江西省南昌市第二中学2019届高三数学第三次月考试题理.doc

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1、- 1 -南昌二中 2019 届高三第三次考试数学（理）试卷一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 满足 （ 为虚数单位） ，则复数 的虚部为（ ）A3 B-3i C3i D-32. 函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,则 （ ）A. B. C. D. 2,1)2,1(2,6)3. 等差数列 中 ，则 （ ）na914078aa934aA8 B6 C4 D3 4. 函数 的图象如图所示，为了得到sin(,)2fx的图象，则只将 的图象（ ）cos3gxfxA向左平移 个单位 B向右平移 个单位44C向左平移

2、 个单位 D向右平移 个单位 12125.已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，()fx(,)()(1)fxf()2f则 （ ）3)08ffA-2018 B0 C2 D506. 数列 的前 项和为 ，对任意正整数 ， ，则下列关于 的论断中nanSn13naSna正确的是（ ）A一定是等差数列 B一定是等比数列C可能是等差数列，但不会是等比数列 D可能是等比数列，但不会是等差数列- 2 -7. 曲线 在点 处的切线的斜率为 2，则 的最2ln0,fxabx1,f 8ab小值是（ ）A1 0 B9 C8 D 38. 若实数 满足约束条件 ，目标函数 仅在点 处取得最小,xy1 3xy2zaxy

3、10，值，则实数 的取值范围是（ ）aA B C D -62， -62， -31， -31，9设向量 满足 , ,则 的最大值等于( )cb,1,cbabA. B.1 C. 4 D.21410. 设函数 ，若方程 恰好有三个根，分别为sin24fx90,8xfxa，则 的值为（ ）123,123()123A B C D 47411. 函数 ， ，若 成立，则 的最小值是（ ）A B C D 12. 若函数 有一个极值点为 ，且 ，则关于 的方程的不同实数根个数不可能为（ ）A2 B. 3 C4 D5 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.13. 向量 的夹角为 ，且 则

4、 _ba,601|2|ba(2)ab14. 定积分 _.15.如图， 是直线 上的三点， 是直线 外一点，已知,ABClPl， ， 则1290 4tan3AB- 3 -=_.PAC16.若关于 的方程 存在三个不等实根，则实数 的取值范围是_.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 10 分）已知函数 的定义域为 .（1）求实数 的取值范围；（2）若实数 的最大值为 ，正数 满足 ，求 的最小值.,ab823nab32ab18.（本小题满分 12 分）在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边， 51cos5ABC

5、，（1）若 ，求ABC 的面积 SABC ；4BC（2）若 是边 中点，且 ， 求边 的长DA27D19.（本小题满分 12 分）- 4 -已知数列 的前 项和 满足 ，且 成等差数列.nanS12na23,a（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .12nbSnbnT20. （本 小题满分 12 分）已知 ，若sincos,3,mxx cosin,2sinxx(0)，且 的图象相邻的对称轴间的距离不小于 .fxf （1）求 的取值范围.（2）若当 取最大值时， ，且在 中， 分别是角 的对1fABC,abc,ABC边，其面积 ，求 周长的最小值.3ABCS- 5 -21.

6、（本小题满分 12 分）已知动点 到定直线 的距离比到定点 的距离大 .P:2lx1,02F32（1）求动点 的轨迹 的方程；C（2）过点 的直线交轨迹 于 ， 两点，直线 ， 分别交直线 于点2,0DABOABl， ，证明以 为直径的圆被 轴截得的弦长为定值，并求出此定值. MNx22. （本小题满分 12 分）函数 2ln1.(fxax为 常 数 ）(1)讨论函数 的单凋性；f(2)若存在 使得对任意的 不等式0,x2,0（其中 e 为自然对数的底数）都成立，求实数 的取值范22(1)(4amefa m围- 6 -南昌二中 2019 届高三第三次考试数学（理）试卷参考答案DBDAC CBB

7、DD AA 6 4-32-171(,)e1. 复数 满足 （ 为虚数单位） ，则复数 的虚部为（ ）A B C D 【解】 ，复数 z 的虚部为 . 本题选择 D 选项.2.函数 的定义域为 , 的定义域为 ,则 ( )A. B. C. D. 2,1(2,6)【解】 选择 B3. 等差数列 中 ，则 （ ）na291242078aa9314aA8 B 6 C 4 D 3 【解】D4. 函数 的图象如图所示，为了得到sin(0,)2fx的图象，则只将 的图象（ ）co3gfxA 向左平移 个单位 B 向右平移 个单位44C 向左平移 个单位 D 向右平移 个单位 【答】A1212【解析】 7,;

