[考研类试卷]考研数学一（微分中值定理及其应用）模拟试卷4及答案与解析.doc

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1、考研数学一（微分中值定理及其应用）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且满足 =一 1，则 x=0（A）是 f(x)的驻点，且为极大值点（B）是 f(x)的驻点，且为极小值点（C）是 f(x)的驻点，但不是极值点（D）不是 f(x)的驻点1 设 f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个：2 f(x)在 x=0 处三阶可导，且（A）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0

2、)是 f(x)的极大值3 f(x)在 x=0 邻域二阶可导，f(0)=0，且 一 xf(x)=ex 一 1，则下列说法正确的是（A）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)不是曲线 y=f(x)的拐点（B） f(0)是 f(x)的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)是 f(x)的极大值二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 证明函数恒等式 arctanx= x(一 1，1)5 设函数 f(x)，g(x) 在 x=x0 有连续的二阶导数且 f(x0)=g(x0)，f(x 0)=g(x0)，f“(x 0)=g“(x0)0，说明这一事实的几何意义6

3、设 f(x)在(a ，b)内可导，证明： ，x 0(a，b)且 xx0 时，f(x) 在(a ，b)单调减少的充要条件是 f(x 0)+f(x0)(x 一 x0)f(x) (*)7 求函数 的单调区间、极值点及其图形的凹凸区间与拐点8 求曲线 的渐近线方程9 在椭圆 内嵌入有最大面积的四边平行于椭圆轴的矩形，求该矩形最大面积10 在半径为 a 的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?11 设函数 f(x)在区间0， a上单调增加并有连续的导数，且 f(0)=0，f(a)=b，求证： 0af(x)dx+0bg(x)dx=ab, 其中 g(x)是 f(x)的反函数12

4、设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导且满足 f(0)=0，f(x)0，f(x)f(x)( 0)，求证： f(x)013 设 f(x)在(a，b)四次可导， (a，b)使得 f”(x0)=f”(x0)=0，又设 f(4)(x)0(x(a，b) ，求证 f(x)在(a，b)为凹函数14 设 y=y(x)是由方程 2y3 一 2y2+2xy 一 x2=1 确定的，求 y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?15 求函数 y= (x(0，+)的单调区间与极值点，凹凸区间与拐点及渐近线16 设 a0，求 f(x)= 的最值17 求函数 f(x)= (2 一 t)e-tdt 的最值18

5、在椭圆 的第一象限部分上求一点 P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小19 证明：当 x1 时20 当 x0，证明 0x(t 一 t2)sin2ntdt ，其中 n 为自然数21 求证：当 x0 时不等式(1+x)ln 2(1+x)x 2 成立22 设 f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0若 f(x)-f(x)， (0，+)，求证：f(x)0，x(0，+)23 求证：x0，1时， xp+(1 一 x)p1，p1； 1x p+(1 一 x)p 0p124 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且|f(x)|1，又 f(0)=f(1)，证明：对于x1，x 20，1，

6、有|f(x 1)-f(x2)|25 设 f(x)在0，1连续，在 (0，1)可导，f(0)=0，0f(x)1(x(0，1)，求证： 01f(x)dx2 01f3(x)dx26 设 f(x)在(a，b)二阶可导， x1，x 2(a，b)，x 1x2， (0，1)，则(I)若 f”(x)0( (a，b) ，有 ftx1+(1 一 t)x2tf(x 1)+(1 一 t)f(x2)， (46)()若 f”(x)0( (a，b) ，有 ftx 1+(1 一t)x2tf(x 1)+(1 一 t)f(x2)， (47)27 设 f(x)在a，b上可导，且 f+(a)与 f-(b)反号，证明：存在 (a，b)

7、使得 f()=028 设 f(x)在a，b上可导，且 f+(a)0，f -(b)0，f(a)f(b)，求证：f(x) 在(a ，b)至少有两个零点29 设 f(x)在(a，b)内可导，且 求证：存在 (a，b)使得f()=030 设 f(x)在0，1三阶可导，且 f(0)=f(1)=0设 F(x)=x2f(x)，求证：在(0，1)内存在 c，使得 F“(c)=031 设 a，b， c 为实数，求证：曲线 y=ex 与 y=ax2+bx+c 的交点不超过三个32 设 f(x)= (akcoskx+bksinkx)，其中 ak，b k(k=1，2，n)为常数证明：(I)f(x)在0，2)必有两个相

