【考研类试卷】考研数学一（线性代数）-试卷33及答案解析.doc

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1、考研数学一（线性代数）-试卷 33 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.2B.-2C.3D.-33.设 （分数：2.00）A.c -2 mB.mC.cmD.c 3 m4.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 4 阶行列式 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 等于 ( )（分数：2.00）A.m+nB.-(m+n)C.

2、n-mD.m-n5.线性方程组 （分数：2.00）A.若方程组无解，则必有系数行列式A=0B.若方程组有解，则必有系数行列式A0C.系数行列式A=0，则方程组必无解D.系数行列式A0 是方程组有唯一解的充分非必要条件6.线性方程组 （分数：2.00）A.当 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解B.当 a=0 时，方程组无解C.当 b=0 时，方程组无解D.当 c=0 时，方程组无解7.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 A 是 n 阶矩阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( ) （分数：2

3、.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 a，b，a+b 均非 0，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= 1 ， 2 ， 3 是 3 阶矩阵，A=4，若 B= 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ,2 2 + 3 ，则B= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)14

4、.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_15.计算行列式 （分数：2.00）_16.计算行列式 （分数：2.00）_17.计算 D n = （分数：2.00）_18.已知 n(n3)阶实矩阵 A=(a ij ) nm 满足条件：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，n)，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式；(2)a 11 0求A（分数：2.00）_19.A是阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1，证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值（分数：2.00）_20.计算 D 5 = （分数：2.00）_21.计算行列式 （分数：2.00）_22.设 f(x

5、)= （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 a ij 的代数余子式，试证明：（分数：4.00）(1).a ij =A （分数：2.00）_(2).a ij =-A ij （分数：2.00）_24.设 A 是行阶矩阵，满足 AA T =E(E 是 n 阶单位矩阵，A T 是 A 的转置矩阵)，A0，求A+E（分数：2.00）_25.设 a 1 ，a 2 ，a n 是互不相同的实数，且 （分数：2.00）_26.设 B=2A-E，证明：B 2 =E 的充分必要条件是 A 2 =A（分数：2.00）_27.设 A 是 n 阶矩阵

6、，证明：A=O 的充要条件是 AA T =O（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 33 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.2B.-2 C.3D.-3解析：解析：按第 1 行展开： 其中第 1，3，4 项都没有 x 3 的因子，所以只分析第 2 项又因为第 2 项一(-x) 的行列式中只有主对角线上元素的乘积是 x 2 项，所以行列式展开式含 x 3 项的系数是-2 由行列式展开定理，只有 a 12 A 12 这

7、一项有可能得到 x 3 项，又 3.设 （分数：2.00）A.c -2 mB.m C.cmD.c 3 m解析：解析：由4.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1 ， 2 ， 3 ， 1 =m， 1 ， 2 ， 2 ， 3 =n，则 4 阶行列式 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 等于 ( )（分数：2.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-m D.m-n解析：解析：因 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 = 3 ， 2 ， 1 ， 2 + 3 ， 2 ， 1 ， 2 =- 1 ， 2 ， 3 ， 1 - 1 ， 2 ， 3 ， 2 =- 1 ， 2

8、 ， 3 ， 1 + 1 ， 2 ， 2 ， 3 =m-n 应选(C)5.线性方程组 （分数：2.00）A.若方程组无解，则必有系数行列式A=0 B.若方程组有解，则必有系数行列式A0C.系数行列式A=0，则方程组必无解D.系数行列式A0 是方程组有唯一解的充分非必要条件解析：解析：方程组无解 A=0(反证，若A0，用克拉默法则，方程组必有解)；(B)方程组有解，A可能为零，也可能不为零；(C)A=0，方程组也可能有解；(D)A06.线性方程组 （分数：2.00）A.当 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解 B.当 a=0 时，方程组无解C.当 b=0 时，方程组无解D.当 c=0 时，方程

9、组无解解析：解析：当 a=0 或 b=0 或 c=0 时，方程组均有解，且系数行列式7.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因AB=AB=0 A=0 或B=0，故(C)正确； (A)不正确，例： ，但 AB=O； (B)不正确，例： (D)不正确，例：8.设 A 是 n 阶矩阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：对任意的 x，有 X T Ax=0，可推出 A T =-A，不能推出 A=O例 ，对任意的x 1 ，x 2 T ，均有 二

