广东省深圳市2018年中考数学专题专练二次函数综合专题.docx

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1、1二次函数综合专题1.如图，直线 y5x5 交 x轴于点 A，交 y轴于点 C，过 A，C 两点的二次函数 yax 24xc 的图象交 x轴于另一点 B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接 BC，点 N是线段 BC上的动点，作 NDx 轴交二次函数的图象于点 D，求线段 ND长度的最大值；(3)若点 H为二次函数 yax 24xc 图象的顶点，点 M(4，m)是该二次函数图象上一点，在 x轴，y 轴上分别找点 F，E，使四边形 HEFM的周长最小，求出点 F，E 的坐标温馨提示：在直角坐标系中，若点 P，Q 的坐标分别为 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，当 PQ平行 x轴时，线段

2、PQ的长度可由公式 PQ|x 1x 2|求出；当 PQ平行 y轴时，线段 PQ的长度可由公式 PQ|y 1y 2|求出2.如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 yx 2 与 y轴相交于点 A，点 B与点 O关于点 A对称14(1)填空，点 B的坐标是_；(2)过点 B的直线 ykxb(其中 k0)与 x轴相交于点 C，过点 C作直线 l平行于 y轴，P 是直线 l上一点，且 PBPC.求线段 PB的长(用含 k的式子表示)，并判断点 P是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点 C关于直线 BP的对称点 C恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点 P的坐标3.已知抛物线 yax 2

3、bx3 经过(1，0)，(3，0)两点，与 y轴交于点 C，直线 ykx 与抛物线交于 A，B 两点(1)写出点 C的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点 O为线段 AB的中点时，求 k的值及 A，B 两点的坐标；(3)是否存在实数 k使得ABC 的面积为 ？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由310224.如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 yx 与二次函数 yx 2bx 的图象相交于 O、A 两点，点 A(3，3)，点 M为抛物线的顶点(1)求二次函数的表达式；(2)长度为 2 的线段 PQ在线段 OA(不包括端点)上滑动，分别过点 P、Q 作 x轴的垂线交抛物线于点 P

4、1、Q 1，2求四边形 PQQ1P1面积的最大值；(3)直线 OA上是否存在点 E，使得点 E关于直线 MA的对称点 F满足 SAOF S AOM ？若存在，求出点 E的坐标；若不存在，请说明理由5.如图，抛物线 yax 2bx3(a0)的顶点为 E，该抛物线与 x轴交于 A,B两点，与 y轴交于点 C，且BOOC3AO，直线 y x1 与 y轴交于点 D.13(1)求抛物线的解析式；(2)证明：DBOEBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的 P点坐标；若不存在，请说明理由36.如图，抛物线 L：yax 2bxc 与 x轴交于 A，B

5、(3，0)两点(A 在 B的左侧)，与 y轴交于点 C(0，3)，已知对称轴 x1.(1)求抛物线 L的解析式；(2)将抛物线 L向下平移 h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC 内(包括OBC 的边界)，求 h的取值范围；(3)设点 P是抛物线 L上任一点，点 Q在直线 l：x3 上，PBQ 能否成为以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点 P的坐标；若不能，请说明理由图(1)图(2)7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax 2bxc 的图象经过点 A(1，0)、B(0， )、C(2，0)，其对3称轴与 x轴交于点 D.(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

6、4(2)若 P为 y轴上的一个动点，连接 PD，则 PBPD 的最小值为_；12(3)M(s，t)为抛物线对称轴上的一个动点若平面内存在点 N，使得以 A,B,M,N为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N共有_个；连接 MA,MB，若AMB 不小于 60，求 t的取值范围8.如图，抛物线与 x轴交于点 A(5，0)和点 B(3，0)，与 y轴交于点 C(0，5)有一宽度为 1，长度足够的矩形(阴影部分)沿 x轴方向平移，与 y轴平行的一组对边交抛物线于点 P和 Q，交直线 AC于点 M和 N，交 x轴于点 E和 F.(1)求抛物线解析式(2)当点 M和 N都在线段 AC上时，连接 MF，如果 s

7、inAMF ，求点 Q的坐标1010(3)在矩形的平移过程中，当以点 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 M的坐标9.如图，已知抛物线 y x2bxc 经过ABC 的三个顶点，其中点 A(0，1)，点 B(9，10)，ACx 轴，点 P是13直线 AC下方抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)过点 P且与 y轴平行的直线 l与直线 AB、AC 分别交于点 E、F，当四边形 AECP的面积最大时，求点 P的坐标；(3)当点 P为抛物线的顶点时，在直线 AC上是否存在点 Q，使得以 C,P,Q为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由510.

