2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-湖北卷.pdf

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1、绝密启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学（文史类） 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟 . 祝考试顺利 注间事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上指定位置 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效 . 3.填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在 试题卷上无效 . 4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交 . 一、选择题：本

2、大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.设 a=(1， 2), b=( 3,4),c=(3,2)，则 (a+2b) c= A. ( 15,12) B.0 C. 3 D. 11 2. 3 2 1 (2 ) 2 x x 10 的展开式中常数项是 A.210 B. 105 2 C. 1 4 D. 105 3.若集合 1,2,3,4, 0 5, ,PQxxxR=则 A. “ Px ”是“ x Q ”的充分条件但不是必要条件 B. “ Px ”是“ x Q ”的必要条件但不是充分条件 C. “ Px ”是“ x Q ”的充要条件 D.

3、 “ Px ”既不是“ x Q ”的充分条件也不是“ x Q ”的必要条件 4.用与球必距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为 A. 32 3 B. 8 3 C.82 D. 82 3 5.在平面直角坐标系 xOy 中，满足不等式组 , 1 x y x 12 12 . cc aa + ABxA 的形式，并指出 ()f x 的周期； （）求函数 17 () , 12 fx 在 上的最大值和最小值 17.（本小题满分 12 分） 已知函数 322 () 1f xxmxmx= +（ m 为常数，且 m0）有极大值 9. （）求 m 的值； （）若斜率为 5 的直线是曲线 ()yfx

4、= 的切线，求此直线方程。 18.（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 111 ABC A B C 中，平面 1 ABC侧面 11 .A ABB （）求证： ;ABBC （）若 1 AA AC a=，直 线 AC 与平面 1 ABC所成的角为 ， 二面角 1 ,. 2 ABCA +=的大小为 求证： 19.（本不题满分 12 分） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部 分） ，这两栏的面积之和为 18000cm 2 ，四周空白的宽度为 10cm，两栏之间的中缝空白的宽 度为 5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位： cm） ，能使矩形广告面积最小

5、？ 20（本小题满分 13 分） 已知双曲线 )0,0(1: 2 2 2 2 = ba b y a x C 的两个焦点为 12 ( 2,0), (2,0), (3, 7)FF P 点 在 双曲线 C 上 . （）求双曲线 C 的方程； （）记 O 为坐标原点，过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F， 若 OEF 的面积为 22,求直线 l 的方程 21.（本小题满分 14 分） 已知数列 a n 和 b n 满足： a 1 = ， a n+1 = 4 3 2 + na n ,b n =( 1) n (a n 3n+21)，其中 为实 数， n 为正整数。 （

6、I）证明：对任意实数 ，数列 a n 不是等比数列； （ II）证明：当 18 n b 时，数列 是等比数列； （ III）设 n S 为数列 n b 的前 n 项和，是否存在实数 ，使得对任意正整数 n，都有 12? n S 若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由 . 2008 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（文史类）试题参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算 .第小题 5 分，满分 50 分 . 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，第小题 5 分，满分 25 分 . 11.

7、10 12. 30（或 6 ） 13. 2 14. 0.98 15.（ 3， 2） ， （ x 2） 2 （ y 3） 2 16（或 x 2 y 2 4x 6y 3 0） 三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分 . 16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力 . （满分 12 分） 解： ( )f(x)= 2 1 sinx+ 2 3 ) 4 sin( 2 2 2 3 )cos(sin 2 1 2 2 cos1 +=+= + xxx x . 故 f(x)的周期为 2k k Z 且 k 0 . ( )由 x 12 17 ，得 3 5 44 5 + x .因

8、为 f(x) 2 3 ) 4 sin( 2 2 + x 在 4 5 , 上是减函数，在 12 17 , 4 5 上是增函数 . 故当 x= 4 5 时， f(x)有最小值 2 23+ ；而 f( )= 2， f( 12 17 ) 4 66+ 2， 所以当 x= 时， f(x)有最大值 2. 17.本小题主要考查应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力 .（满分 12 分） 解： ( ) f(x) 3x 2 +2mx m 2 =(x+m)(3x m)=0,则 x= m 或 x= 3 1 m, 当 x 变化时， f(x)与 f(x)的变化情况如下表： x ( , m) m ( m, m 3 1 )