8、3T323kZkZ ,所以将 的图象向左sin2cos2cos234fxxxfx- 7 -平移 个单位得到 ，选 A4cos23gx5已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则（ ）A B 0 C 2 D 50【答案】C【解析】f（x）是奇函数，且 f（1x）=f（1+x） ，f（1x）=f（1+x）=f（x1） ，f（0）=0，则 f（x+2）=f（x） ，则 f（x+4）=f（x+2）=f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=

9、2+02+0=0，则=504f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（2017）+ f（2018）=f（1）+f（2）=2+0=2，6. 数列 的前 项和为 ，对任意正整数 ， ，则下列关于 的论断中nanSn3naSna正确的是（ ）A 一定是等差数列 B 一定是等比数列C 可能是等差数列，但不会是等比数列 D 可能是等比数列，但不会是等差数列【答】C【解】 an+1=3Sn， Sn+1Sn=3Sn， Sn+1=4Sn，若 S1=0， 则数列 an为等差数列；若 S10，则数列 Sn为首项为 S1，公比为 4 的等比数列， Sn=S14n1，此时 an=SnSn 1=3S14n2(n2)，

10、即数列从第二项起，后面的项组成等比数列。综上，数列 an可能为等差数列，但不会为等比数列。7. 曲线 在点 处的切线的斜率为 2，l0,fxbxa1,f则 的最小值是（ ）8abA 10 B 9 C 8 D 【答案】B32【解析】 根据导数的几何意义， ，即2.fx12fabb1.2a= =( ) )= +52 +5=4+5=9，当且仅当8ab1ab(28a8- 8 -即 时，取等号.所以 的最小值是 9.2 8ab13 48ab8. 若实数 满足约束条件 ，目标函数 仅在点 处取得最小,xy1 3xy2zaxy10，值，则实数 的取值范围是（ ）aA B C D 【答案】B-62， -62，

11、 -1， -31，【解】 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，将 ，化成 ，2zaxy2azx当 时， 仅在点 处取得最小值，132a2azyx,0即目标函数 仅在 处取得最小值，解得 ，故选 B.zx1,069设向量 满足 , ,则 的最大值等于( )cba,13,2cbabA. B.1 C. 4 D.214【答】D【解】设 因为 ， ，所以 四点共圆,因为 ，所以 ，由正弦定理知 ，即过四点的圆的直径为 2，所以| |的最大值等于直径 210. 设函数 ，若方程 恰好有三个根，分别为sin4fx90,8xfxa，则 的值为（ ）123,x123()123A B C D 474【答】D-

12、 9 -【解】 由 ，则 ， 画出函数的大致图象，如图所示，90,8x52,42x得当 时方程 恰有三个根，由 得 ；由21afa42x8x得 ，由图可知， 与点 关于直线 对称；34x58x1,0,点 和点 关于 对称， 所以 ，2,03, 22354xx所以 ，故选 D121237xx11. 函数 ， ，若 成立，则的最小值是（ ）A B C D 【答案】A【解】设 ，则 ， ， ， ，令 ，则 ， ， 是 上的增函数，又 ，当 时， ，当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增， 是极小值也是最小值， 的最小值是 故选 A12. 若函数 有一个极值点为 ，且 ，则关于 的方程 的不同

13、实数根个数不可能为（ ）A B C D 【答案】A【解】由 ，由题意 有两个不等实根，不妨设为 ，因此方程 有两个不等实根 ，即 或 ，由于 是 的一个极值，因此 有两个根，而 有 1 或 2 或 3 个根（无论 是极大值点还是极小值点都一样，不清楚的可以画出 的草图进行观察） ，所以方程 的根的个数是 3 或 4 或 5，不可能是 2- 10 -13.已知向量 的夹角为 ，且 则 _ba,60,1|,2|ba(2)ab【解】614. 定积分 _ 【答案】【解】 ，故15. 如图， 是直线 上的三点， 是直线 外一点，已知 ， ,ABClPl12ABC， 则 =_90P4tan3AC【答案】

14、3217【解析】设 ， ，则由PBC434tan,cos,sin355APBAPB可得 2A 12isicsini， ， ，且 2 222148osccos ，解得 5sin186cos， 26in7则 5sincos904PACAPCAPB23sii1B16.若关于 的方程 存在三个不等实根，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】原方程可化为 ，令 ，则 设 ，则 得，当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减故当 时，函数有极大值 ，也为最大值，且- 11 -可得函数 的图象如下：关于 的方程 存在三个不等实根，方程 有两个根，且一正一负，且正根在区间 内令 ，则有 ，解得 实数