8、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax 2bx8 与 x轴交于 A，B 两点，与 y轴交于点 C，直线 l经过坐标原点 O，与抛物线的一个交点为 D，与抛物线的对称轴交于点 E，连接 CE，已知点 A，D 的坐标分别为(2，0)，(6，8)(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点 B和点 E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点 F，使FOEFCE，若存在，请直接写出点 F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点 P是 y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线 PB与直线 l交于点 Q.试探究：当 m为何值时，OPQ 是等腰三角形6参考答案1. 解：(1)直线 y5x5 与 x

9、轴交于点 A，与 y轴交于点 C，A(1，0)，C(0，5)抛物线 yax 24xc过点 A(1，0)，C(0，5)，则 解得 c5，a1，二次函数的表达式为 yx 24x5.,5,04ca图图(2)如图，抛物线 yx 24x5 与 x轴交于 A，B 两点，解x 24x50 的两根为 x11，x 25.点 B在 x轴正半轴，B(5，0)设过 B(5，0), C(0，5)的直线 BC解析式为 ykxb，则 ,50bk解得 k1，b5，直线 BC表达式为 yx5.DNx 轴，DNy 轴点 N在 BC上，点 D在抛物线上，设 N(x，y 1)，D(x，y 2)，N(x，x5)，D(x，x 24x5)

10、DNx 24x5(x5)x 25x(x )2 .当 x 时，DN 有最大值 ；(3)如图，作点 H关于 y轴的对称点 H，点 M关于 x52 254 52 254轴的对称点 M，连接 HM，分别交 x轴，y 轴于点 F,E，则四边形 HEFM的最小周长为7HMHEEFFMHMHM.yx 24x5(x2) 29，H(2，9)，H(2，9)，当 x4 时，y5，M(4，5)，M(4，5)设直线 HM的解析式为 ykxb，则 解得 ,5492bk317bk直线 HM的解析式为 y x .当 y0 时，x ，F( ，0)；当 x0 时，y ，E(0， )73 133 137 137 133 1332.

11、 解：(1)由 yx 2 得：A(0， )B,O 关于 A对称，B(0， )(2)如图，直线 BC过点 B(0， )，14 14 12 12图图直线 BC解析式为 ykx .C( ，0)，又P 是直线 l上一点，可设 P( ，a)过点 P作 PNy 轴，12 12k 12k垂足为 N，连接 PB，则在 RtPNB 中，由勾股定理得：PB 2PN 2NB 2，PBPCa，a 2( )2(a )2，12k 12解得 a ，P 点坐标为( ， )，当 x 时，y ，点 P在抛物线上14k2 14 12k 14k2 14 12k 14k2 14(3)如图，由 C在 y轴上，可知CBPCBP，PBPC，

12、CBPPCB，PCCB，PCBABC，CBPCBPABC60，PBC 为等边三角形，OB ，BC1，OC ，PC1，P( ，1)12 32 323. 解：(1)令 x0，得 yax 2bx33，C(0，3)，把(1，0)和(3，0)代入 yax 2bx3 中，得解得 ,抛物线的解析式为 yx 22x3.(2)A( ，2 )，B( ，2 )(3)不存在实,9baba 3 3 3 3数 k使得ABC 的面积为 .31024. 解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数 yx 2bx 图象上，将 x3，y3 代入得 93b3，解得 b2，二次函数表达式为 yx 22x.(2)如图所示，过点 P作 P

13、BQQ 1于点 B，图PQ2 ，且在直线 yx 上，PBQB2 ，设 P(a，a)，则 Q(a2，a2)，则 P1(a，a 22a)，28Q1(a2，(a2) 22(a2)，即 Q1(a2，a 22a)，所以四边形 PQQ1P1的面积为：S22a 22a22(a )2 ，当 Q运动到点 A时，（ a a2 2a） （ a 2 a2 2a）2 12 52OPOQPQ ，a1.a 的取值范围为 0a1.当 a 时，四边形 PQQ1P1的面积最大，最大值为 . (3)存212 52在，点 E的坐标为 E1( ， )，E 2( ， )，如图所示，连接 OM，点 M为抛物线顶点，M(1，1)，又OA43

14、 43 143 143所在直线为 yx，OMOA，即AOM90，在AOF 和AOM 中，以 OA为底，当面积相等时，则两三角形 OA边上的高相等，又OMOA，且 OM ，可作两条与 OA互相平行且距离为 的直线，2 2如图所示，在直线 HD、MC 上的点 F均满足 SAOF S AOM ，只需满足 E点的对称点 F在这两条直线上即可，如图，过点 A作 ACMC 于点 C，易求四边形 OACM为矩形，AM 为该矩形的一条对角线，取 AM中点 O，过 O作AM垂线，交 OA于点 E1，交 MC于点 F1，OA3 ，AM 2 ，2 OA2 OM2 5AO ，则AOE 1AOM， ， ，5AOAO A