10、、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x 2 -y 2 )(b 2 -c 2 )）解析：解析：10.设 a，b，a+b 均非 0，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2(a 3 +b 3 )）解析：解析：将第 2，3 行加到第 1 行上去，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的-1 倍加到第 2，3 列，得到11.已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，B=2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设

11、3 为 A 的另一特征值则由 AB 知，A=B=2，且 1 2 3 =A=2，可见 3 =1，从而 A，B 有相同的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =1于是有 A+E=( 1 +1)( 2 +1)( 3 +1)=12， (2B) * =2 2 B * =4 3 B * =4 3 B 2 =256， 故 12.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(-1) n-1 (n-1)）解析：解析：13.设 A= 1 ， 2 ， 3 是 3 阶矩阵，A=4，若 B= 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ,2 2 + 3 ，则B= 1（分数：2.00）填空项 1:

12、_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：方法一利用行列式的性质 B= 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ，5 3 =5 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ， 3 =5 1 -3 2 ， 2 ， 3 =5 1 ， 2 ， 3 20 方法二 B= 1 -3 2 +2 3 ， 2 -2 3 ，2 2 + 3 = 1 ， 2 ， 3 故 三、解答题(总题数：15，分数：30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按第一列展开，得 )解析：16.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案

13、： )解析：17.计算 D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一把 D n 按第一行展开，得 把递推公式改写成 D n -D n-1 =(D n-1 -D n-2 )， 继续用递推关系递推，得 D n -D n-1 =(D n-1 -D n-2 )= 2 (D n-2 -D n-3 )= n-2 (D 2 -D 1 )， 而 D 2 =(+) 2 -，D 1 =+， D n -D n-1 = n-2 (D 2 -D 1 )= n ， 式递推得 D n =D n-1 + n =(D n-2 + n-1 )+ n = n + n-1 + n-2 2 + n-1 + n 除了将式

14、变形得式外，还可将式改写成 D n -D n-1 =(D n-1 -D n-2 ) 由递推可得 D n -D n-1 = n ， - 得 (-)D n = n+1 - n+1 ，-0 时，有 = n + n-1 + n-1 + n 方法二把原行列式表示成如下形式 )解析：18.已知 n(n3)阶实矩阵 A=(a ij ) nm 满足条件：(1)a ij =A ij (i，j=1，2，n)，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式；(2)a 11 0求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 a ij =A ij ，所以 A * =A T ，且 AA * =AA T =AE 两边取行

15、列式得 AA T =A 2 =AE=A n 从而 A=1 或A=0 由于 a 11 0，可知 A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 1n A 1n = )解析：19.A是阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1，证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不失一般性，设 )解析：20.计算 D 5 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按第一行展开 得到递推公式 D 5 -D 4 =-x(D 4 -D 3 )=-x 3 (D 2 -D 1 ) 由于 D 2 = =1-x+x 2 ，D 1 =1-x，于是得 )解析：21.

16、计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)显然在0，1上连续，在(0，1)上可导而 可知 f(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故 )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第 1 行的(-x)倍分别加到第 2，3，n 行，得 当 x0 时，再把第 j列的 倍加到第 1 列(j=2，n)，就把 D n 化成了上三角行列式 )解析：A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 a ij 的代数余子式，试证明：（分数：4.00）(1).a ij =A （分数：2.00）_

17、正确答案：(正确答案：当 a ij =A ij 时，有 A T =A * ，则 A T A=AA * =AE由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 a ij T)= )解析：(2).a ij =-A ij （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a ij =-A ij 时，有 A T =-A * ，则 A T A=-A * A=-AE由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 a ij 不全为 0，所以A= )解析：24.设 A 是行阶矩阵，满足 AA T =E(E 是 n 阶单位矩阵，A T 是 A 的转置矩阵)，A0，求A+E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由A+E=A+AA T =A

18、(E+A T )=A.(A+E) T =A.A+E， 故 )解析：25.设 a 1 ，a 2 ，a n 是互不相同的实数，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 a 1 ，a 2 ，a n 互不相同，故由范德蒙德行列式知，A0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且 )解析：26.设 B=2A-E，证明：B 2 =E 的充分必要条件是 A 2 =A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 B=2A-E，B 2 =(2A-E)(2A-E)=4A 2 -4A+E，所以 )解析：27.设 A 是 n 阶矩阵，证明：A=O 的充要条件是 AA T =O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= ，则若 应有 )解析：