【考研类试卷】研究生入学考试(电磁场与电磁波)-试卷5及答案解析.doc
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1、研究生入学考试(电磁场与电磁波)-试卷 5 及答案解析(总分:60.00,做题时间:90 分钟)一、计算题(总题数:30,分数:60.00)1.已知球坐标系中矢量 A=ae r +be +ce ,式中 a、b、c 均为常数,A 是常矢量吗?试求.A、A以及 A 在相应的直角坐标系及圆柱坐标系中的表达式。(分数:2.00)_2.求下列矢量场的散度和旋度: (1)F=(3x 2 y+z)e x +(y 3 -xz 2 )e y +2xye z (2)F=cos 2 e +sine ; (3)F=yz 2 e x +zx 2 e y +xy 2 e z ; (4)F=P(x)e x +Q(y)e y
2、 +R(z)e z 。(分数:2.00)_3.给定两个矢量 A=2e x +3e y 一 4e z 和 B=一 6e x 一 4e y +e z ,求 AB 在 C=e x 一 e y +e z 上的分量。(分数:2.00)_4.r=xe x +ye y +ze z ,r=|r|,求使.(r n r)=0 的整数 n。(分数:2.00)_5.已知 A=3ye x +2ze y +xye z ,B=x 2 e x -4e z ,求(AB)。(分数:2.00)_6.求下列标量场的梯度: (1)f(,z)= 2 cos+z 2 sin; (2)f(r,)=2rsin+r 2 cos。(分数:2.00
3、)_7.求下列矢量场的散度和旋度: (1)F=(3x 2 y+z)e x +(y 3 -xz 2 )e y +2xyze z ; (2)F=cos 2 e +sine ; (3)F=P(x)e x +Q(y)e y +R(z)e z 。(分数:2.00)_8.已知矢量 A=e x x 2 yz+e y xy 2 z+e z xyz 2 ,求.A。(分数:2.00)_9.点电荷 q 1 =q 位于点 P 1 (一 a,0,0)处,另一个点电荷 q 2 =一 2q 位于点 P 2 (a,0,0)处,试问空间中是否存在 E=0 的点?(分数:2.00)_10.同轴线的内导体半径 a=1 mm,外导体
4、的内径 b=4 mm,内、外导体间为空气。假设内外导体间的电场强度为 (分数:2.00)_11.真空中无限长的半径为 a 的半边圆筒上电荷密度为 S,求轴线上的电场强度。 (分数:2.00)_12.有半径为 a 的圆形线电荷,其密度为 ,如图所示,现求中心轴各处的电场强度 E,并讨论在 d=0 处的 E。 (分数:2.00)_13.媒质 1 的电参数为 1 =4 0 , 1 =2 0 , 1 =0,媒质 2 的电参数为 2 =2 0 , 2 =3 0 , 2 =0。两种媒质分界面上的法向单位矢量为 e n =e x 64+e y 6 一 e z 48,由媒质 2 指向媒质 1。若已知媒质 1
5、内临近界面上的点 P 处 B 1 =e x 一 2e y +3e z (T),求 P 点处下列量的大小:(1)B 1n ;(2)B 1t ;(3)B 2n ;(4)B 2t 。(分数:2.00)_14.已知无源的真空中电磁波的电场 证明:S av =e z av c,其中 av 是电磁场能量密度的时间平均值, (分数:2.00)_15.真空中两根半径为 a 的无限长平行导体圆柱上带有静电荷,单位长度电量为 l 和一 l ,问空间一点处的电场强度是否可以用单根带电导体圆柱的电场公式叠加?即 (分数:2.00)_16.(北京理工大学 2003 年考研真题)试证明:静电场中电介质与导体分界面上一定存
6、在极化面电荷 ps 。(分数:2.00)_17.两异性点电荷 Q 1 和 Q 2 分别位于原点和 x=一 L 处,试证明电位等于零的曲面为一球面,此球面中心坐标为 x=一 LQ 1 2 (Q 1 2 一 Q 2 2 ),半径等于 LQ 1 Q 2 (Q 1 2 一 Q 2 2 )。(分数:2.00)_18.线电荷以密度 l 均匀分布在半径为 a 的半圆弧上,求圆心处的电场强度;设想所有的电荷集中于一点,并在圆心处产生相同的电场,求此点的位置。 (分数:2.00)_19.真空中有两个同号电荷 q 1 =q,q 2 =3q。它们之间距离为 d,试决定在连接两电荷的连线上,哪一点的电场强度为零?哪一
7、点上由两电荷所产生的电场强度恰好大小相等,方向相同? (分数:2.00)_20.边长为 a 的正方形的 3 个顶点上各放置带电量为 q 0 的点电荷,试求第四个顶点上的电场强度E。(分数:2.00)_21.半径为 a 的细圆环上分布着均匀的电荷,总电量为 Q,求圆环轴线上的电场强度;若同样的电量呈均匀分布在同样半径的薄圆盘上,求轴线上的电场强度。(分数:2.00)_22.在自由空间里,已知分布在半径为 R=10 cm 的球内的体电荷密度 =10 (分数:2.00)_23.如图所示,两个半径分别为 a 和 b(ba)的球面之间均匀分布着体电荷,电荷密度为 。两球面的球心相距为 d,且 da。试求
8、空腔内的电场。 (分数:2.00)_24.一对半径为 r 的无限长平行导线,导线间距离为 D(Dr),其上带有等值异号电荷,其线电荷密度为 及一 ,求它们周围的电位分布。 (分数:2.00)_25.求半径为 a、长为 L 的圆柱面的轴线上的磁感应强度 B。柱面上的面电流密度为: (分数:2.00)_26.两根平行长直导线,截面半径为 R,轴线距离为 D。当通有电流 I 时,试求在通过两导线轴线之平面上B 的表示式。(分数:2.00)_27.在 xy 平面内有点电荷 Q 1 =Q,Q 2 =2Q 和 Q 3 =一 3Q,它们分别位于点 (分数:2.00)_28.在以下均匀电介质里有两个相同的点电