9、 m 3 1 (m 3 1 ,+ ) f(x) + 0 0 + f (x) 极大值 极小值 从而可知，当 x= m 时，函数 f(x)取得极大值 9， 即 f( m) m 3 +m 3 +m 3 +1=9, m 2. ( )由 ( )知， f(x)=x 3 +2x 2 4x+1, 依题意知 f(x) 3x 2 4x 4 5， x 1 或 x 3 1 . 又 f( 1) 6， f( 3 1 ) 27 68 ， 所以切线方程为 y 6 5(x 1), 或 y 27 68 5(x 3 1 )， 即 5x y 1 0，或 135x 27y 23 0. 18.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二

10、面角等有关知识，考查空间想象能力 和推理论证能力 .（满分 12 分） ( )证明：如右图，过点 A 在平面 A 1 ABB 1 内作 AD A 1 B 于 D， 则由平面 A 1 BC侧面 A 1 ABB 1 ,且平面 A 1 BC侧面 A 1 ABB 1 A 1 B， 得 AD平面 A 1 BC.又 BC 平面 A 1 BC 所以 AD BC. 因为三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 是直三棱柱 , 则 AA 1 底面 ABC,所以 AA 1 BC. 又 AA 1 AD=A,从而 BC侧面 A 1 ABB 1 , 又 AB 侧面 A 1 ABB 1 ， 故 AB BC. ( )证法 1

11、：连接 CD,则由 ( )知 ACD 就是直线 AC 与平面 A 1 BC 所成的角， ABA 1 就 是二面角 A 1 BC A 的平面角，即 ACD ， ABA 1 =. 于是在 Rt ADC 中， sin = a AD AC AD = ,在 Rt ADA 1 中， sin AA 1 D a AD AA AD = 1 , sin =sin AA 1 D,由于 与 AA 1 D 都是锐角，所以 AA 1 D. 又由 Rt A 1 AB 知， AA 1 D AA 1 B 2 ，故 2 . 证法 2：由 ( )知，以点 B 为坐标原点，以 BC、 BA、 BB 1 所在的直线分别为 x 轴、 y

12、 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 设 AB=c（ c a，则 B(0,0,0)， A(0,c,0)， C( 0,0, 22 ca ), A 1 (0,c,a)，于是 )0,0,( 22 caBC = ， 1 BA （ 0， c， a） , )0,( 22 ccaAC = , 1 AA =(0,0,a) 设平面 A 1 BC 的一个法向量为 n=(x,y,z), 则由 = =+ = = .0 ,0 ,0 ,0 22 1 xca azcy BCn BAn 得 可取 n（ 0， a， c） ，于是 n AC =ac 0， AC 与 n 的夹角 为锐角 ,则 与 互为余角 . sin=

13、cos= 2222222 22 )( )0,(),0( | ca c ccaca ccaca ACn ACn + = + = , cos= , ),0,0(),0( | 2222 1 1 ca c aca aca BABA BABA + = + = 所以 sin=cos=sin( 2 ),又 0 ， 2 ，所以 += 2 . 19.本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实际问 题的能力 .（满分 12 分） 解法 1：设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，则 ab=9000. 广告的高为 a+20，宽为 2b+25，其中 a 0， b 0. 广告的面积 S

14、 (a+20)(2b+25) 2ab+40b+25a+500 18500+25a+40b 18500+2 ba 4025 =18500+ .2450010002 =ab 当且仅当 25a 40b 时等号成立，此时 b= a 8 5 ,代入式得 a=120，从而 b=75. 即当 a=120， b=75 时 ,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小 . 解法 2：设广告的高和宽分别为 x cm， y cm，则每栏的高和宽分别为 x 20， , 2 25y 其中 x 20， y 25 两栏面积之和为 2(x 20) 18000 2 25

15、 = y ,由此得 y= ,25 20 18000 + x 广告的面积 S=xy=x( 25 20 18000 + x ) 25 20 18000 + x x x, 整理得 S= .18500)20(25 20 360000 + x x 因为 x 20 0，所以 S 2 .2450018500)20(25 20 360000 =+ x x 当且仅当 )20(25 20 360000 = x x 时等号成立， 此时有 (x 20) 2 14400(x 20)，解得 x=140，代入 y= 20 18000 x +25,得 y 175， 即当 x=140， y 175 时， S 取得最小值 245

