准线方程为： 1y .( )很明显直线 l的斜率存在，焦点坐标为 0, 1 ，设直线方程为 1y kx ，与抛物线方程 2 4x y 联立可得： 2 4 4 0 x kx .故： 1 2 1 24 , 4x x k x x .设 2 21 21 2, , ,4 4x xM x N x ，则 1 2,4 4OM ONx

41、xk k ，直线 OM 的方程为 14xy x ，与 1y 联立可得： 14 , 1A x ，同理可得 24 , 1B x ，易知以 AB 为直径的圆的圆心坐标为： 1 22 2 , 1x x ，圆的半径为： 1 22 2x x ，试卷第 16页，总 19页外装订线请不要在装订线内答题内装订线且： 1 21 2 1 222 2 2x x kx x x x ， 21 2 1 2 21 2 1 2 42 2 2 2 1x x x x kx x x x ，则圆的方程为： 2 2 22 1

42、4 1x k y k ，令 0 x 整理可得： 2 2 3 0y y ，解得： 1 23, 1y y ，即以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点 0, 3 , 0,1 .【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 . 19 已知函数 3 21( ) 4f x x x x .（）求曲线 ( )y f

43、x 的斜率为 1的切线方程；（）当 2,4x 时，求证： 6 ( )x f x x ；（）设 ( ) | ( ) ( )|( )F x f x x a a R ，记 ( )F x 在区间 2,4 上的最大值为 M（ a），当 M（ a）最小时，求 a 的值【答案】（） 0 x y 和 27 27 64 0 x y .（）见解析；（） 3a .【解析】【分析】( )首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可

44、确定切线方程；( )由题意分别证得 6 0f x x 和 0f x x 即可证得题中的结论；( )由题意结合 ( )中的结论分类讨论即可求得 a 的值 .【详解】（） 23( ) 2 14f x x x ，令 23( ) 2 1 14f x x x 得 0 x 或者 83x .当 0 x 时， (0) 0f ，此时切线方程为 y x ，即 0 x y ；当 83x 时， 8 8( )3 27f ，此时切线方程为 6427y x ，即 27 27 64 0 x y ；综上

45、可得所求切线方程为 0 x y 和 27 27 64 0 x y . 试卷第 17页，总 19页外装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内装订线（）设 3 21( ) ( ) 4g x f x x x x ， 23( ) 24g x x x ，令 23( ) 2 04g x x x 得0 x 或者 83x ，所以当 2,0 x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 为增函数；当 8(0, )3x 时，( ) 0g x ， ( )g x 为减函数；当 8 ,43x 时， ( ) 0g x ， ( )g x

46、为增函数；而 (0) (4) 0g g ，所以 ( ) 0g x ，即 ( )f x x ；同理令 3 21( ) ( ) 6 64h x f x x x x ，可求其最小值为 ( 2) 0h ，所以 ( ) 0h x ，即 ( ) 6f x x ，综上可得 6 ( )x f x x .（）由（）知 6 ( ) 0f x x ，所以 ( )M a 是 , 6a a 中的较大者，若 6a a ，即 3a 时， ( ) 3M a a a ；若 6a a ，即 3a 时， ( ) 6 6 3M a a a ；所以当 ( )M a 最小时， ( ) 3M a ，此时 3 .【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 . 20 已知数列 na ，从中选取第 1i 项、第 2i 项、、第 mi 项 1 2 . m

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