8、异的零点； ()f (m)(x)在0，2)也必有两个相异的零点33 设 f(x)在0，1上连续，且满足 01f(x)dx=0， 01xf(x)dx=0，求证：f(x) 在(0，1)内至少存在两个零点34 设 f(x)在x 1，x 2可导， 0x 1x 2，证明： (x1，x 2)使得35 设 f(x)在0，1二阶可导，且 f(0)=f(1)=0，试证： (0，1)使得36 设 f(x)在(a，b)内可导，且 (a，b)使得 f(x)= 又f(x0)0(x0)， (如图 412) ，求证：f(x)在(a ，b)恰有两个零点37 设 f(x)在a，b连续，在(a，b) 可导，又 ba0，求证: (

9、a，b)使得考研数学一（微分中值定理及其应用）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题应先从 x=0 是否为驻点入手，即求 f(0)是否为 0；若是，再判断是否为极值点 从而 f(0)=0，f(0)=一 10=0 可知 x=0 是 f(x)的驻点再由极限的局部保号性还知，在 x=0 的某去心邻域内 由于 1一 cosx0，故在此邻域内，当 x0 时 f(x)0=f(0)，而当 x0 时 f(x)0=f(0)，可见 x=0 不是极值点，故选(C)【知识模块】 微分中值定理及其应用【知识模块】 微分中值定理及其应用

10、2 【正确答案】 C【知识模块】 微分中值定理及其应用3 【正确答案】 B【知识模块】 微分中值定理及其应用二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 令 f(x)=arctanx， ，要证 f(x)=g(x)当 x(一1，1)时成立，只需证明：1 f(x)，g(x) 在(一 1，1)可导且当 x(一 1，1)时 f(x)=g(x)；2。 (一 1，1)使得 f(x0)=g(x0) 由初等函数的性质知 f(x)与 g(x)都在(一1，1)内可导，计算可得即当 x(一1，1)时 f(x)=g(x)又 f(0)=g(0)=0，因此当 x(一 1，1)时 f(x)=g(x)，

11、即恒等式成立【知识模块】 微分中值定理及其应用5 【正确答案】 曲线 y=f(x)，y=g(x) 在公共点 M0(x0，f(x 0)即(x 0，g(x 0)处相切，在点 M0 的某邻域有相同的凹凸性因 f”(x)，g“(x)在 x0 处连续，f”(x 0)=g”(x0)0(或0) 的某邻域(x 0，x 0+)，当 x(x0 一 ，x 0+)时 f“(x)0，g”(x)0(或f”(x)0，g”(x)0) 又由曲率计算公式知，这两条曲线在点 M0 处有相同的曲率【知识模块】 微分中值定理及其应用6 【正确答案】 充分性：设(*)成立， x1，x 2(a， b)且 x1x 2 f(x2)f(x 1)

12、+f(x1)(x2一 x1)， f(x1)f(x 2)+f(x2)(x1 一 x2) 两式相加 f(x 1)一 f(x2)(x2 一 x1)0 f(x 1)f(x2)，即 f(x)在(a，b)单调减少 必要性：设 f(x)在(a，b)单调减少对于(a，b)且 xx0，由微分中值定理得 f(x)一f(x 0)+f(x0)(x 一 x0)=f()一 f(x0)(x 一 x0)0，其中 在 x 与 x0 之间，即(*)成立【知识模块】 微分中值定理及其应用7 【正确答案】 (I)定义域 x1，间断点 z=1，零点 x=0，且是奇函数()求 y，y”和它们的零点 由 y=0 得驻点 x=0，由 y”=

