[考研类试卷]经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷9及答案与解析.doc

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1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 9 及答案与解析单项选择题1 多项式 f(x)= 的常数项是( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 Mij，A ij 分别为 n 阶行列式 D 中元素 aij 的余子式和代数余子式，则下列各式中必定等于零的是( ) （A）a 11M11+a12M12+a1nM1n（B） a11A11+a12A12+a1nA1n（C） a11M12+a21M2+an1Mn2（D）a 11A12+a21A22+an1An23 设 3 阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A*，且|A|=12，则|A 1 +2A*|=( )（A）16（B） 8（C） 2（D）1

2、4 设 A 为 n 阶矩阵，则 A=O 是 AAT=O 的( )（A）充分但非必要条件（B）必要但非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件5 设 A，B，A+B，A 1 +B1 均为 n 阶可逆矩阵，则 (A1 +B1 )1 =( )（A）A+B（B） (A+B)1（C） A(A+B)1 B（D）A 1 +B16 下列矩阵中不是初等矩阵的是( )7 设 1=(1，2 ，3) T， 2=(1，a，3) T， 3=(2，4，6) T，其中 a 为常数，则向量组 1， 2， 3 的秩为( ) （A）1（B） 2（C） 3（D）与常数 a 有关8 设向量组 1， 2， 3 线性无关， 1

3、=1+2+3， 2=1+22+k3， 3=1+42+k23，则向量组 1， 2， 3 线性无关的充分必要条件是( )（A）k=0（B） k1（C） k2（D）k1 且 k29 设 A 为 mn 矩阵，则 A 的行向量组线性无关是齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的( )（A）充分必要条件（B）必要而非充分条件（C）充分而非必要条件（D）既非充分也非必要条件10 设 A 为 3 阶矩阵，A *为 A 的伴随矩阵，若 r(A)=1，则方程组 A*x=0 的基础解系含无关解的个数为( ) （A）3（B） 2（C） 1（D）011 设 n 元非齐次线性方程组 Ax=b，Ax=0 为其导出组，则 ( )

4、（A）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 必有无穷多解（B）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 必有唯一解（C）若 Ax=b 有无穷多解，则 Ax=0 必有非零解（D）Ax=b 解的状态与 Ax=0 是否有非零解没有关联性12 设 A 为 mn 矩阵，r(A)n，则( )（A）A TAx=0 与 Ax=0 的解之间没有关联（B） Ax=0 的解一定是 ATAx=0 的解，但反之不然（C） ATAx=0 的解一定是 Ax=0 的解，但反之不然（D）Ax=0 与 ATAx=0 为同解方程组计算题13 计算行列式14 设函数 f(x)，g(x) 均在点 x=1 处存在一阶导数，且 f(1)=g(

5、1)=1，f(1)=1，g(1)=2，计算15 设 A 为 n(n 为奇数) 阶矩阵，满足 ATA=E，且|A|0，计算|EA2|16 设 A1 = ，求 (A*)1 17 设矩阵 A 的伴随矩阵为 A*= ，且 ABA1 =BA1 +3E，其中 E 为 4 阶单位矩阵，求矩阵 B17 设 A，B，Q 为 3 阶方阵，且 B=QTAQ，QQ T=E18 计算 Bm(m 为正整数，且 m3)；19 若取 A= ，计算 B1020 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 B=E+AB，C=A+CA，求矩阵 B C21 若矩阵 的秩为 2，求 t 的值22 设 1， 2， 3

6、 为 n 维列向量组，且 1=1， 2=21+2， 3= 1+22+k3，问当k 取何值时， 1， 2， 3 可以被 1， 2， 3 线性表示，并在 k=1 时，给出表达式23 设向量组 1， 2， n 线性无关，若要求向量组1+2， 2+3， n1 +n， n+1 线性无关，则 n 应满足什么条件?24 设 i=(ai1，a i2，a in)T(i=1，2，3；n3)是 n 维实向量；且 1， 2， 3 线性无关，已知 =(b1，b 2，b n)T 是线性方程组 的非零解向量，判断向量组 ， 1， 2， 3 的线性相关性25 求解四元齐次线性方程组 的通解并用其基础解系表示26 设 A 为

7、4 阶矩阵，r(A)=3，其代数余子式 A110，A *为 A 的伴随矩阵试求线性方程组 A*x=0 的一个基础解系经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 9 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 多项式 f(x)的常数项，即 f(0)，实际需要计算的是将 0 置换行列式中的 x 后的值在行列式中零元素较多的情况下，应采用降阶法，即故选 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 选项 D，根据行列式按行(列)展开法则的推论：由某行 (列)元素与其他行(列 )元素对应的代数余子式相乘得到的和必为零容易看到，选项 D 中和式a11A12+a21A22

