1、考研数学三（线性代数）-试卷 18 及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.行列式 （分数：2.00）A.(adbc) 2B.(adbc) 2C.a 2 d 2 b 2 C 2D.b 2 c 2 a 2 d 23.设对方阵 A 施行初等初换得到方程 B且A0，则 【 】（分数：2.00）A.必有B=AB.必有BAC.必有B0D.B=0 或B0 依赖于所作初等变换二、填空题(总题数：9，分数：18.00)4.设 4 阶矩阵 A= 1 1 2 3 ，B=a 2
2、1 2 3 ，其中 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向量，且已知行列式A=4，B=1，则行列式A+B= 1（分数：2.00）填空项 1:_5.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7.已知 =(1，2，3)， （分数：2.00）填空项 1:_8.设 3 阶方阵 A、B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA，其中 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数：2.00）填空项 1:_10.设矩阵 A 满足 A 2 +A 一 4E=0，则(AE) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设 A 为 n 阶方阵，且A=a0，则A
3、 * = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 为 n 阶非零方阵，且A=0，则A * 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：24.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关，问：（分数：4.00）(1). 1 能否由 2 ， 3 线性表示?证明你的结论（分数：2.00）_(2). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示?证明你的结论（分数：2.00）_14.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A k X=0 有解向量 ，且 A k-1 0，
4、证明：向量组 ，4，AA k-1 线性无关（分数：2.00）_已知 3 阶矩阵 A 与 3 维向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2 x 线性无关且满足 A 3 x=3Ax 一 2A 2 x（分数：4.00）(1).记矩阵 P=x，Ax，A 2 x，求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP -1 ；（分数：2.00）_(2).计算行列式A+E（分数：2.00）_15.设向量组()： 1 ， 2 ， r 线性无关，且()可由()： 1 ， 2 ， s 线性表示证明：在()中至少存在一个向量 j ，使得向量组 j ， 2 ， r 线性无关（分数：2.00）_16.设 n 个 n 维列向量 1 ， 2 ，
5、 n 线性无关，P 为 n 阶方阵，证明：向量组 P 1 ，P 2 ，P n 线性无关P0（分数：2.00）_17.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组 1 ， 2 ， n 线性无关（分数：2.00）_18.设向量组 1 =(1，1，1，3) T ， 2 =(一 1，一 3，5，1) T ， 3 =(3，2，一 1，n+2) T 4 =(一 2，一 6，10，) T (1) 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10) T 用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出； (2) 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和
6、一个极大无关组（分数：2.00）_19.已知向量组()： 1 =(0，1，一 1) T ， 2 (，2，1) T ， 2 =(6，1，0) T 与向量组()： 1 =(1，2，一 3) T ， 2 =(3，0，1) T ， 3 =(9，6，一 7) T 具有相同的秩，且 2 可由向量组()线性表示，求 a、b 的值（分数：2.00）_20.已知 i =( i1 ， i2 ， in ) T (i=1，2，r，rn)是 n 维实向量，且 1 ， 2 ， r 线性无关已知 = (b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_21.设向量组()： 1 ， 2 ， r ，线性无关
7、，向量组()可由向量组()： 1 ， 2 ， s 可由()线性表示： j = 1j 1 + 2j 2 + rj r (j=1，2，s)证明：向量组()线性无关矩阵 A=( ij ) rs 的秩为 s（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）-试卷 18 答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.行列式 （分数：2.00）A.(adbc) 2B.(adbc) 2 C.a 2 d 2 b 2 C 2D.b 2 c 2 a 2 d 2解析：解析： 解 1 按第
