1、考研数学三-140 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是 mn 阶矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r1，则_.（分数：4.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r1D.r 与 r1的关系由 C 而定2.设常数 0，而级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.3.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好第 2次命中目标的概率为_（分数：4.00）A.3p(1-p)2B.6p(1-p)2C.3p2(1-p)2D.6p2
2、(1-p)24.设 1， 2是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1，A( 1+ 2)线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A. 1=0B. 2=0C. 10D. 205.设随机变量 x 服从正态分布 N(， 2)，则随着 的增大，概率 P|X-|_（分数：4.00）A.单调增大B.单调减小C.保持不变D.增减不定6.设幂级数 的收敛半径分别为 ，则幂级数 的收敛半径为_（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 Xi的分布列为 ，且满足 PX1X2=0=1，则 PX1=X2等于_（分数：4.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x，y)连续，则二重积
3、分 等于_（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_11.差分方程 yt+1-yt=t2的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_12.级数 （分数：4.00）填空项 1:_13.设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=E(X2)=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本，X=a(X1-2X2)2+b(X3-4X4)2，则当 a
4、=_，b=_时，统计量 X 服从 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明：当 0ab 时，6sinb+2cosb+basina+2cosa+a（分数：9.00）_16.设 1=(1，2，0) T， 2=(1，a+2，-3a) T， 3=(-1，-b-2，a+2b) T，=(1，3，-3) T试讨论当 a，b为何值时，() 不能由 1， 2， 3线性表示；() 可由 1， 2， 3唯一地线性表示，并求出表示式；() 可由 1， 2， 3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式（分数：9.00）_17.设二维随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为（分数：
5、11.00）_18.假设 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，记（分数：11.00）_19.设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：10.00）_20.假设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内二阶可导，过点 A(0，f(0)与 B(1，f(1)的直线与曲线y=f(x)相交于点 C(c，f(c)，其中 0c1证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使 f“()=0（分数：11.00）_21.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为 t 的泊松分布(1) 求相继两次故障之间时问间隔 T 的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作 8
6、 小时的情形下，再无故障工作 8 小时的概率 Q（分数：11.00）_22.已知抛物线 y=px2+qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S如右图所示（分数：11.00）_23.在经济学中，称函数为固定替代弹性生产函数，而称函数为 Cobb-Douglas 生产函数(简称 C-D 生产函数)试证明：当 x0 时，固定替代弹性生产函数变为 C-D 生产函数，即有（分数：11.00）_考研数学三-140 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是 mn 阶矩阵，C
7、 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r1，则_.（分数：4.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r1 D.r 与 r1的关系由 C 而定解析：考点提示 利用左乘或右乘可逆矩阵不改变被乘矩阵的秩即可解题分析 由 B=AC 知 r1r(A)=r又 B=AC 两边同时有乘 C-1，得 A=BC-1，于是 rr(B)=r 1，从而有 r=r1，故选 C2.设常数 0，而级数 收敛，则级数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 如果四个选项中有绝对收敛的判断则可先考虑级数是否绝对收敛，如果不是绝对收敛再进一步考虑级数是条件收敛还是发敞解题分析 由于*又级数
8、*均收敛，所以由级数的运算性质得级数*收敛，于是，由正项级数的比较判别法，得级数*绝对收敛故应选 C评注 对于三个级数*，有：(1) 如果有两个收敛，则第三个收敛(2) 如果其中一个收敛，另一个发散，则第三个发散3.某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p(0p1)，则此人第 4 次射击恰好第 2次命中目标的概率为_（分数：4.00）A.3p(1-p)2B.6p(1-p)2C.3p2(1-p)2 D.6p2(1-p)2解析：考点提示 二项分布的概率解题分析 此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标，即他前 3 次射击中只有一次命中，其概率为*故应选 C4.设 1， 2是矩阵 A
9、 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则 1，A( 1+ 2)线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A. 1=0B. 2=0C. 10D. 20 解析：考点提示 特征值、特征向量解题分析 由题意可知A( 1+ 2)=A 1+A 2= 1 1+ 2 2，于是 1，A( 1+ 2)线性无关*k 1 1+k2A 1+ 2)=0，k 1，k 2恒为 0*(k1+ 1k2) 1+ 2k2 2=0，k 1，k 2恒为 0又因为不同特征值的特征向量线性无关，故 1， 1线性无关，于是*齐次方程组*只有零解*故选 D5.设随机变量 x 服从正态分布 N(， 2)，则随着 的增大，概率 P
10、|X-|_（分数：4.00）A.单调增大B.单调减小C.保持不变 D.增减不定解析：考点提示 将随机变量 X 化为标准正态分布随机变量即可解题分析 因为 XN(， 2)，所以*于是*可见，所求概率 P|X-|)不随 的变化而变化，故应选 C评注 本题属基础题型，事实上 P|X-|与 和 均没有关系6.设幂级数 的收敛半径分别为 ，则幂级数 的收敛半径为_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 幂级数的收敛半径解题分析 由题设，*从而*从而*的收敛半径为 5，所以选 A7.设随机变量 Xi的分布列为 ，且满足 PX1X2=0=1，则 PX1=X2等于_（分数：4.00）A. B.C.