15、E1AM AO OE1AM 532 32 OE125图解得 OE1 ，点 E1在 yx 上，E 1( ， )，同理可得 HF2GE 2 ，又423 43 43 423OG2OA6 ，OE 26 ， E2( ， )综上所述，符合条件的 E点的坐标为：E 1( ， )、 2 2423 1423 143 143 43 43E2( ， )(143 1435. (1)解：当 x0 时，yax 2bx33，C(0，3)，即OC3，OBOC3OA，OB3，OA1，A(1，0)，B(3，0)，将点 A(1，0)，点 B(3，0)代入yax 2bx3 得 解得 a=1，b=-2,抛物线的解析式为 yx 22x3

16、.(2)证明：由,039bayx 22x3(x1) 24 可得 E(1，4)，当 x0 时，由直线 y x1 得 y1，D(0，1)，即13OD1，BD ，CE ，BE2 ，BC3 ，在ODB 和CEB 中，有OD2 OB2 10 2 5 2 ，DBOEBC. (3)解：存在点 P，使得PBC 是等腰三角形，点 P的坐标分别为：DBEB DOEC BOBC 22P1(1，1)，P 2(1，3 )，P 3(1，3 )，P 4(1， )，P 5(1， )17 17 14 146. 解：(1)把 C(0，3)代入 yax 2bxc，得 c3，把 B(3，0)代入 yax 2bx3，得 9a3b30，

17、又91，a1，b2，抛物线 L的解析式是 yx 22x3.(2)b2a图由 y(x1) 24 得抛物线的顶点 D(1，4)，如解图，过点 D作 y轴的平行线分别交 CB，OB 于点 E,F，则 ，EF2，42h4，即 2h4.(3)能，设 P(x，x 22x3)，如解图，过点 P分别作 x轴、EFOC BFBO直线 l的垂线，图垂足分别是点 M，N，PMBPNQ90，QPB90，BPMQPN，PBPQ，PMBPNQ(AAS)，PMPN.当点 P在 x轴上方时，x 22x3x3，即 x2x0，解得 x10，x 21，P 1(0，3)，P 2(1，4)；当点 P在 x轴下方时，x 22x3(x3)

18、，即 x23x60，解得 x ，P 3( ， )，P 4( ， )，满足条3（ 3） 2 41（ 6）2 3332 3 332 9 332 3 332 9 332件的点 P有四个点，分别是 P1(0，3)，P 2(1，4)，P 3( ， )，P 4( ， )3 332 9 332 3 332 9 3327. 解： (1)设二次函数的表达式为 ya(x1)(x2)，将 B(0， )代入，得 a ，二次函数的表达式为332y (x1)(x2) (x )2 ，顶点的坐标为( ， )(2) ；【解法提示】连接 AB，过点 P作32 32 12 938 12 938 334PHAB，垂足为 H，如图，图

19、OA1，OB ，AB 2，ABO30，PH PB， PBPDPHPD 的值，要使 PBPD 的3 1 312 12 12值最小，只要使 PHPD 的值最小，此时 H,P,D在同一条直线上，且 DHAB，在 RtADH 中，ADH90OAB30，AD1 ，DHAD cos30 ， PBPD 的最小值为 ，12 32 334 12 334(3)5；【解法提示】以点 B为圆心，AB 的长为半径画圆，与对称轴有两个交点，以点 A为圆心，AB 的长为半径10画圆，与对称轴有两个交点，作 AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，共有 5个点使 M,N,A,B构成的四边形为菱形连接 AB，作 AB的垂线，垂足为

20、点 A，交 y轴于点 E，如图，图以 BE的长为直径画圆，与对称轴交于点 M1，点 M2，与 x轴交于点 A，F，BE 为直径，AFBE，ABFB，BFABAF60， 的度数为 120，AM 1BAM 2B 12060.在 RtAB 12AOE中，EAO30，OEAOtan30 ，BEOEOB ，圆心 N(0， )，半径 NE33 33 3 433 33， NM 1NM 2 ，设 M( ，t)，NM 2( )2(t )2( )2，t 1 ，t 2 ，233 233 12 12 33 233 396 33 396 33M1( ， )，M 2( ， )故当 t 时，AMB 的度数不小于 60.12

21、 396 33 12 396 33 396 33 396 338. 解：(1)根据题意得，A(5，0)，B(3，0)在 x轴上，设抛物线的解析式为 ya(x5)(x3)抛物线过点(0，5)，a .抛物线的解析式为 y (x5)(x3) x2 x5.(2)如图，过点 F作 FDAC 于点13 13 13 23D，OA5，OC5，CAO45.设 AF的长为 m，则 DF m，MEAEm1.sinAMF ，MF22 DFMF m.在 RtMEF 中，FM 2ME 2EF 2，( m)2(m1) 21 2，DFsin AMF 1022m10 5 5解得 m11，m 2 (不符合题意，舍去)AF1，点