8、1 列展开，得所求行列式 D 等于 =ad(adbc)+bc(adbc)= (adbc) 2 解 2 先互换 D 的 2、3 两行，得 再通过相邻列的互换将第 1 列移至第 3 列，得 3.设对方阵 A 施行初等初换得到方程 B且A0，则 【 】（分数：2.00）A.必有B=AB.必有BAC.必有B0 D.B=0 或B0 依赖于所作初等变换解析：二、填空题(总题数：9，分数：18.00)4.设 4 阶矩阵 A= 1 1 2 3 ，B=a 2 1 2 3 ，其中 1 ， 2 ， 1 ， 2 ， 3 均为 4 维列向量，且已知行列式A=4，B=1，则行列式A+B= 1（分数：2.00）填空项 1:
9、_ （正确答案：正确答案：A+B= 1 + 2 2 1 2 2 2 3 =8( 1 1 2 3 + 2 1 2 3 )=8(A+B)=8(4+1)=40）解析：5.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：7.已知 =(1，2，3)， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：A n =( T )( T )( T )( T )= T ( T )( T )= T 3 n-1 =3 n-1 T =3 n-1 ）解析：8.设 3 阶方阵 A、B 满足关系式 A -1 BA=6A+BA
10、，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：B=(A -1 一 E) -1 6AA -1 =6(A -1 一 E) -1 =6 ）解析：9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：在条件下必有A=0(否则A0，则 A 可逆，用 A -1 左乘 AB=0 两端，得 B=0，这与 B0 矛盾)，=t=一 3）解析：10.设矩阵 A 满足 A 2 +A 一 4E=0，则(AE) -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0=A 2 +A 一 4E 一(AE)(A+2E)一 2E，=(AE)(A+2E)=2E，=(AE) ）解析：11.
11、设 A 为 n 阶方阵，且A=a0，则A * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 AA * =AE 两端取行列式，得 AA * =A n ，=A * =A n-1 =a n-1 ）解析：12.设 A 为 n 阶非零方阵，且A=0，则A * 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：必有A * =0，否则A * 0，则 A * 可逆，用(A * ) -1 右乘 AA * =AE=0 两端，得 A=0，这与 A0 矛盾）解析：三、解答题(总题数：11，分数：24.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设向量组 1 ， 2 ，
12、 3 线性相关，向量组 2 ， 3 ， 4 线性无关，问：（分数：4.00）(1). 1 能否由 2 ， 3 线性表示?证明你的结论（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：能由 2 ， 3 线性无关，而 1 ， 2 ， 3 线性相关即可证明)解析：(2). 4 能否由 1 ， 2 ， 3 线性表示?证明你的结论（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不能否则， 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表示，由(1)知 1 能由 2 ， 3 线性表示，= 4 能由 2 ， 3 线性表示，这与 2 ， 3 ， 4 线性无关矛盾)解析：14.设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 A
13、k X=0 有解向量 ，且 A k-1 0，证明：向量组 ，4，AA k-1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有一组数 0 ， 1 ， k-1 使 0 + 1 A+ k-m A k-1 =0，两端左乘 A k-1 ，由于 A k+m =0(m=0，1，2，)，= 0 A k-1 =0，又 A k-1 0，= 0 =0，同理可证 1 = k-1 =0，故 ，A，A k-1 线性无关)解析：已知 3 阶矩阵 A 与 3 维向量 x，使得向量组 x，Ax，A 2 x 线性无关且满足 A 3 x=3Ax 一 2A 2 x（分数：4.00）(1).记矩阵 P=x，Ax，A 2 x，求
14、 3 阶矩阵 B，使 A=PBP -1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AP=Ax Ax A 2 x=Ax A 2 x A 3 x=Ax A 2 x 3Ax 一 2A 2 x 其中 )解析：(2).计算行列式A+E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)有 A=PBP -1 =A+E=P(B+E)P -1 =A+E=B+E=一 4)解析：15.设向量组()： 1 ， 2 ， r 线性无关，且()可由()： 1 ， 2 ， s 线性表示证明：在()中至少存在一个向量 j ，使得向量组 j ， 2 ， r 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用反证法否则对()中