11、D.解析：考点提示 二维联合概率分布解题分析 设(X 1，X 2)的联合分布如下表所示：*由 PX1X2=0=PX1=0，X 2=-1+PX1=0，X 2=1+PX1=-1，X 2=0+PX1=1，X 2=0+PX1=0，X 2=0=p21+p23+p12+p32+p22=1，知p11=p13=p31=p33=0，从而有*，同样可得*此外*，即 p11=p22=p33=0，所以PX1=X2=PX1=-1，X 2=-1+PX1=0，X 2=0+PX1=1，X 2=1=p11+p21+p33=0故选 A8.设函数 f(x，y)连续，则二重积分 等于_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提
12、示 积分交换次序解题分析 南二重积分*的积分上、下限知积分区域为*的反函数为 x=-arcsiny，则积分区域可改写为*于是积分变为*故应选 B二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点提示 函数的连续性解题分析 函数 f(x)连续，则需满足*即*，解得 c=110.微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 微分方程求解解题分析 由于 xy+y=0*(xy)=0，积分有 xy=C，所以微分方程 xy+y=0 的通解是*，由初始条件y(1)
13、=2 可得 C=2，所以特解为*11.差分方程 yt+1-yt=t2的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y t=(t-2)2t+k）解析：考点提示 差分方程解题分析 题设所给差分方程为非齐次差分方程，其相应的齐次差分方程 yt+1-yt=0 的通解为 k(任意常数)设原非齐次差分方程的特解为(At+B)2 t，代入原方程可求得 A=1，B=-2，所以原非齐次差分方程的通解为 yt=(t-2)2t+k12.级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(0，4)）解析：考点提示 考虑到幂级数为非标准型，可将它看作一般的函数项级数，先用比值或根值判别法求出收敛区间，再考察
14、区间端点处的敛散性解题分析 由于*所以由正项级数的根值判别法，当 (x)1 时，即 0x4，幂级数*绝对收敛；当 (x)1 时，即|x-2|2，幂级数*发散，因此幂级数*的收敛区间为(0，4)当 x=0 时，级数*发散，当 x=4 时，*发散，故级数的收敛域为(0，4)评注 1 本题可用比值判别法求出*，再用上述类似方法求出收敛域评注 2 也可先作变量代换 t=(x-2)2，求出幂级数*的收敛域，再得到*的收敛域13.设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 PX=E(X2)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 服从特定分布随机变量的概率计算解题分析 因为
15、随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，所以 E(X)=D(X)=1，则 E(X2)=D(X)+(E(X)2=1+1=2根据泊松分布的概率公式可得*14.设 X1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本，X=a(X1-2X2)2+b(X3-4X4)2，则当 a=_，b=_时，统计量 X 服从 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：， ，2 ）解析：考点提示 *分布的定义解题分析 根据*分布的定义，若 y1，y 2，y n相互独立且 yiN(0，1)(i=1，2，n)，则*服从自由度为 n 的*分布，因此由题设，如果 X 服从*分布，则需使*都服从标准正态