22、Q的横坐标为4.又点 Q在抛物线 y x2 x512 13 23上，Q(4， )(3)设直线 AC的解析式为 ykxn(k0)，由题意得，解得，直线 AC的解析式为 yx5.73由题知，点 Q，N，F 及点 P，M，E 的横坐标分别相同设 F(t，0)，E(t1，0)，点 M，N 均在直线 yx5 上，N(t，t5)，M(t1，t6)，点 P，Q 在抛物线 y x2 x5 上，Q(t， t2 t5)，13 23 13 23P(t1， t2 t4)，在矩形平移过程中，以 P、Q、N、M 为顶点的平行四边形有两种情况：点 Q、P 在直线13 43AC的同侧时，QNPM.( t2 t5)(t5)(

23、t2 t4)(t6)，解得 t3.M(2，3)点13 23 13 43Q，P 在直线 AC的异侧时，QNMP.( t2 t5)(t5)(t6)( t2 t4)，解得13 23 13 4311t13 ，t 23 ，M(2 ，3 )或(2 ，3 )符合条件的点 M是(2，3)，(26 6 6 6 6 6， 3 )或(2 ，3 )6 6 6 69. 解：(1)把点 A(0，1)，B(9，10)代入 y x2bxc，得 解得,c=1，13 ,10931,2cbc抛物线的解析式是 y x22x1.(2)当 m 时，四边形 AECP面积的最大值是 ，此时点 P的坐标是(13 92 814， )92 54(

24、3)存在由 y x22x1 (x3) 22，得顶点 P的坐标是(3，2)，此时13 13PFy Fy P3，CFx Fx C3，则在 RtCFP 中，PFCF，PCF45，同理可求EAF45，PCFEAF，在直线 AC上存在满足条件的点 Q，如解图，CPQ 1ABC 或CQ 2PABC.A(0，1)，B(9，10)，C(6，1)，PFCF3，AB9 ，AC6，CP3 ，当CPQ 1ABC 时，设 Q1(t1，1)，由2 2 得 ，解得 t14.即 Q1(4，1); 当CQ 2PABC 时，设 Q2(t2，1)，由 ,得CQ1AC CPAB t1 66 3292 CQ2AB CPAC ，解得 t

25、23，即 Q2(3，1)综上所述，满足条件的点 Q有两个，坐标分别是 Q1(4，1)或t2 692 326Q2(3，1)10. 解：(1)抛物线 yax 2bx8 经过点 A(2，0)，D(6，8)，将 A,D两点的坐标代入，得解得 ，抛物线的函数表达式为 y x23x8.y x23x8 (x3) 2 ，,86304ba321ba12 12 12 252抛物线的对称轴为直线 x3，又抛物线与 x轴交于 A，B 两点，点 A的坐标为(2，0)，点 B的坐标为(8，0)，设直线 l的函数表达式为 ykx，点 D(6，8)在直线 l上，代入得 6k8，解得 k ，直线 l的函数表43达式为 y x.

26、点 E为直线 l和抛物线对称轴的交点，点 E的横坐标为 3，纵坐标为 34，即点 E的43 43坐标为(3，4)(2)抛物线上存在点 F，使FOEFCE.点 F的坐标为(3 ，4)，(3 ，4)(3)需17 17分两种情况进行讨论：当 OPOQ 时，OPQ 是等腰三角形，12图点 E的坐标为(3，4)，OE 5，如图，过点 E作直线 MEPB，交 y轴于点 M，交 x轴于32 （ 4） 2点 H，则 ，OMOE5，点 M的坐标为(0，5)，设直线 ME的函数表达式为 yk 1x5，将点 E(3，4)代OMOP OEOQ入得 3k154，解得 k1 ，直线 ME的函数表达式为 y x5，令 y0

27、，得 x50，解得 x15，点13 13 13H的坐标为(15，0)又 ， ，m ；OPOM OBOH m5 815 83图当 QOQP 时，OPQ 是等腰三角形，延长 CE，交 x轴于点 N，如图，当 x0 时，y x23x88，点12C的坐标为(0，8)，CE 5，又32 （ 8 4） 2OE 5，OECE，12，QOQP，13，23，CEPB， ，设直32 42OCOP OEOQ线 CE的解析式为 yk 2x8，代入点(3，4)，得 3k284，k 2 ，直线 CE的解析式为 y x8.令43 43y0，则 x80，解得 x6，点 N的坐标为(6，0)，又 ， ，解得 m .综上所述，当 m的43 OCOP ONOB 8 m 68 323值为 或 时，OPQ 是等腰三角形83 32313