13、0 得 x=0，由这些点及间断点 x=1 把函数的定义域按自然顺序分成由此可列出函数如下分段变化表，并标明每个区间上函数的单调性、凹凸性及相应的极值点与拐点【知识模块】 微分中值定理及其应用8 【正确答案】 只有间断点 x=0，因 ，故有垂直渐近线 x=0又因此，x+时有斜渐近线 y=x最后， =0+lnl=0，于是x-时有水平渐近线 y=0【知识模块】 微分中值定理及其应用9 【正确答案】 设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为 M(x，y)，则矩形的面积为下面求 S(x)在0，a 上的最大值先求 S(x)： 令 S(x)=0 解得所以 S(x)在0，a 的最大值即内接矩形最大面积为 2ab【知

14、识模块】 微分中值定理及其应用10 【正确答案】 设外切圆锥体的底半径为 r，高为 h见图 48，记ABO=，则于是圆锥体体积为 求 V(r)的最小值点等价于求 f(r)= 的最小值点由于因此，当时圆锥体体积最小【知识模块】 微分中值定理及其应用11 【正确答案】 令 F(a)=0af(x)dx+0f(a)g(x)dx-af(a)，对 a 求导得 F(a)=f(a)+gf(a)f(a)一 af(a)一 f(a)， 由题设 g(x)是 f(x)的反函数知 gf(a)=a，故 F(a)=0，从而 F(a)为常数又 F(0)=0，故 F(a)=0，即原等式成立【知识模块】 微分中值定理及其应用12

15、【正确答案】 由 f(x)-f(x)0， 得 e -xf(x)一 f(x)=e-xf(x)0又 f(x)e -x|x=0=0， 则 f(x)e -xf(x)e-x|x=0=0进而 f(x)0(x 0，+)，因此 f(x)0( 0，+)【知识模块】 微分中值定理及其应用13 【正确答案】 由 f(4)(x)0(x(a ，b)，知 f”(x)在(a，b)单调上升又因 f“(x0)=0，故 从而 f”(x)在x 0，b)单调上升，在(a，x 0单调下降又 f”(x0)=0，故 f”(x)0(x(a ，b)，xx 0)，因此 f(x)在(a ，b)为凹函数【知识模块】 微分中值定理及其应用14 【正确

16、答案】 (I)先用隐函数求导法求出 y(x)将方程两边对 x 求导得 6y 2y一4yy+2xy+2y 一 2x=0，整理得 ()由 y(x)=0 及原方程确定驻点由 y(x)=0 得 y=x 代入原方程得 2x 3 一 2x2+2xx 一 x2=1， 即 x 3 一 x2+x3 一1=0， (x1)(2x2+x+1)=0仅有根 x=1当 y=x=1 时，3y 2 一 2y+x0因此求得驻点 x=1 ()判定驻点是否是极值点将 式化为(3y 2 一 2y+x)y=xy 将式两边对 x 在 x=1 求导，注意 y(1)=0，y(1)=1，得故 x=1 是隐函数 y(x)的极小值点【知识模块】 微

17、分中值定理及其应用15 【正确答案】 函数 在定义域(0，+)上处处连续，先求 y，y”和它们的零点及不存在的点因此得 单调减少区间是(0，1)，单调增加区间是(1，+)，x=1 是极小值点，凹区间是 是拐点最后求渐近线因在(0，+)连续，且 所以无垂直渐近线由于因此只有斜渐近线y=x【知识模块】 微分中值定理及其应用16 【正确答案】 f(x)在(一 ，+)上连续且可写成如下分段函数由此得 x(一，0)时 f(x)0，故 f(x)在(一，0单调增加；x(a ，+)时 f(x)0，故 f(x)在a，+)单调减少从而 f(x)在0，a上的最大值就是 f(x)在(一，+)上的最大值在(0，a) 上

18、解 f(x)=0，即(1+a 一 x)2 一(1+x) 2=0，得 又 因此 f(x)在0，a即在(一，+)的最大值是 由于 f(x)在( 一，0)单调增加，在(a，+)单调减少，又 f(x)在0，a的最小值 因此 f(x)在(一，+)上无最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用17 【正确答案】 由于 f(x)是偶函数，我们只需考察 x0，+)由变限积分求导公式得 f(x)=2x(2 一 x2) 解 f(x)=0 得 x=0 与 于是从而，f(x)的最大值是=02(2-t)e-tdt=一 02(2 一 t)de-t=(t 一 2)e-t|0202e-tdt=2+e-t|02=1+e-2由上述

