[考研类试卷]考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编8及答案与解析.doc

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1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2005 年) 设函数 yy()由参数方程 确定，则曲线 yy()在 3处的法线与 轴交点的横坐标是 【 】（A） ln23（B） ln23（C） 8ln23（D）8ln232 (2006 年) 设函数 yf()具有二阶导数，且 f()0，f()0， 为自变量 在点 0 处的增量， y 与 dy 分别为 f()在点 0 处对应的增量与微分，若 0，则 【 】（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy03 (2006 年) 设函数 g()可微，h()

2、 e 1+g()，h(1)1，g(1)2，则 g(1)等于 【 】（A）ln31（B） ln31（C） ln21（D）ln214 (2007 年) 设函数 f()在 0 处连续，下列命题错误的是 【 】（A）若 存在，则 f(0)0（B） 存在，则 f(0)0（C）若 存在，则 f(0)存在（D）若 存在，则 f(0)存在5 (2007 年) 曲线 y ln(1e )渐近线的条数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）36 (2007 年) 设函数 f()在(0，)上具有二阶导数，且 f()0，令 unf(n)(n1， 2，)，则下列结论正确的是 【 】（A）若 u1u 2，则u n必收敛

3、（B）若 u1u 2，则u n必发散（C）若 u1u 2，则u n必收敛（D）若 u1u 2，则u n必发散7 (2008 年) 设函数 f() 2(1)(2)，则 f()的零点个数 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）38 (2009 年) 若 f()不变号，且曲线 yf()在点(1，1)处的曲率圆为 2y 22，则函数 f()在区间 (1，2)内 【 】（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点9 (2010 年) 曲线 y 2 与曲线 yaln(a0) 相切，则 a 【 】（A）4e（B） 3e（C） 2e（D）e10 (2011 年)

4、设函数 f()在 0 处可导，且 f(0)0，则 【 】（A）2f(0)（B） f(0)（C） f(0)（D）0二、填空题11 (2007 年) 设函数 y ，则 y(n)(0)_12 (2008 年)曲线 sin(y)ln(y) 在点(0 ，1)处的切线方程是_13 (2008 年) 曲线 y( 5) 的拐点坐标为_14 (2009 年) 设 yy()是由方程 ye y 1 确定的隐函数，则_15 (2009 年) 曲线 在点(0，0) 处的切线方程为_16 (2009 年) 函数 y 2在区间(0，1 上的最小值为_17 (2010 年) 曲线 y 的渐近线方程为_18 (2010 年)

5、函数 yln(1 2)在 0 处的 n 阶导数 y(n)(0)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 (2000 年) 求函数 f() 2ln(1) 在 0 处的 n 阶导数 f(n)(0)(n3)20 (2000 年)已知 f()是周期为 5 的连续函数它在 0 某个邻域内满足关系式f(1sin)3f(1sin)8()其中 ()是当 0 时比 高阶的无穷小，且 f()在 1 处可导，求曲线 yf()在点(6 ，f(6) 处的切线方程21 (2002 年) 已知曲线的极坐标方程是 r1cos ，求该曲线上对应于 0 处的切线与法线的直角坐标方程22 (2002 年) 已知函数

6、 f()在(0，)上可导，f() 0， f()1，且满足求 f()23 (2002 年) 设 0a b，证明不等式24 (2002 年) 设函数 f()在 0 的某邻域内具有二阶连续导数，且 f(0)0，f(0)0，f(0)0证明：存在惟一的一组实数 1， 2， 3，使得当 h0 时， 1f(h) 2f(2h) 3f(3h)f(0)是比 h2 高阶的无穷小25 (2003 年) 设函数 问 a 为何值时，f()在 0 处连续； a 为何值时， 0 是 f()的可去间断点?26 (2003 年) 讨论曲线 y4ln k 与 y4ln 4 的交点个数27 (2004 年) 设函数 f()在(，)

7、上有定义，在区间 0，2上，f()( 24)，若对任意的 都满足 f()kf( 2)，其中 k 为常数 ()写出 f()在2，0上的表达式； () 问 k 为何值时，f()在 0 处可导28 (2004 年) 设 eabe 2，证明 ln2bln 2a (ba) 29 (2005 年)已知函数 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)0，f(1)1证明：()存在 (0，1) ，使得 f()1 ；()存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()130 (2006 年) 试确定常数 A，B，C 的值，使得 e(1BC 2)1Ao( 3)其中o(3)是当 0 时比 3 高阶的无穷

8、小考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 知，3 时 t1，yln2 因为则曲线 yy()在 3 处的法线方程为 yln28(3) 今 y0，得 3 ln2【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 dyf( 0) yf( 0) f( 0)f()，( 0 0) 由于 f ()0，则 f()单调增，从而有 f(0)f()，又 f()0，0，则0dyy，故应选 A【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由 h()e 1+g()知 h(

9、)e 1+g().g() 令 1 得：1e 1+g(1)g.2 则 g(1)ln21【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由 存在及 f()在 0 处的连续性知，f(0)0，从而有f(0)，所以，命题 A 和 C 是正确的； 由存在，且 0 知， f()f()2f(0) 0，则 f(0)0，所以，命题 B 也是正确的 事实上，命题 D 是错误的例如，令 f()，显然 0，但 f() 在 0 处不可导，即 f(0)不存在故应选 D【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 ，则 0 为原曲线的一条垂直渐近线 而 ln10，则 y0 为原曲线的一条水

