【考研类试卷】考研数学三-140及答案解析.doc
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1、考研数学三-140 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 A 是 mn 阶矩阵,C 是 n 阶可逆矩阵,矩阵 A 的秩为 r,矩阵 B=AC 的秩为 r1,则_.(分数:4.00)A.rr 1B.rr 1C.r=r1D.r 与 r1的关系由 C 而定2.设常数 0,而级数 收敛,则级数 (分数:4.00)A.B.C.D.3.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0p1),则此人第 4 次射击恰好第 2次命中目标的概率为_(分数:4.00)A.3p(1-p)2B.6p(1-p)2C.3p2(1-p)2D.6p2
2、(1-p)24.设 1, 2是矩阵 A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 1, 2,则 1,A( 1+ 2)线性无关的充分必要条件是_(分数:4.00)A. 1=0B. 2=0C. 10D. 205.设随机变量 x 服从正态分布 N(, 2),则随着 的增大,概率 P|X-|_(分数:4.00)A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不定6.设幂级数 的收敛半径分别为 ,则幂级数 的收敛半径为_(分数:4.00)A.B.C.D.7.设随机变量 Xi的分布列为 ,且满足 PX1X2=0=1,则 PX1=X2等于_(分数:4.00)A.B.C.D.8.设函数 f(x,y)连续,则二重积
3、分 等于_(分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设函数 (分数:4.00)填空项 1:_10.微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_(分数:4.00)填空项 1:_11.差分方程 yt+1-yt=t2的通解为_(分数:4.00)填空项 1:_12.级数 (分数:4.00)填空项 1:_13.设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 PX=E(X2)=_(分数:4.00)填空项 1:_14.设 X1,X 2,X 3,X 4是来自正态总体 N(0,2 2)的简单随机样本,X=a(X1-2X2)2+b(X3-4X4)2,则当 a
4、=_,b=_时,统计量 X 服从 (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.证明:当 0ab 时,6sinb+2cosb+basina+2cosa+a(分数:9.00)_16.设 1=(1,2,0) T, 2=(1,a+2,-3a) T, 3=(-1,-b-2,a+2b) T,=(1,3,-3) T试讨论当 a,b为何值时,() 不能由 1, 2, 3线性表示;() 可由 1, 2, 3唯一地线性表示,并求出表示式;() 可由 1, 2, 3线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式(分数:9.00)_17.设二维随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为(分数:
5、11.00)_18.假设 f(x)在a,+)上连续,f“(x)在(a,+)内存在且大于零,记(分数:11.00)_19.设函数 f(x)在0,上连续,且 (分数:10.00)_20.假设函数 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内二阶可导,过点 A(0,f(0)与 B(1,f(1)的直线与曲线y=f(x)相交于点 C(c,f(c),其中 0c1证明:在(0,1)内至少存在一点 ,使 f“()=0(分数:11.00)_21.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布(1) 求相继两次故障之间时问间隔 T 的概率分布;(2) 求在设备已经无故障工作 8
6、 小时的情形下,再无故障工作 8 小时的概率 Q(分数:11.00)_22.已知抛物线 y=px2+qx(其中 p0,q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切,且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S如右图所示(分数:11.00)_23.在经济学中,称函数为固定替代弹性生产函数,而称函数为 Cobb-Douglas 生产函数(简称 C-D 生产函数)试证明:当 x0 时,固定替代弹性生产函数变为 C-D 生产函数,即有(分数:11.00)_考研数学三-140 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 A 是 mn 阶矩阵,C