19、单调性分析，为求最小值，只需比较 f(0)与 f(x)的大小由于 =0+(2 一t)e-tdt=(t 一 2)e-t+e-t|0+=1f(0)=0，因此 f(0)=0 是最小值【知识模块】 微分中值定理及其应用18 【正确答案】 过椭圆上任意点(x 0，y 0)的切线的斜率 y(x0)满足分别令 y=0 与 x=0，得 x，y 轴上的截距： 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图 49)为问题是求：S(x)= (0xa) 的最小值点，其中 将其代入 S(x)中，问题可进一步化为求函数 f(x)=x2(a2 一 x2)在闭区间0 ，a上的最大值点由 f(x)=2x(a2 一 2x2)=0(

20、x(0，a)得 a22x2=0，x=x 0=注意 f(0)=f(a)=0，f(x 0)0，故 x0= 是 f(x)在0，a的最大值点因此为所求的点【知识模块】 微分中值定理及其应用19 【正确答案】 对 x1 引入函数 f(x)= 则 f(x)在1，+) 可导，且当x1 时 从而 f(x)在1，+)单调增加，又f(1)=0，所以当 x1 时，f(x)f(1)=0，即 令 g(x)=，则 g(x)在1，+)可导，且当 x1 时故 g(x)在区间1，+) 上单调减少，又 g(1)=0，所以当 x1 时 g(x)g(1)=0 ，即当 x1 时成立【知识模块】 微分中值定理及其应用20 【正确答案】

21、令 f(x)=0x(t 一 t2)sin2ntdt，则 f(x)在0，+)可导，f(x)=(x 一 x2)sin2nx当 0x1 时，f(x) 0；当 x1 时，除 x=k(k=1，2，3，)的点(f(x)=0)外，f(x)0，则 f(x)在 0x1 单调上升，在 x1 单调减小，因此 f(x)在0，+)上取最大值 f(1)又当 t0 时 sintt，于是当 x0 时有 f(x)f(1)=01(t 一 t2)sin2ntdt01(t 一 t2)t2ndt=【知识模块】 微分中值定理及其应用21 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)ln 2(1+x)，则有 f(0)=0， f(x)=2

22、x ln2(1+x)一2ln(1+x)，f(0)=0，于是 f”(x)当 x0时单调增加，又 f”(0)=0，所以当 x0 时 f”(x)f”(0)=0从而 f(x)当 x0 时单调增加，又 f(0)=0，故当 x0 时 f(x)f(0)=0 因此 f(x)当 x0 时单调增加，又f(0)=0，所以当 x0 时 f(x)f(0)=0原不等式得证【知识模块】 微分中值定理及其应用22 【正确答案】 要证 f(x)0，e xf(x)0 (x0) 由 exf(x)在0，+)可导且e xf(x)=exf(x)+f(x)0 (x0)，e xf(x)在0，+) 单调上升 exf(x)e xf(x)|x=0

23、=0 (x0)，f(x)0 (x 0)【知识模块】 微分中值定理及其应用23 【正确答案】 令 f(x)=xp+(1 一 x)p，则 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且有 f(x)=Pxp-1 一(1 一 x)p-1 令 f(x)=0 得 易知 f(0)=f(1)=1. 当p1 时， f(x)在0 ，1的最大值为 1，最小值为【知识模块】 微分中值定理及其应用24 【正确答案】 联系 f(x1)一 f(x2)与 f(x)的是拉格朗日中值定理不妨设0x1x21分两种情形：.1)若 x2 一 x1 直接用拉格朗日中值定理得|f(x 1)一 f(x2)|=|f()(x2 一 x1)|=|

24、f()|x2 一 x1| 2)若 x2 一 x1 当 0x 1x 21 时，利用条件f(0)=f(1)分别在0 ，x 1与x 2，1上用拉格朗日中值定理知存在 (0，x 1)，(x2，1) 使得 |f(x 1)一 f(x2)|=|f(x1)一 f(0)一f(x 2)一 f(1)| |f(x1)一 f(0)|+|f(1)一 f(x2)| =|f()x1|+|f()(1 一 x2)| x1+(1 一 x2)=1 一(x 2 一 x1) 当 x1=0 且 x2 时，有|f(x1)-f(x2)|=|f(0)一 f(x2)|=|f(1)一 f(x2)|=|f()(1 一 x2)| 当 且 x2=1 时，