16、分布，即*因此*所以*，且自由度为 2三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明：当 0ab 时，6sinb+2cosb+basina+2cosa+a（分数：9.00）_正确答案：(设函数 F(x)=xsinx+2cosx+x，则 F(x)在0，有连续的二阶导数，且F(x)=xcosx-sinx+，F()=0，F“(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx0(x(0，)所以 F(x)在0，单调减少，从而F(x)F()=0 (x(0，)于是 F(x)在0，上单调增加因此当 0ab 时，F(b)F(a)，即bsinb+2cosb+basina+2cosa+a)解析：考点提示 函
17、数的单调性16.设 1=(1，2，0) T， 2=(1，a+2，-3a) T， 3=(-1，-b-2，a+2b) T，=(1，3，-3) T试讨论当 a，b为何值时，() 不能由 1， 2， 3线性表示；() 可由 1， 2， 3唯一地线性表示，并求出表示式；() 可由 1， 2， 3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式（分数：9.00）_正确答案：( 能否由 1， 2， 3线性表示的问题等价于讨论方程组 k1 1+k2 1+k3 1= 的解的性质，其中 k1，k 2k 3是引入的一组数，该方程组系数矩阵为 A=( 1， 2， 3)，增广矩阵为利用初等行变换将其化为阶梯行：() 当 a=0，
18、b 为任意常数时，阶梯形变为 ，则 ，从而原方程组无解，即 不能由 1， 2， 3线性表示() 当 a0，且 ab 时，显然 ，因此原方程组有唯一解即 可由 1， 2， 3唯一地线性表示为() 当 a=b0 时， 的阶梯形可化为则 ，从而原方程组有无穷多解令 k 为任意常数，则 ，即 可由 1， 2， 3线性表示，表示式不唯一，)解析：考点提示 线性表示、非齐次线性方程组17.设二维随机变量 X 和 Y 的联合概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(如图所示，由 和 F(x，y)=知当 x0 或 y0 时，F(x，y)=0；当 0x1，0y1 时，当 x1，0y1 时，当 0x1，y1 时
19、，当 x1，y1 时，F(x，y)=1所以，X 和 Y 的联合分布函数)解析：考点提示 由定义*，因为 f(x，y)是分段函数，要正确计算出 F(x，y)，必须根据 f(x，y)的取值，对积分区域进行适当分块，即：x0 或y0；0x1，0y1；x1，0Y1；0x1，y1 及 x1，y1 等五个部分评注 求这类积分的原则是由积分区域 S=(u，v)|ux，vy与被积函数不为零的区域 G=(u，v)1 0u，v1相交部分的不同形状，分别按不同情况进行计算18.假设 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，记（分数：11.00）_正确答案：(详解 1 令 (x)=f(x)(x
20、-a)-f(x)+f(a)(xa)，由于 (x)=f(x)(x=a)0，因此 (x)在(a，+)内单调增加，有 (x)(a)=0，故所以 F(x)单调增加详解 2 由中值定理知，存在 (ax)，使于是，有)解析：考点提示 要证 F(x)在(a，+)内单调增加，只需证 F(x)0，为此须先求出 F(x)的导数 F(x)，再利用 f“(x)大于零的条件进行推证评注 一阶导数的符号可用来判定函数的单调性，但在求解具体问题时可能要通过多次求导才能最终得到一阶导数的符号19.设函数 f(x)在0，上连续，且 （分数：10.00）_正确答案：(本题可采用以下两种方法证明：证法 1 引入辅助函数则 F(0)
21、=0F()=0又由因此必存在一点 (0，)，使得 F()sin=0，否则 F(x)sinx 在(0，)内恒正(或负)，均与矛盾当 (0，)时，sin0，因此 F()=0综上知F(0)=F()=F()=0，0在区间0，上分别用罗尔定理，则至少存在两点 1(0，)， 2(，)，使得F( 1)=F( 2)=0，即 f( 1)=f( 2)=0证法 2 由已知 ，知存在 1(0，)，使 f( 1)=0否则 f(x)在(0，)内恒正(或负)。均与矛盾若在(0，)内 f(x)仅有一个零点 1，则由 可知 f(x)在(0， 1)与( 1，)内反号不妨设在(0， 1)内 f(x)0，在( 1，)内 f(x)0，