9、荷 Q=10 -8 C,电荷之间相距 R=01 m,试计算两电荷的相互作用力。(1)空气( r =1);(2)变压器油( r =22);(3)蒸馏水( r =81)。(分数:2.00)_29.一个半径为 8 cm 的导体球上套一层厚度为 2 cm 的介质层,假设导体球带电荷 410 -6 C,介质的 r =2,计算距离球心 250 cm 处的电位。(分数:2.00)_30.假设真空中有均匀电场 E 0 ,若在其中放置一厚度为 d,介电常数为 r ,法线与 E 0 的夹角为 0 的大介质片,求介质片中的电场强度 E。 (分数:2.00)_研究生入学考试(电磁场与电磁波)-试卷 5 答案解析(总分
10、:60.00,做题时间:90 分钟)一、计算题(总题数:30,分数:60.00)1.已知球坐标系中矢量 A=ae r +be +ce ,式中 a、b、c 均为常数,A 是常矢量吗?试求.A、A以及 A 在相应的直角坐标系及圆柱坐标系中的表达式。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 即矢量 A=ae r +be +ce 的模为常数。 将矢量 A=ae r +be +ce 用直角坐标系表示,有 A=ae r +be +ce =e x (asincos+bcoscos-csin)+ e y (asinsin+bcossin+ccos)+e z (acos-bsin) 由此可见,矢量 A 的方向
11、随 和 变化,故矢量 A 不是常矢量。 由上述结果可知,一个常矢量 C 在球坐标系中不能表示为 C=ae r +be +ce 。 在球坐标系中,矢量 A 的散度为: 代入各个分量,即可得 在球坐标系中,矢量 A 的旋度为: 代入各个分量,即可得 根据矢量在直角坐标与球坐标系中的变换关系,如下 则在直角坐标系下的表达式为: 根据圆柱坐标系和球坐标系坐标分量的转换关系, 因此在圆柱坐标系下的表达式为 )解析:2.求下列矢量场的散度和旋度: (1)F=(3x 2 y+z)e x +(y 3 -xz 2 )e y +2xye z (2)F=cos 2 e +sine ; (3)F=yz 2 e x +
12、zx 2 e y +xy 2 e z ; (4)F=P(x)e x +Q(y)e y +R(z)e z 。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: (3).F=0 +(一 y 2 +2yz)e y +(一 z 2 +2xz)e z (4).F=P(x)+Q(y)+R(z) )解析:3.给定两个矢量 A=2e x +3e y 一 4e z 和 B=一 6e x 一 4e y +e z ,求 AB 在 C=e x 一 e y +e z 上的分量。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:1443)解析:4.r=xe x +ye y +ze z ,r=|r|,求使.(r n r)=0 的整数 n。
13、(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:n=一 3)解析:5.已知 A=3ye x +2ze y +xye z ,B=x 2 e x -4e z ,求(AB)。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:4z(xz-4)e y +3x 2 e z)解析:6.求下列标量场的梯度: (1)f(,z)= 2 cos+z 2 sin; (2)f(r,)=2rsin+r 2 cos。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:7.求下列矢量场的散度和旋度: (1)F=(3x 2 y+z)e x +(y 3 -xz 2 )e y +2xyze z ; (2)F=cos 2 e +sine ; (3
14、)F=P(x)e x +Q(y)e y +R(z)e z 。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1).F=8xy+3y 2 ,F=e x 4xz+e y (12yz)一 e z (3x 2 +z 2 ) (2).F=2cos 2 +cos,F=e z (2sin+sin2) (3).F=P(x)+Q(y)+R(z),F=0)解析:8.已知矢量 A=e x x 2 yz+e y xy 2 z+e z xyz 2 ,求.A。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:6xyz)解析:9.点电荷 q 1 =q 位于点 P 1 (一 a,0,0)处,另一个点电荷 q 2 =一 2q 位于点 P
15、2 (a,0,0)处,试问空间中是否存在 E=0 的点?(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:q 1 =q 在空间任意点 P(x,y,z)处产生的电场为 电荷 q 2 =-2q 在点P(x,y,z)处产生的电场为 故在点 P(x,y,z)处的电场则为 E=E 1 +E 2 ,令 E=0,则有 由此得 (x+a)E(x 一 a) 2 +y 2 +z 2 3/2 =2(x 一 a)(x+a) 2 +y 2 +z 2 3/2 (1) y(x 一 a) 2 +y 2 +z 2 3/2 =2y(x+a) 2 +y 2 +z 2 3/2 (2) z(x 一 a) 2 +y 2 +z 2 3/2 =2z
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