25、同样有|f(x 1)一 f(x2)|=|f(x1)一 f(1)|=|f(x1)一 f(0)|=|f()(x1 一 0)| 因此对于任何x1，x 20，1总有|f(x 1)一 f(x2)|【知识模块】 微分中值定理及其应用25 【正确答案】 即证 01f(x)dx2 一 01f3(x)dx0考察 F(x)=0xf(t)dt2 一 0xf3(t)dt， 若能证明 F(x)0(x(0， 1)即可这可用单调性方法 令 F(x)=0xf(t)dt2 一 0xf3(t)dt，易知 F(x)在0，1 可导，且 F(0)=0，F(x)=f(x)2 0xf(t)dtf2(x) 由条件知，f(x)在0，1 单调上

26、升， f(x)f(0)=0(x(0 ，1)，从而 F(x)与 g(x)=20xf(t)dtf2(x)同号再考察 g(x)=2f(x)1 一 f(x)0(x (0，1)， g(x)在0，1连续，于是 g(x)在0，1单调上升， g(x)g(0)=0(x (0，1)，也就有 F(x)0(x(0，1)，即 F(x)在0，1单调上升， F(x)F(0)=0(x(0，1) 因此 F(1)= 01f(x)dx2 一 01f3(x)dx0即结论成立。【知识模块】 微分中值定理及其应用26 【正确答案】 不妨设 x1x 2，将 x2 换成 x，引进函数 F(x)=tf(x 1)+(1 一 t)f(x)一ftx

27、1+(1 一 t)x，若能证：x 1xx 2 时 F(x)0，则原结论(I)成立因 F(x 1)=f(x1)一f(x1)=0，F(x)0 的一个充分条件是 F(x)在x 1，x 2单调上升，因此只需考察 F(x) F(x)=(1 一 t)f(x)一 ftx1+(1 一 t)x(1 一 t) =(1 一 t)f(x)一 f(tx1+(1 一 t)x)，注意到当 x1xx 2 时，x 1tx 1+(1 一 t)x=x+t(x1 一 x)xx 2由 f”(x)0( (a，b)，f(x)在(a，b) 单调上升，所以 f(x)ftx 1+(1 一 t)x (x1xx 2)从而 F(x)0 (x1xx 2

28、)，即 F(x)在x 1， x2单调上升因此 F(x2)F(x 1)=0，即 tf(x1)+(1 一 t)f(x2)ftx 1+(1 一 t)x2【知识模块】 微分中值定理及其应用27 【正确答案】 由极限的不等式性质和题设知，存在 0 使得 a+b，且于是 f(a+)f(a)，f(b 一 )f(b)这表明 f(x)在a，b上的最大值必在(a，b) 内某点取到，即存在 (a，b)使得 f()=由费马定理知 f()=0【知识模块】 微分中值定理及其应用28 【正确答案】 f(x)在a，b的连续性，保证在a，b上 f(x)至少达到最大值和最小值各一次由 f(a)f(b)得，若 f(x)的最大值在区

29、间端点达到，则必在 x=a 达到由f(x)的可导性，必有 f+(a)0，条件 f+(a)0 表明 f(x)的最大值不能在端点达到同理可证 f(x)的最小值也不能在端点 x=a 或 x=b 达到因此，f(x)在a，b的最大值与最小值必在开区间(a，b)达到，于是最大值点与最小值点均为极值点又 f(x)在a， b可导，在极值点处 f(x)=0，所以 f(x)在(a，b)至少有两个零点.【知识模块】 微分中值定理及其应用29 【正确答案】 设 g(x)= 则 g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g(a)=g(b)，把罗尔定理用于 g(x)即知存在 (a，b)使得 g()=f()=0【知识