22、因此由 及 cosx 在0，上的单调性知)解析：考点提示 函数零点、罗尔定理、定积分的性质20.假设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内二阶可导，过点 A(0，f(0)与 B(1，f(1)的直线与曲线y=f(x)相交于点 C(c，f(c)，其中 0c1证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使 f“()=0（分数：11.00）_正确答案：(详解 1 因为 f(x)在0，c上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在 1(0，c)，使由于点 C 在弦 AB 上，故有从而 f( 1)=f(1)-f(0)同理可证，存在 2(c，1)，使f( 2)=f(1)-f(0)由 f( 1)=f( 2)，知在 1，
23、 2上，f(x)满足罗尔定理的条件，所以存在 ，使f()=0详解 2 点 A 与点 B 连线的方程为y=f(1)-f(0)x+f(0)，令 F(x)=f(x)-f(1)-f(0)x-f(0)，则 F(x)在0，c与c，1上满足罗尔定理的条件(理由同详解 1)于是，至少存在两点 10，c和 2c，1，使F( 1)=0，F( 2)=0，于是 F(x)在 1， 2上满足罗尔定理的条件，故至少存在一点 )解析：考点提示 要证在(0，1)内至少存在一点 ，使 f“()=0目标应是证明函数 f(x)在(0，1)或(0，1)内的某一开区间上满足罗尔定理的条件，然后利用罗尔定理即可达到这一目标的途径至少有两种
24、：一是对 f(x)在0，c和c，1上分别应用拉格朗日中值定理，在(0，c)和(c，1)上分别找到点 1， 2使 f( 1)=f( 2)，再在闭区间 1， 2上运用罗尔定理二是构造辅助函数 F(x)=f(x)-f(1)-f(0)x-f(0)，它是函数 f(x)减去过点 A 和 B 的一次函数，对 F(x)两次运用罗尔定理评注 详解 2 中的辅助函数表示曲线 y=f(x)上的点与线段 AB 上相应点的纵坐标之差，显然这个差在点A，B，C 均为 0，即 F(0)=F(c)=F(1)，从而可分别在0，c与c，1上应用罗尔定理21.假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为
25、 t 的泊松分布(1) 求相继两次故障之间时问间隔 T 的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障工作 8 小时的概率 Q（分数：11.00）_正确答案：(由已知条件知，事件N(t)=k表示设备在任何长为 t 的时间内发生 k 次故障，其概率为(1) 由于 T 是非负随机变量，所以当 t0 时 F(t)=PTt=0当 t0 时，事件Tt)与事件N(f)-0等价，因此因此即 T 服从参数为 的指数分布(2) )解析：考点提示 本题关键是理解随机变量 N(t)的意义事件N(t)=k表示设备在任何长为 t 的时间内发生 k 次故障，其概率*由于 T 表示两次故障之间的时问
26、间隔，故当 t0 时，PTt=0；当 t0 时，事件Tt与事件Tt是互逆事件，并且Tt表示在长为 t 的时间内没有故障发生，即它等价于事件N(t)=0评注 1 本题主要考查随机事件的表示及运算求分布函数的本质就是求事件的概率从而可以运用随机事件及其概率的性质进行计算评注 2 Q 也可由指数分布的无记忆性直接得出Q=PT16|T8=PT8=1-PT8=e -8 22.已知抛物线 y=px2+qx(其中 p0，q0)在第一象限内与直线 x+y=5 相切，且此抛物线与 x 轴所围成的平面图形的面积为 S如右图所示（分数：11.00）_正确答案：(由题设，抛物线与直线的位置关系如右图所示抛物线 y=p
27、x2+qx 与 x 轴的交点为(0，0)及 ，面积 S=又知抛物线与直线相切，因此两者的公共点唯一，从而方程组 有唯一解，可推知px2+(q+1)x-5=0 的根的判别式为 0，即=(q+1) 2+20p=0，可解得由此，则令 ，则 q=3当 0q3 时，S(q)0；当 q3 时，S(q)0，所以 q=3 时，S(q)取极大值，也即最大值，此时，)解析：考点提示 导数的几何应用、函数最大值23.在经济学中，称函数为固定替代弹性生产函数，而称函数为 Cobb-Douglas 生产函数(简称 C-D 生产函数)试证明：当 x0 时，固定替代弹性生产函数变为 C-D 生产函数，即有（分数：11.00）_正确答案：(由题设，本题实质是求幂指函数的极限已知则因为从而 ，由此 )解析：考点提示 极限、洛必达法则