7、 是 n 阶可逆矩阵,矩阵 A 的秩为 r,矩阵 B=AC 的秩为 r1,则_.(分数:4.00)A.rr 1B.rr 1C.r=r1 D.r 与 r1的关系由 C 而定解析:考点提示 利用左乘或右乘可逆矩阵不改变被乘矩阵的秩即可解题分析 由 B=AC 知 r1r(A)=r又 B=AC 两边同时有乘 C-1,得 A=BC-1,于是 rr(B)=r 1,从而有 r=r1,故选 C2.设常数 0,而级数 收敛,则级数 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:考点提示 如果四个选项中有绝对收敛的判断则可先考虑级数是否绝对收敛,如果不是绝对收敛再进一步考虑级数是条件收敛还是发敞解题分析 由于*又级数
8、*均收敛,所以由级数的运算性质得级数*收敛,于是,由正项级数的比较判别法,得级数*绝对收敛故应选 C评注 对于三个级数*,有:(1) 如果有两个收敛,则第三个收敛(2) 如果其中一个收敛,另一个发散,则第三个发散3.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0p1),则此人第 4 次射击恰好第 2次命中目标的概率为_(分数:4.00)A.3p(1-p)2B.6p(1-p)2C.3p2(1-p)2 D.6p2(1-p)2解析:考点提示 二项分布的概率解题分析 此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标,即他前 3 次射击中只有一次命中,其概率为*故应选 C4.设 1, 2是矩阵 A
9、 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为 1, 2,则 1,A( 1+ 2)线性无关的充分必要条件是_(分数:4.00)A. 1=0B. 2=0C. 10D. 20 解析:考点提示 特征值、特征向量解题分析 由题意可知A( 1+ 2)=A 1+A 2= 1 1+ 2 2,于是 1,A( 1+ 2)线性无关*k 1 1+k2A 1+ 2)=0,k 1,k 2恒为 0*(k1+ 1k2) 1+ 2k2 2=0,k 1,k 2恒为 0又因为不同特征值的特征向量线性无关,故 1, 1线性无关,于是*齐次方程组*只有零解*故选 D5.设随机变量 x 服从正态分布 N(, 2),则随着 的增大,概率 P
10、|X-|_(分数:4.00)A.单调增大B.单调减小C.保持不变 D.增减不定解析:考点提示 将随机变量 X 化为标准正态分布随机变量即可解题分析 因为 XN(, 2),所以*于是*可见,所求概率 P|X-|)不随 的变化而变化,故应选 C评注 本题属基础题型,事实上 P|X-|与 和 均没有关系6.设幂级数 的收敛半径分别为 ,则幂级数 的收敛半径为_(分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点提示 幂级数的收敛半径解题分析 由题设,*从而*从而*的收敛半径为 5,所以选 A7.设随机变量 Xi的分布列为 ,且满足 PX1X2=0=1,则 PX1=X2等于_(分数:4.00)A. B.C.
11、D.解析:考点提示 二维联合概率分布解题分析 设(X 1,X 2)的联合分布如下表所示:*由 PX1X2=0=PX1=0,X 2=-1+PX1=0,X 2=1+PX1=-1,X 2=0+PX1=1,X 2=0+PX1=0,X 2=0=p21+p23+p12+p32+p22=1,知p11=p13=p31=p33=0,从而有*,同样可得*此外*,即 p11=p22=p33=0,所以PX1=X2=PX1=-1,X 2=-1+PX1=0,X 2=0+PX1=1,X 2=1=p11+p21+p33=0故选 A8.设函数 f(x,y)连续,则二重积分 等于_(分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点提
12、示 积分交换次序解题分析 南二重积分*的积分上、下限知积分区域为*的反函数为 x=-arcsiny,则积分区域可改写为*于是积分变为*故应选 B二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设函数 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:1)解析:考点提示 函数的连续性解题分析 函数 f(x)连续,则需满足*即*,解得 c=110.微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点提示 微分方程求解解题分析 由于 xy+y=0*(xy)=0,积分有 xy=C,所以微分方程 xy+y=0 的通解是*,由初始条件y(1)
13、=2 可得 C=2,所以特解为*11.差分方程 yt+1-yt=t2的通解为_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:y t=(t-2)2t+k)解析:考点提示 差分方程解题分析 题设所给差分方程为非齐次差分方程,其相应的齐次差分方程 yt+1-yt=0 的通解为 k(任意常数)设原非齐次差分方程的特解为(At+B)2 t,代入原方程可求得 A=1,B=-2,所以原非齐次差分方程的通解为 yt=(t-2)2t+k12.级数 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:(0,4))解析:考点提示 考虑到幂级数为非标准型,可将它看作一般的函数项级数,先用比值或根值判别法求出收敛区间,再考察
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