30、模块】 微分中值定理及其应用30 【正确答案】 由于 F(0)=F(1)=0，F(x)在0，1 可导，则 (0，1)，F( 1)=0又 F(x)=x2f(x)+2xf(x)，及由 F(0)=0，F( 1)=0，F(x)在0，1可导，则(0， 1)使得 F”(2)=0又 F”(x)=x 2f”(x)+4xf(x)+2 f(x)，及由 F”(0)=F”(2)=0，F”(x) 在0，1可导，则 (0， 2)使得 F”(c)=0【知识模块】 微分中值定理及其应用31 【正确答案】 令 f(x)=ex 一 ax2 一 bxc，那么问题等价于证明 f(x)的零点不超过三个假设结论不正确，则至少有四个点 x

31、1x 2x 3x 4，使得 f(xi)=0，i=1，2， 3，4 由于 f(x)在x 1，x 4上可导，由罗尔定理可知 f(x)在(x 1，x 2)，(x2，x 3)，(x 3，x 4)内至少各有一个零点 1， 2， 3又由于 f(x)在 1， 3上可导，由罗尔定理可知 f”(x)在( 1， 2)，( 2， 3)内至少各有一个零点 1， 2同样地，由于 f”(x)在 1， 2上可导，由罗尔定理可知 f”(x)在( 1， 2)内至少有一个零点因此至少存在一点 (一，+)使得 f”()=0，而 f”(x)=ex0(x (一，+)，这就产生了矛盾故 f(x)的零点不超过三个【知识模块】 微分中值定理

32、及其应用32 【正确答案】 (I)令 F(x)= 显然，F(x)=f(x)由于 F(x)是以 2 为周期的可导函数，故 F(x)在0 ，2上连续，从而必有最大值与最小值设F(x)分别在 x1，x 2 达到最大值与最小值，且 x1x2，x 1，x 20，2)，则 F(x1)，F(x2)也是 F(x)在(一，+)上的最大值，最小值，因此 x1，x 2 必是极值点又 F(x)可导，由费马定理知 F(x1)=f(x1)=0，F(x 2)=f(x2)=0()f (m)(x)同样为(I) 中类型的函数即可写成 f(m)(x)= (kcoskx+ksinkx)，其中 k， k(k=1，2，n)为常数，利用(

33、I)的结论，f (m)(x)在0，2)必有两个相异的零点【知识模块】 微分中值定理及其应用33 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt，G(x)= 0xF(s)ds，显然 G(x)在0，1可导，G(0)=0，又 G(1)=01F(s)ds sF(s)|01-01sdF(s)=F(1)一 01sf(s)ds=0 一 0=0，对 G(x)在0， 1上用罗尔定理知， (0，1)使得 G(c)=F(c)=0现由 F(x)在0，1可导，F(0)=F(c)=F(1)=0，分别在0，c，c ，1对 F(x)用罗尔定理知， (0，c)，2(c， 1)，使得 F(1)=f(1)=0，F( 2)=f(2)=

34、0，即 f(x)在(0 ，1)内至少存在两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用34 【正确答案】 令 则 f(x)在x1，x 2可导，又 F(x1)一 F(x2)=f(x1)x2 一 f(x2)x1 一 l(x2 一 x1)=0因此，由罗尔定理， (x1，x 2)，使得即 f()一 f()=l【知识模块】 微分中值定理及其应用35 【正确答案】 因此 F(x)在0，1上连续，在(0，1) 内可导 由于 f(0)=f(1)=0，由罗尔定理知， (0，1)使 f()=0因此， F()=F(1)=0，对 F(x)在 ，1 上利用罗尔定理得， (，1)，使得即【知识模块】 微分中值定理及其应用36 【正确答案】 由 x1(a，x 0)使 f(x1)0， (x0，b)使 f(x2)0，则 f(x)在(x 1，x 0)与(x 0，x 2)内各存在一个零点因f(x)0( (a，x 0)，从而 f(x)在(a ，x 0)单调增加；f(x)0( (x0，b)，从而f(x)在(x 0，b)单调减少因此， f(x)在(a ，x 0)，(x 0， b)内分别存在唯一零点，即在(a， b)内恰有两个零点【知识模块】 微分中值定理及其应用37 【正确答案】 把所证的结论改写成 f()= 由分别用拉格朗日中值定理与柯西中值定理(a， b)使得【知识模块】 微分中值定理及其应用