15、每个向量 j ，向量组 j ， 2 ， r ，都线性相关=B j 可由 2 ， r 线性表出= ()可由 2 ， r 线性表出=()可由 2 ， r 线性表出= 1 可由 2 ， r 线性表出，这与()线性无关矛盾)解析：16.设 n 个 n 维列向量 1 ， 2 ， n 线性无关，P 为 n 阶方阵，证明：向量组 P 1 ，P 2 ，P n 线性无关P0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：向量组 P 1 ，P 2 ，P n 线性无关行列式 P 1 P 2 P n 0P 1 2 n 0(注意由条件有行列式 1 2 n 0)P0)解析：17.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， n 线性表示
16、，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组 1 ， 2 ， n 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件有 k 1 1 +k 2 2 +k n n =必要性设表示唯一，若 1 1 + 2 2 + n n =0，与两端分别相加，得 (k 1 + 1 ) 2 +(k 2 + 2 ) 2 +(k n + n ) n =，由表示唯一，比较与，得 k j =k j + j (j=1，2，n)= j =0(j=1，2，n)，= 1 ， 2 ， n 线性无关充分性：设 1 ， 2 ， n 线性无关，若还有 s 1 1 +s 2 2 +s n n =，一，得(k 1 一 s 1 ) 1 +(k 2
17、 一 s 2 ) 2 +(k n 一 s n ) 4 =0，由 1 ， 2 ， n 线性无关，得 k j =s j (j=1，2，n)，即式必为式故表示唯一)解析：18.设向量组 1 =(1，1，1，3) T ， 2 =(一 1，一 3，5，1) T ， 3 =(3，2，一 1，n+2) T 4 =(一 2，一 6，10，) T (1) 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10) T 用 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性表出； (2) 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵 A= 1 2 3 4 作
18、初等行变换，化为阶梯形： (1)当 a2 时，矩阵 A= 1 2 3 4 的秩为 4，即向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关此时设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =，解得(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 )= ，即有 )解析：19.已知向量组()： 1 =(0，1，一 1) T ， 2 (，2，1) T ， 2 =(6，1，0) T 与向量组()： 1 =(1，2，一 3) T ， 2 =(3，0，1) T ， 3 =(9，6，一 7) T 具有相同的秩，且 2 可由向量组()线性表示，求 a、b 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2
19、 是向量组()的一个极大无关组，()的秩为 2，故()的秩为2故()线性相关，从而行列式 1 2 3 =0，由此解得 =3b又 3 可由()线性表示，从而 3 可由 1 ， 2 线性表示，所以向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，于是，行列式 1 2 3 =0，解之得 b=5，所以 =15，b=5)解析：20.已知 i =( i1 ， i2 ， in ) T (i=1，2，r，rn)是 n 维实向量，且 1 ， 2 ， r 线性无关已知 = (b 1 ，b 2 ，b n ) T 是线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设条件有 T i =0(i=1，2，r)设 k 1 1
20、+k r r +k r+1 =0 (*) 两端左乘 T ，得 k r+1 T =0，又 0，= T = 2 0，故 k r+1 =0 代入(*)式，得 k 1 1 +k r r =0，又 1 ， r ，线性无关，所以有 k 1 =k r =0，因此 1 ， r ， 线性无关)解析：21.设向量组()： 1 ， 2 ， r ，线性无关，向量组()可由向量组()： 1 ， 2 ， s 可由()线性表示： j = 1j 1 + 2j 2 + rj r (j=1，2，s)证明：向量组()线性无关矩阵 A=( ij ) rs 的秩为 s（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 i (i=1，r)及 j (j=1，s)均为 n 维列向量，则题设的线性表示或可写成矩阵形式： 1 2 r = 1 2 r A，或 B=PA，其中 B= 1 2 r 为 ns 矩阵，P= 1 2 r 为 nr 矩阵，且 P 的列线性无关于是可证两个齐次线性方程组 Bx=0 与 Ax=0 同解：若 Bx=P(Ax)=0，因 P 的列线性无关，得 Ax=0；若 Ax=0，两端左乘 P，得PAx=Bx=0，所以 Bx=0 与 Ax=0 同解，=sr(B)=s 一 r(A)，=r(B)=r(A)，=()线性无关r(B)=sr(A)=s)解析：