8、+an1An2 是由第一列元素与第二列元素对应的代数余子式乘积的和，其值必为零，故选 D 选项 A，a 11M11+a12M12+a1nM1n 是由第一行元素与第一行元素对应的余子式乘积的和，其值与原行列式无关，无法判断是否为零 选项B，a 11A11+a12A12+a1nA1n 是由第一行元素与第一行元素对应的代数余子式乘积的和，其值等于原行列式，但无法判断是否为零 选项C，a 11M12+a21M22+an1Mn2 是由第一列元素与第二列元素对应的余子式乘积的和，其值与原行列式无关，也无法判断是否为零【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由|A|=12 知 A 可逆，且|

9、A 1 |=2， A*=|A|A1 =12A 1 ，从而有|A1 +2A*|=|A1 +2 A1 |=|2A1 |=232=16故选 A【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与 AT 的乘积在结构上最主要的特点，是其主对角线元素为A 的各行元素的平方和，即设 则 AAT从而得ai12+ai22+ain2=0，i=1，2，n其充分必要条件是aij=0，i，j=1，2，n，即 A=O故选 C【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C，由 A(A+B) 1 B(A1 +B1 )=A(A+B)1 B(E+B1 A)A1 =A(A+B)1 BB1 (B+

10、A)A 1 =A(A+B)1 (B+A)A1 =AA1 =E， 知(A+B) 1 A(A+B)1 B，故选 C【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 初等矩阵是由单位矩阵作一次初等变换后得到的矩阵容易看到，选项 C 中矩阵是在单位矩阵的基础上经过两次初等变换得到的矩阵，不是初等矩阵，故选 C选项 A 中矩阵是在单位矩阵的基础上交换第 2，3 行得到的矩阵，为初等矩阵选项 B 中矩阵是在单位矩阵的基础上将第 2 行乘以3 得到的矩阵，为初等矩阵选项 D 中矩阵是在单位矩阵的基础上将第 3 行的 3 倍加至第 1 行得到的矩阵，为初等矩阵【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【

11、试题解析】 对向量组 1， 2， 3 构造的矩阵作初等变换，由( 1， 2， 3)知当 a2 时，r( 1， 2， 3)=2，当a=2 时，r( 1， 2， 3)=1，故选 D【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 由( 1， 2， 3) 从而知转换矩阵为 A=(k1)(k2)，于是，向量组 1， 2， 3 线性无关的充分必要条件是|A|0，即 k1 且 k2故选 D另外，k=0 是 1， 2， 3线性无关的充分但非必要条件，k1 或 k2 是 1， 2， 3 线性无关的必要但非充分条件【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 A 的行向量组线性相关性与齐次线性方

12、程组 Ax=0 是否有零解没有直接关系，如方程组 的系数矩阵的行向量组分别线性无关和线性相关，但方程组均仅有零解所以，A 的行向量组线性无关既不是Ax=0 仅有零解的充分条件，也不是 Ax=0 仅有零解的必要条件故选 D【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 由 r(A)=1 知 A 的所有 2 阶子式均为零，所以 r(A*)=0，从而知方程组 A*x=0 的基础解系含无关解的个数为 3，故选 A【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C，从非齐次线性方程组的通解结构可以看到，若 Ax=b 有无穷多解，其导出组必含基础解系，因此，Ax=0 必有非零解故

13、选 C选项 A，B，Ax0 有非零解，并不能确定对应的非齐次线性方程组一定有解因此，结论 A，B 不正确选项 D，在 Ax=b 有解的情况下，Ax=b 解的状态与 Ax=0 有无非零解有关联，如选项 C【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 关键在于两方程组非零解之间的关系，若 是方程组 Ax=0 的非零解，即有 A=0，也必有 ATA=0，因此， 也必定是方程组 ATAx=0 的解反之，若 是方程组 ATAx=0 的非零解，也必有 A=0，否则，A0，使得(A)TA=TATA0，从而与假设 ATA=0 矛盾从而知 ATAx=0 与 Ax=0 为同解方程组，综上，知选项 A，

14、B，C 均不正确，故选 D【知识模块】 线性代数计算题13 【正确答案】 解法 1 将各行依次减去第一行，得解法 2 将各行加至第一行，提出公因子后，得【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由行列式性质，其中【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由于|EA 2|=|EA|E+A|E+A|，所以本题实际要推导|E+A|=0 或|EA|=0 由题设，|A TA|=|A|2=1，且|A|0，得|A|=1 于是，由|A|=1，AA T=E，n 为奇数，则有 EA=AA TA=A(A TE)， 从而有 |EA|=|A|A TE|=|A|A E|=(1) n|A|EA|=|A|EA|， 即有等式(