16、00， 故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小 . 20.本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基 础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力 . （满分 13 分） ( )解法 1：依题意，由 a 2 +b 2 =4，得双曲线方程为 1 4 2 2 2 2 = a y a x （ 0 a 2 4)， 将点（ 3， 7 ）代入上式，得 1 4 79 22 = aa .解得 a 2 =18（舍去）或 a 2 2， 故所求双曲线方程为 .1 22 22 = yx 解法 2：依题意得，双曲线的半焦距

17、 c=2. 2a=|PF 1 | |PF 2 |= ,22)7()23()7()23( 2222 =+ a 2 =2， b 2 =c 2 a 2 =2. 双曲线 C 的方程为 .1 22 22 = yx ( )解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2，代入双曲线 C 的方程并整理， 得 (1 k 2 )x 2 4kx 6=0. 直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F, += ,33 ,1 0)1(64)4( ,01 22 2 ， k k kk k k ( 1,3 ) (-1,1) (1, 3 ). 设 E(x 1 ,y 1 ),F(x 2 ,y 2 )，则由式得 x

18、1 +x 2 = , 1 6 , 1 4 2 21 2 k xx k k = 于是 |EF|= 2 21 22 21 2 21 )(1()()( xxkyyxx +=+ = |1| 322 14)(1 2 2 2 21 2 21 2 k k kxxxxk +=+ 而原点 O 到直线 l 的距离 d 2 1 2 k+ , S OEF = . |1| 322 |1| 322 1 1 2 2 1 | 2 1 2 2 2 2 2 2 k k k k k k EFd = + + = 若 S OEF 22 ，即 ,0222 |1| 322 24 2 2 = kk k k 解得 k= 2 , 满足 .故满足

19、条件的直线 l 有两条，其方程分别为 y= 22 +x 和 .22 += xy 解法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理， 得 (1 k 2 )x 2 4kx 6 0. 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F， += .33 ,1 0)1(64)4( ,01 22 2 ， k k kk k k ( 1,3 ) (-1,1) (1, 3 ). 设 E(x 1 ,y 1 ),F(x 2 ,y 2 )，则由式得 |x 1 x 2 | |1| 322 |1| 4)( 2 2 2 21 2 21 k k k xxxx = =+ . 当 E、 F 在

20、同一支上时（如图 1 所示） ， S OEF |S OQF S OQE |= | 2 1 | 2 1 2121 xxOQxxOQ = ； 当 E、 F 在不同支上时（如图 2 所示） ， S OEF S OQF S OQE .| 2 1 |)|(| 2 1 2121 xxOQxxOQ =+ 综上得 S OEF | 2 1 21 xxOQ ，于是 由 |OQ| 2 及式，得 S OEF |1| 322 2 2 k k . 若 S OEF 2 2 ，即 0222 |1| 322 24 2 2 = kk k k ,解得 k= 2 ,满足 . 故满足条件的直线 l 有两条，其方程分别为 y= 22 +

21、x 和 y= .22 + 21.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考 查分析问题能力和推理能力 .（满分 14 分） ( )证明：假设存在一个实数 ，使 a n 是等比数列，则有 21 2 2 aaa = ,即 （ 2 3 3 ） 2 = 44 4 99 2 2 4 49 4 90, 9 += =矛盾 . 所以 a n 不是等比数列 . （）证明： 11 11 2 ( 1) 3 1 21 ( 1) ( 2 14) 3 nn na n ban an + + = + + = + = nn n bna 3 2 )213()1( 3 2 =+ 又 1 18, (

22、 18) 0.b = + 由上式知 1 2 0, ( ), 3 nn n n b bnN b + = 故当 18, 时， 数列 b n 是以 （ +18） 为首项， 2 3 为公比的等比数列 . （）当 18 时， 由（）得 1 2 (18)(), 3 n n b = + 于是 32 (18)1(), 53 n n S = + 当 18 = 时， 0 n b = ，从而 0. n S = 上式仍成立 . 要使对任意正整数 n , 都有 12. n S 即 32 20 ( 18) 1 ( ) 12 18. 2 53 1( ) 3 n n + 令 2 () 1 ( ), 3 n fn= 则 当 n 为正奇数时， 5 1() : 3 fn当 n 为正偶数时， 5 () 1, 9 fn 5 () (1) . 3 fn f =的最大值为 于是可得 3 20 18 6. 5 的取值范围为 (,6).