[考研类试卷]考研数学一(高等数学)模拟试卷87及答案与解析.doc
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1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 87 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则( )(A)f(x)在点 x=1 处连续,在点 x=-1 处间断。(B) f(x)在点 x=1 处间断,在点 x=-1 处连续。(C) f(x)在点 x=1,x=-1 处都连续。(D)f(x)在点 x=1,x=-1 处都间断。2 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续,在 x=0 处可导,且 f(0)=0。则 (x)在 x=0 处( )(A)不连续。(B)连续但不可导。(C)可导但 (x)在 x=0 处不连续。(D)可导且 (x)在 x=0 处连续。3 设在闭区
2、间0,4 上 y=f(x)的导函数的图形如图 1-2-1 所示,则 f(x)( )(A)在0 ,2 单调上升且为凸的,在 2,4 单调下降且为凹的。(B)在 0,1,3 ,4单调下降,在1 ,3单调上升,在 0,2 是凹的,2,4是凸的。(C)在 0,1,3 ,4单调下降,在1 ,3单调上升,在 0,2 是凸的,2,4是凹的。(D)在0 ,2 单调上升且为凹的,在 2,4 单调下降且为凸的。4 曲线 ( )(A)既有垂直又有水平与斜渐近线。(B)仅有垂直渐近线。(C)只有垂直与水平渐近线。(D)只有垂直与斜渐近线。5 函数 f(x,y ,z)=x 2y3+3y2z3 在点(0,1,1)处方向导
3、数的最大值为( )(A)(B)(C) 117。(D)107。6 设 g(x)有连续的导数, g(0)=0,g(0)=a0,f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续,则=( )7 设 pn= ,n=1 ,2,则下列命题正确的是( )8 方程 y-3y+2y=ex+1+exeos2x 的特解形式为( )(A)y=axe x+b+Aexcos2x。(B) y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。(C) y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。(D)y=axe x+b+ex(Aeos2x+Bsin2x)。二、填空题9 数列 =_。10 已知 y=x2sin2x,则 y(50
4、)=_。11 =_。12 抛物线 y2=2px,从原点到这条曲线上的一点 M(x,y)的弧长 s=_。13 设函数 u(x,y,z)= =_。14 设函数 f(u)可微,且 f(2)=2,则 z=f(x2+y2)在点 (1,1) 处的全微分 dz (1,1)=_。15 将 化为极坐标下的二次积分为_。16 设为锥面 z= 介于 z=0 和 z=1 之间的部分,则 (x2+y2+z2)dS=_。17 幂级数 n(x-1)n 的和函数为_。18 微分方程 yy+y2=0 满足初始条件 y(0)=1,y(0)= 的通解为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 f(x)为-a,
5、a上的连续偶函数,且 f(x)0,令 F(x)= ()证明 F(x)单调增加;( )当 x 取何值时,F(x) 取最小值;()当 F(x)的最小值为 f(a)-a2-1 时,求函数 f(x)。20 设 f(x)在0,1上具有二阶导数,且满足条件f(x) a ,f(x) b ,其中a,b 都是非负常数, c 是 (0,1)内任意一点。证明 f(c)2a+21 过坐标原点作曲线 y=ex 的切线,该切线与曲线 y=ex 以及 x 轴围成的向 x 轴负向无限伸展的平面图形,记为 D。 ()求 D 的面积 A; ()求 D 绕直线 x=1 旋转一周所成的旋转体的体积 V。22 设 z=z(x,y)有二
6、阶连续偏导数,且满足 ,若有 z(x,2x)=x,z 1(x,2x)=z x(x,y) y=2x=x2,求 z11(x,2x)与 z12(x,2x)。23 计算二重积分 ,其中 D=(x,y)0x1,0y1。24 计算曲面积分 (2x+z)d)dydz+zdxdy,其中为有向曲面 z=x2+y2(0z1),其法向量与 z 轴正向的夹角为锐角。25 设数列a n满足条件: a0=3,a 1=1,a n-2-n(n-1)an=0(n2)。S(x)是幂级数 的和函数。()证明 S(x)-S(x)=0;()求 S(x)的表达式。26 设 f(u,v)具有连续偏导数,且 fu(u,v)+f v(u,v)
7、=sin(u+v)e u+v,求 y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。考研数学一(高等数学)模拟试卷 87 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以 f(x)在x=1 处间断。 所以f(x)在 x=-1 处连续。故选 B。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 因为所以(x)在 x=0 处连续。故 (x)在 x=0 连续。故选 D。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 当 x(0, 1)或(3,4)时,f(x)0,那么 f(x)在0,1,3,4单调下降。当
8、x(1,3)时 f(x)0,那么 f(x)在1 ,3单调上升。又 f(x)在0,2单调上升,那么 f(x)在0,2是凹的。f(x)在2,4单调下降,那么 f(x)在2,4是凸的。故选 B。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y 的定义域为(-,-3)0,+),且只有间断点 x=-3,又=+,所以 x=-3 是曲线的垂直渐近线。x0 时,因此 是曲线的斜渐近线(x-)。故选 A。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x,y,z)=x 2y3+3y2z3 在点(0,1,1)处方向导数的最大值等于f(x,y,z)在点 (0,1,1)处梯度向量的模
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