15、1+|A|)|EA|=2|E A|=0，得|E A|=0，因此 |E A 2|=|EA|E+A|=0【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 解法 1 由题设，A 可逆，则有 A*=|A|A1 ，从而有(A *)1 =(|A|A1 )1 =1 |A|A，(A 1 )*=|A|(A1 )1 =1|A|A，若记 B=A1 ，即有(A *)1 =(A1 )*=B*其中【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 解法 1 用 A*=|A|A1 替换等式中的 A1 由|A *|=|A|41 =|A|3=8，得|A|=2将等式两边左乘 A1 ，右乘 A，有 B=A1 B+3E=12A *B+3E，即(2E

16、A *)B=6E又 2EA *可逆，于是 B=6(2EA *)1 ，由(2EA *)1因此 解法 2 由AA*=|A|E 得 A=|A|(A*)1 由|A *|=|A|41 =|A|3=8，得|A|=2故 A=|A|(A*)1可知 AE 为可逆矩阵将等式整理得(A E)BA1 =3E，有 JB=3(AE) 1 A，又(AE) 1 因此【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由矩阵乘法的结合律，有 Bm=QTAmQ【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由初等矩阵的幂的运算性质，A 10 左乘矩阵 A10 相当于将该矩阵的第 2 行放至第 1 行，第 3 行放至第 2

17、行，第 1 行放至第 3 行，Q 右乘某矩阵相当于将该矩阵的第 2 列放至第 1 列，第 3 列放至第 2 列，第 1 列放至第 3 列，即有 B10【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 B=E+AB，C=A+CA，知(EA)B=E，C(EA)=A ，可知 EA ，B 互为逆矩阵，也有 B(EA)=E，于是有B(EA)C(EA)=(BC)(EA)=EA，因为 EA 可逆，从而有 BC=E【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 解法 1 已知该矩阵的秩为 2，所以它的所有 3 阶子式都为零，因此，只要计算出其中含待定常数 t 的两个 3 阶子式，即可确定 t 的值即由解得 t=3解法

18、2 对该矩阵作初等变换，有可知当 t=3 时，该矩阵的秩为 2【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 依题设，两向量组有以下关系：( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)Q其中转换矩阵为 则 1， 2， 3 可以被1， 2， 3 线性表示的充分必要条件是 Q 可逆，即 k0当 k=1 时，由得 Q1 = ，从而有( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)Q1 =(1， 2， 3) ，即有表达式1=1， 2=2 1+2， 3=512 2+3【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 解法 1 用定义证明设一组数 k1，k 2，k n，使得 k1(1+2)+k2(2+3)+kn1 (n1 +n)+k

19、n(n+1)=0，即(k 1+kn)1+(k2+k1)2+(kn1 +kn2 )n 1+(kn+kn1 )n=0，因为 1， 2， n 线性无关，则有于是，向量组1+2， 2+3， n1 +n， n+1 线性无关的充要条件是方程组 (*)仅有零解，即系数行列式 =1+(1) n+10，即向量组1+2， 2+3， n1 +n， n+1 线性无关的充要条件是 n 为奇数解法 2 讨论两向量组转换矩阵的奇异性由( 1+2， 2+3， n1 +n， n+1)知向量组 1+2， 2+3， n1 +n， n+1线性无关的充要条件是其转换矩阵非奇异，即 =1+(1)n+10，即 n 为奇数【知识模块】 线性

20、代数24 【正确答案】 依题设， iT=0(i=1，2，3)，即 Ti=0，又 0，因此， T0，于是设一组数 k1，k 2，k 3，k，使得 k 11+k22+k33+k=0， k 11+k22+k33+k=0， 两边左乘 T，即有 k1T1+k2T2+k3T3+kT=kT=0， 得 k=0，从而有 k11+k22+k33=0， 由于 1， 2， 3 线性无关，则必有 k1=k2=k3=0，由此知1， 2， 3， 线性无关【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 方程组的系数矩阵为 知 r(A)=24，方程组有非零解，且基础解系有两个线性无关解向量，取自由未知量为x2，x 3，将 x2，x

21、3 依次取 0，1 和 1，0，代入方程组得 1=(0，0，1，0)T， 2=(1， 1，0，1) T， 1， 2 即为方程组的一个基础解系通解为x=C11+C12，C 1，C 2 为任意常数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由于 r(A)=3，因此 r(A*)=1，从而知线性方程组 A*x=0 的基础解系由 41=3 个线性无关解构成 设矩阵 A 的列向量组为 1， 2， 3， 4，即A=(1， 2， 3， 4)由 A*A=|A|E=O，即 A*(1， 2， 3， 4)=0，得A*j=0(j=1，2，3，4)，即 A 的列向量均为方程组 A*x=0 的解 又由 A110，知由2， 3， 4 构成的矩阵中有一个 3 阶子式不为零，从而知 r(2， 3， 4)=3，即2， 3， 4 线性无关因此 2， 3， 4 构成方程组 A*x=0 的一个基础解系【知识模块】 线性代数