10、平渐近线则 y1 为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线所以，本题应选 D【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由拉格朗日中值定理知 u 2u 1f(2)f(1)f(c) (1c2) 而u2u 1，则 f(c)0， 由于 f() 0，则 f()单调增，从而有 f(2)f(c)0，由泰勒公式得， f()f(2)f(2)( 2) (2) 2 (0，) 则 f(n)(2)f(2)(n2) (n2) 2f(2)f(2)(n 2) (n2) 由于 f(2)0，则 (f(2)f(2)(n2) ，从而 f(n) ，故u n发散【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】

11、 D【试题解析】 由于 f(0)f(1) f(2)，由罗尔定理知 f()在(0，1)和(1，2)内至少各有一个零点，又 0 是 f()的二重零点，则 0 是 f()的一个零点，即 f()至少有 3 个零点，又 f()是一个 3 次多项式，最多 3 个零点，故应选 D【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由题设条件知曲线 yf()是凸的，且 f()0，曲率半径为而 y(1)f(1)1，则 y(1) f(1)2 由于 f() 0，则 f()在1，2上单调减，从而 f()f(1)0，从而函数f()在1，2 上单调减，故该函数没有极值点 又 f(1)10，f(2)f(1)f()

12、(21)f()1 则 f(2)1f(1)0，即 f(2)0，所以，函数 f()在(1，2)内有唯一零点，故应选 B【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 由于曲线 y 2 与曲线 yaln 相切，则 由(2)式得 2 ，代入(1) 式得 a 22e【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 y (23) -1；y(1)(2 3)-2.2；y( 1).(2)(23) -3.22 则 y(n)(1) nn!(23) -(n+1).2n；y n(0)(1) nn!3-(n+1).2n【知

13、识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 y 1【试题解析】 由 sin(y)ln(y) 知 sin(y)(yy) 1 在上式中令0，y1，得 y1则该曲线在点(0，1)处的切线方程是 y1【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 (1，6)【试题解析】 y令 y0，得 1，在 1 两侧 y变号，则(1，6)为原曲线的拐点 这里应注意 0 时，y不存在，所以(0，0)也可能是拐点，但在 0 的两侧 y不变号，故(0， 0)不是该曲线的拐点【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 3【试题解析】 等式 ye 1 两端对 求导得 yyye y1 将 0，y0代入上式得 y(0)1 y

14、yye y1 两端对 求导得 yyyye y(y)2ey0，再把 0，y0 及 y(0)1 代入得，y(0)3【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 y2 【试题解析】 由题设知，当 0 时，t1 故过(0，0)点的切线方程为 y02(0) ，即 y2 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【试题解析】 由 y(e 2lin) 2(2ln2)0 得， 当 0， )时，y0，y 2 单调减； 当 ( ，1时，y0，y 2 单调增，则 y 2 在 取最小值，且【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 y2 【试题解析】 显然曲线 y 无水平渐近线和垂直渐近线则原曲线有斜渐近

15、线y2【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 2 n(n1)!【试题解析】 利用 ln(1)的麦克劳林展开式【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由莱不尼兹公式【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 所以 f(1)2 由于 f(5)f()，所以 f(6)f(1) 0，f(6) f(1)2 故所求切线方程为 y2(6) 即 2y120【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由已知条件得 因此 lnf() ，即 lnf() ，解之 f()由 f()1，得 C1 故 f

16、()【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 先证右边不等式故当 a 时，()单调减少，又 (a)0，所以，当 a 时 ()(a)0，即 lnlna 从而，当ba0 时， lnblna 再证左边不等式，令 f()ln (a0) 由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (a，b)，使 由于0ab，故 ，从而有【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 只需证存在惟一的一组实数 1， 2， 3，使由题设和洛必达法则，从知 1， 2， 3 应满足方程组因为系数行列式 所以上述方程组的解存在且惟一，即存在惟一的一组实数 1， 2， 3，使得当 h0 时， 1f(h) 2f(2h) 3f(3h)f

17、(0)是比 h2 高阶的无穷小【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令f()，有6a2a 24，得 a1 或 a2；当 a1 时，6f(0)，即 f()在 0 处连续当 a2 时 f()12f(0)，因而 0是 f()的可去间断点【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 ()ln 44 4lnk 则 () 显然 (1)0 当 0 1 时，() 0，() 单调减少； 当 1 时，()0，()单调增加 故 (1)4k 为 ()在(0，)上的最小值所以 当 k4，即 4k0 时，()0 无实根，那两条曲线无交点； 当 k4，即 4k0 时，() 0 有唯一实根，即两条曲线有唯一交

18、点 当 k4，即 4k0 时，由于故 ()0 有两个实根，分别位于(0 ，1) 与 (1，)内，即两条曲线有两个交点【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 () 当20，即 022 时， f()kf(2)k(2)(2) 24 k(2)(4) ()由题设知 f(0)0令 f-(0)f +(0)，得k 即当 k 时，f()在 0 处可导【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 设 ()ln 2 ，则 () 所以当 e 时，()0，故 ()单调减少，从而当 ee 2 时， ()(e 2) ， 即当 e e2 时，()单调增加 因此当 eabe 2 时，(b)(a)，即 ln2b ， 故 ln2ln 2a (ba)【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 () 令 g()f()1，则 g()在0，1上连续，且 g(0)10，g(1) 10 所以存在 (0，1)，使得 g()f() 10 即 f()1 ( )根据拉格朗日中值定理，存在 (0，)，(，1)，使得【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 因为 e1 3o( 3) 将其代入题设等式，整理得【知识模块】 一元函数微分学