【考研类试卷】考研数学三(线性代数)-试卷18及答案解析.doc
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1、考研数学三(线性代数)-试卷 18 及答案解析(总分:48.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.行列式 (分数:2.00)A.(adbc) 2B.(adbc) 2C.a 2 d 2 b 2 C 2D.b 2 c 2 a 2 d 23.设对方阵 A 施行初等初换得到方程 B且A0,则 【 】(分数:2.00)A.必有B=AB.必有BAC.必有B0D.B=0 或B0 依赖于所作初等变换二、填空题(总题数:9,分数:18.00)4.设 4 阶矩阵 A= 1 1 2 3 ,B=a 2
2、1 2 3 ,其中 1 , 2 , 1 , 2 , 3 均为 4 维列向量,且已知行列式A=4,B=1,则行列式A+B= 1(分数:2.00)填空项 1:_5.设矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_6. (分数:2.00)填空项 1:_7.已知 =(1,2,3), (分数:2.00)填空项 1:_8.设 3 阶方阵 A、B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA,其中 (分数:2.00)填空项 1:_9.设 (分数:2.00)填空项 1:_10.设矩阵 A 满足 A 2 +A 一 4E=0,则(AE) -1 = 1(分数:2.00)填空项 1:_11.设 A 为 n 阶方阵,且A=a0,则A
3、 * = 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设 A 为 n 阶非零方阵,且A=0,则A * 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:11,分数:24.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设向量组 1 , 2 , 3 线性相关,向量组 2 , 3 , 4 线性无关,问:(分数:4.00)(1). 1 能否由 2 , 3 线性表示?证明你的结论(分数:2.00)_(2). 4 能否由 1 , 2 , 3 线性表示?证明你的结论(分数:2.00)_14.设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k,使线性方程组 A k X=0 有解向量 ,且 A k-1 0,
4、证明:向量组 ,4,AA k-1 线性无关(分数:2.00)_已知 3 阶矩阵 A 与 3 维向量 x,使得向量组 x,Ax,A 2 x 线性无关且满足 A 3 x=3Ax 一 2A 2 x(分数:4.00)(1).记矩阵 P=x,Ax,A 2 x,求 3 阶矩阵 B,使 A=PBP -1 ;(分数:2.00)_(2).计算行列式A+E(分数:2.00)_15.设向量组(): 1 , 2 , r 线性无关,且()可由(): 1 , 2 , s 线性表示证明:在()中至少存在一个向量 j ,使得向量组 j , 2 , r 线性无关(分数:2.00)_16.设 n 个 n 维列向量 1 , 2 ,
5、 n 线性无关,P 为 n 阶方阵,证明:向量组 P 1 ,P 2 ,P n 线性无关P0(分数:2.00)_17.设向量 可由向量组 1 , 2 , n 线性表示,证明:表示唯一的充分必要条件是向量组 1 , 2 , n 线性无关(分数:2.00)_18.设向量组 1 =(1,1,1,3) T , 2 =(一 1,一 3,5,1) T , 3 =(3,2,一 1,n+2) T 4 =(一 2,一 6,10,) T (1) 为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4,1,6,10) T 用 1 , 2 , 3 , 4 线性表出; (2) 为何值时,该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和
6、一个极大无关组(分数:2.00)_19.已知向量组(): 1 =(0,1,一 1) T , 2 (,2,1) T , 2 =(6,1,0) T 与向量组(): 1 =(1,2,一 3) T , 2 =(3,0,1) T , 3 =(9,6,一 7) T 具有相同的秩,且 2 可由向量组()线性表示,求 a、b 的值(分数:2.00)_20.已知 i =( i1 , i2 , in ) T (i=1,2,r,rn)是 n 维实向量,且 1 , 2 , r 线性无关已知 = (b 1 ,b 2 ,b n ) T 是线性方程组 (分数:2.00)_21.设向量组(): 1 , 2 , r ,线性无关
7、,向量组()可由向量组(): 1 , 2 , s 可由()线性表示: j = 1j 1 + 2j 2 + rj r (j=1,2,s)证明:向量组()线性无关矩阵 A=( ij ) rs 的秩为 s(分数:2.00)_考研数学三(线性代数)-试卷 18 答案解析(总分:48.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.行列式 (分数:2.00)A.(adbc) 2B.(adbc) 2 C.a 2 d 2 b 2 C 2D.b 2 c 2 a 2 d 2解析:解析: 解 1 按第
8、1 列展开,得所求行列式 D 等于 =ad(adbc)+bc(adbc)= (adbc) 2 解 2 先互换 D 的 2、3 两行,得 再通过相邻列的互换将第 1 列移至第 3 列,得 3.设对方阵 A 施行初等初换得到方程 B且A0,则 【 】(分数:2.00)A.必有B=AB.必有BAC.必有B0 D.B=0 或B0 依赖于所作初等变换解析:二、填空题(总题数:9,分数:18.00)4.设 4 阶矩阵 A= 1 1 2 3 ,B=a 2 1 2 3 ,其中 1 , 2 , 1 , 2 , 3 均为 4 维列向量,且已知行列式A=4,B=1,则行列式A+B= 1(分数:2.00)填空项 1:
9、_ (正确答案:正确答案:A+B= 1 + 2 2 1 2 2 2 3 =8( 1 1 2 3 + 2 1 2 3 )=8(A+B)=8(4+1)=40)解析:5.设矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:6. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: )解析:7.已知 =(1,2,3), (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:A n =( T )( T )( T )( T )= T ( T )( T )= T 3 n-1 =3 n-1 T =3 n-1 )解析:8.设 3 阶方阵 A、B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA
10、,其中 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:B=(A -1 一 E) -1 6AA -1 =6(A -1 一 E) -1 =6 )解析:9.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:在条件下必有A=0(否则A0,则 A 可逆,用 A -1 左乘 AB=0 两端,得 B=0,这与 B0 矛盾),=t=一 3)解析:10.设矩阵 A 满足 A 2 +A 一 4E=0,则(AE) -1 = 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:0=A 2 +A 一 4E 一(AE)(A+2E)一 2E,=(AE)(A+2E)=2E,=(AE) )解析:11.
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