15、的取值范围是17. 已知函数 的定义域为 .（1）求实数 的取值范围；（2）若实数 的最大值为 ，正数 满足 ，求 的最小值.【解】 （1）由 在 上恒成立，即 恒成立（当且仅当 时等号成立）（2）由（1）知 ，即 ，当且仅当的最小值是 18.在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，51os5ABC（1）若 ，求ABC 的面积 SABC ；4（2）若 是边 中点，且 ，求边 的长D27DBC【答案】 （1） ；（2）4.6【解】 （1） ， ，又 ，51cos5AB， 4(0,)A所以 ，621sin2CCB CDAB CDA E- 12 - 64521sin21 ABCBS

16、AC（2）以 BA，BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE，如图，则 ，BE2BD7，CEAB5，51coscosABCE在BCE 中，由余弦定理： BCEEcos22即 ，解得：CB4 )51(2549C19. 已知数列 的前 项和 满足 ，且 成等差数列.nanS12na23,a（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答】 （1） （2）12nbSnbnTna14n【解】 （1） ，所以 ，即 （ ） ，即数列na12nnaS1n是以 2 为公比的 等比数列，又 成等差数列，所以 ，即na123,321a，解得 ，所以数列 的通项公式为 .114nan（2）由（

17、1）得 ，1nS所以 12124n nnnb，1142nn223 111242n nnnT 20. 已知 ，若sincos,mxx cosi,sixx(0)，且 的图象相邻的对称轴间的距离不小于 .fxf 2（1）求 的取值范围.（2）若当 取最大值时， ，且在 中， 分别是角 的对边，1fABC,abc,ABC- 13 -其面积 ，求 周长的最小值.【答案】 （1） （2）63ABCSA01【解】 （1） sincossin3cosinfxmxxx22(cosin)23i()6www又由条件知 ，所以 . 01（2）当 取 最大值 1 时， ，又 ，2sin16fA132,6A所以 ，故 .

18、在 中， ， 56A3BCsin4ABCSbcc又由余弦定理有： 4bc22cosab周长24426ac b当且仅当 时取得等号.所以， 周长的最小值为 .ABC621. 已知动点 到定直线 的距离比到定点 的距离大 .P:2lx1,02F32（1）求动点 的轨迹 的方程；C（2）过点 的直线交轨迹 于 ， 两点，直线 ， 分别交直线 于点 ，2,0DABOABlM，证明以 为直径的圆被 轴截得的弦长为定值，并求出此定值.【答案】 （I）NMx；（II）详见解析.2yx【解】 （）设点 的坐标为 ，因为定点 在定直线 ： 的右侧，且动P,xy1,02Fl2x点 到定直线 ： 的距离比到定点 的

19、距离大 ，l2,3所以 且 得 ，即 ，2x213xyx 211xyx2yx轨迹 的方程为 C- 14 -（）设 ， （ ） ，则 ， 21,At 2,Bt120t211,DAtt， ， ， 三点共线， ，22DBD12t ，又 ， ，10tt12t12t直线 的方程为 ，令 ，得 同理可得 OA1yxt1,Mt2,Mt所以以 为直径的圆的方程为 ，MN1220xytt即 将 代入上式得212140txyyt12t，令 ，即 或 ，212ty0x4故以 为直径的圆被 轴截得的弦长为定值 4MNx22. 函数 2ln1.(fa为 常 数 ）(1)讨论函数 的单凋性；x(2)若存在 使得对任意的

20、不等式0,12,0（其中 e 为自然对数的底数）都成立，求实数 的取值22m4aefxa m范围【解析】 （I） ，记 211 xafx(0)x21gxax（i）当 时 ，所以 ，函数 在 上单调递增； 0a0gf,（ii）当 时，因为 ，224aA所以 ，函数 在 上单调递增；gxfx,- 15 -（iii）当 时，由 ，解得 ，2a0xg22,aax所以函数 在区间 上单调递减，fx22,a在区间 上单调递增220,a（II）由（I）知当 时，函数 在区间 上单调递增，,0fx0,1所以当 时，函数 的最大值是 ，对任意的 ，0,1xfx2a2,0都存在 ，使得不等式 成立，0214amefx等价于对任意的 ，不等式 都成立， ,a2max即对任意的 ，不等式 都成立，02ae记 ，由 ，2214ahme01h， 2a aee由 得 或 ,因为 ，所以 ，0alnm,20当 时， ，且 时， ，21mel0lnamha时， ，所以 ，ln,hai llnh所以 时， 恒成立；20a当 时， ，因为 ，所以 ，me2 1ae2,0a0ha此时 单调递增，且 ，h48h所以 时， 成立；2,0a20a当 时， ， ，meme20hm所以存在 使得 ，因此 不恒成立0,0ha综上， 的取值范围是 21,