【考研类试卷】考研数学一（线性代数）-试卷38及答案解析.doc

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1、考研数学一（线性代数）-试卷 38 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A n x=0 和()A n+1 x=0，现有命题(I)的解必是(II)的解；()的解必是(I)的解；(I)的解不一定是()的解； ()的解不一定是(I)的解其中，正确的是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.3.n 维向量组 a 1 ，a 2 ，a s (3sn)线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零

2、的数 k a ，k 2 ，k s ，使 k 1 a 1 +k 2 a 2 +k s a s =0B.a 1 ，a 2 ，a s 中任意两个向量都线性无关C.a 1 ，a 2 ，a s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出D.存在一组不全为零的数 k a ，k 2 ，k s ，使 k 1 a 1 +k 2 a 2 +k s a s =04.设有两个 n 维向量组(I) 1 ， 2 ， s ，() 1 ， 2 ， s ，若存在两组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ， s ， 1 ， 2 ，使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k 2 + 1 ) 1 +(k 1 一

3、1 ) 1 +(k s 一 s ) s =0，则 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， s + s ， 1 一 1 ， s 一 s 线性相关B. 1 ， s ，及 1 ， s ，均线性无关C. 1 ， s 及 1 ， s 均线性相关D. 1 + 1 ， s + s ， 1 一 1 ， s 一 s 线性无关5.已知向量组(I) 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则与(I)等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1B. 1 2 ， 2 3 ， 3 一 4 ， 4 1C. 1 + 2 ， 2 3 ， 3 + 4 ， 4 1D.

4、 1 + 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 一 16.设向量组(I) 1 ， 2 ， s 线性无关，() 1 ， 2 ， t 线性无关，且 i (i=1，2，s)不能由() 1 ， 2 ， t 线性表出， i (i=1，2，t)不能由(I) 1 ， 2 ， s 线性表出，则向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s ( )（分数：2.00）A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关D.以上都不对7.已知 n 维向量组 1 , 2 s 线性无关，则向量组 1 “ , 2 “ s “ 可能线性相关的是 ( )（分数：2.00）A. i “ (i=1，2，s)是 i (i

5、=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量B. i “ (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量C. i “ (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量D. i “ (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量8.设 （分数：2.00）A.存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关B.不存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关C.存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关D.不存在 b i

6、j (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关9.已知 A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n)，则 A 中必 ( )（分数：2.00）A.没有等于零的 r 一 1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零C.有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零10.向量 N(1) 1 , 2 s ，其秩为 r 1 ,向量组() 1 2 s ，其秩为 r 2 ，且 i ，i=1，2，5 均可由向量组(I) 1 , 2 s 线性表出，则必有 ( )（分数：2.00）A

7、. 1 + 1 ，+ 2 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B. 1 一 1 ， 2 一 2 ， s 一 s 的秩为 r 1 r 2C. 1 , 2 s ， 1 2 s 的秩为 r 1 +r 2D. 1 , 2 s ， 1 2 s 的秩为 r 111.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 Ax= 有解 r(B)=r 2 ，=R(B)=R 2 无解，设 A= 1 ， 2 ， N ，B= 1 2 n ，且 r( 1 , 2 n ， 1 2 n ，)=r，则 ( )（分数：2.00）A.r=r 1 +r 2B.rr 1 +r 2C.r=r 1 +r 2 +1D.rr 1 +r 2 +112.

8、已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则向量组 2 1 + 3 + 4 ， 2 3 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 +2 2 + 3 的秩是 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.413.设 n 阶(n3)矩阵 （分数：2.00）A.1B.C.-1D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)14.方程组 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0 的基础解系是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_17.设线性方程组 有解，则方程组右端 （分数：2.00）填空项

9、1:_18.已知非齐次线性方程组 A 34 X=b 有通解 K 1 1，2，0，一 2 T +K 2 4，一 1，一 1，一 1 T +1，0，一 1，1 T ，则满足方程组且满足条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.已知 4 阶方阵 A= 1 , 2 , 3 , 4 ， 1 , 2 , 3 , 4 均为 4 维列向量，其中 1 , 2 线性无关，若 = 1 +2 2 一 3 = 2 +2 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 ，则Ax= 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设 （分数：2.00）填空项 1:

10、_21.已知一 2 是 （分数：2.00）填空项 1:_22.设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_23.设 A 是 3 阶矩阵，已知A+E=0，A+2E=0，A+3E=0，则A+4E= 1（分数：2.00）填空项 1:_24.设 A 是 3 阶矩阵，A=3，且满足A 2 +2A=0，2A 2 +A=0，则 A * 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：22.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设有两个非零矩阵 A=a 1 ，a 2 ，a n T ，B=b 1 ，b 2

11、，b n T （分数：6.00）(1).计算 AB T 与 A T B；（分数：2.00）_(2).求矩阵 AB T 的秩 r(AB T )；（分数：2.00）_(3).设 C=EAB T ，其中 E 为 n 阶单位阵证明：C T C=E 一 BA T AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1（分数：2.00）_26.证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_27.证明：r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_28.设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA

12、 T )=0 的充分必要条件是 A=O（分数：2.00）_29.证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AA T =E 的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即 （分数：2.00）_30.证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵（分数：2.00）_31.证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若A=一 1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一 1（分数：2.00）_32.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2

13、，b n T 0，且 T =0，A=E+ T ，试计算：(1)A； (2)A n ； (3)A -1 （分数：2.00）_33.设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是四阶单位阵， （分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 38 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A n x=0 和()A n+1 x=0，现有命题(I)的解必是(II)的解；()的解必是(I)的解；(I)的解不一定是

14、()的解； ()的解不一定是(I)的解其中，正确的是 ( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 A n x=0 时，易知 A n+1 x=A(A n x)=0，故(I)的解必是()的解，也即正确，错误当 A n+1 x=0 时，假设 A n x0，则有 x，Ax，A n x 均不为零，可以证明这种情况下X，Ax，A n x 是线性无关的由于 x，Ax，A n x 均为 n 维向量，而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的，矛盾故假设不成立，因此必有 A n x=0可知()的解必是(I)的解，故正确，错误故选B3.n 维向量组 a 1 ，a 2 ，a s (3sn)线性无关的充要

15、条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零的数 k a ，k 2 ，k s ，使 k 1 a 1 +k 2 a 2 +k s a s =0B.a 1 ，a 2 ，a s 中任意两个向量都线性无关C.a 1 ，a 2 ，a s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 D.存在一组不全为零的数 k a ，k 2 ，k s ，使 k 1 a 1 +k 2 a 2 +k s a s =0解析：解析：可用反证法证明之必要性：假设有一向量，如 s 可由 1 , 2 s-1 线性表出，则 1 , 2 s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出，充分性：假设 1 , 2 s 线性相

16、关 4.设有两个 n 维向量组(I) 1 ， 2 ， s ，() 1 ， 2 ， s ，若存在两组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ， s ， 1 ， 2 ，使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k 2 + 1 ) 1 +(k 1 一 1 ) 1 +(k s 一 s ) s =0，则 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， s + s ， 1 一 1 ， s 一 s 线性相关 B. 1 ， s ，及 1 ， s ，均线性无关C. 1 ， s 及 1 ， s 均线性相关D. 1 + 1 ， s + s ， 1 一 1 ， s 一 s 线性无关解析：解析：存在不

17、全为 0 的 k 1 ,k 2 ,，k s ， 1 ， 2 ， n 使得 (k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 一 1 ) 1 +(k 2 一 2 ) 2 +(k s 一 s ) s =0，整理得 k 1 ( 1 + 1 )+k 2 ( 2 + 2 )+k s ( s + s )+ 1 ( 1 一 1 )+ 2 ( 2 一 2 )+ s ( s 一 s )=0，从而得 1 + 1 ， s + s ， 1 一 1 ， s 一 s 线性相关5.已知向量组(I) 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则与(I)等价的向量组是 ( )（分数：2.

18、00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1B. 1 2 ， 2 3 ， 3 一 4 ， 4 1C. 1 + 2 ， 2 3 ， 3 + 4 ， 4 1D. 1 + 2 ， 2 3 ， 3 4 ， 4 一 1 解析：解析：因 A 1 + 2 一( 2 + 3 )+( 3 + 4 )一( 4 + 1 )=0；B( 1 一 2 )+( 2 一 3 )+( 3 一 4 )+( 4 一 1 )=0；C( 1 + 2 )一( 2 一 3 )一( 3 + 4 )+( 4 一 1 )=0，故均线性相关，而 6.设向量组(I) 1 ， 2 ， s 线性无关，() 1 ， 2 ， t

19、线性无关，且 i (i=1，2，s)不能由() 1 ， 2 ， t 线性表出， i (i=1，2，t)不能由(I) 1 ， 2 ， s 线性表出，则向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s ( )（分数：2.00）A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关 D.以上都不对解析：解析：只要对两种情况举出例子即可(1)取 线性无关，且显然不能相互线性表出，但 4 个3 维向量必定线性相关；(2)取7.已知 n 维向量组 1 , 2 s 线性无关，则向量组 1 “ , 2 “ s “ 可能线性相关的是 ( )（分数：2.00）A. i “ (i=1，2，s)是 i (i=

20、1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量B. i “ (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量C. i “ (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量 D. i “ (i=1，2，s)是 i (i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量解析：解析：将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关A，B 属初等(行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，D 增加向量分量也不改变线性无关性8.设 （分数：2.00）A.存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ，

21、 3 线性无关B.不存在 a ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关C.存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性无关 D.不存在 b ij (i，j=1，2，3)使得 1 ， 2 ， 3 线性相关解析：解析：由 9.已知 A 是 mn 矩阵，r(A)=rminm，n)，则 A 中必 ( )（分数：2.00）A.没有等于零的 r 一 1 阶子式，至少有一个 r 阶子式不为零B.有不等于零的 r 阶子式，所有 r+1 阶子式全为零 C.有等于零的 r 阶子式，没有不等于零的 r+1 阶子式D.任何 r 阶子式不等于零，任何 r+1 阶子式全为零解

22、析：解析：由矩阵的秩的定义知，r(A)=r，r 是 A 中最大的不等于零的子行列式的阶数，故 A 中有不等于零的(至少一个)r 阶子式，而 r 阶以上子式都等于零，这只需所有 r+1 阶子式全为零即可，故选 B，而A，C，D 均不成立，请读者自行说明理由10.向量 N(1) 1 , 2 s ，其秩为 r 1 ,向量组() 1 2 s ，其秩为 r 2 ，且 i ，i=1，2，5 均可由向量组(I) 1 , 2 s 线性表出，则必有 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ，+ 2 2 ， s + s 的秩为 r 1 +r 2B. 1 一 1 ， 2 一 2 ， s 一 s 的秩为 r 1 r

23、 2C. 1 , 2 s ， 1 2 s 的秩为 r 1 +r 2D. 1 , 2 s ， 1 2 s 的秩为 r 1 解析：解析：设 1 , 2 s 的极大线性无关组为 1 , 2 r1 则 i (i=1，2，S)均可由 1 , 2 r1 线性表出，又 (=1，2，s)可由(工)表出，即可由 1 , 2 r1 线性表出，即 1 , 2 r1 ，也是向量组 1 , 2 s ， 1 2 s 的极大线性无关组，故 r( 1 , 2 s ， 1 2 s )=r 1 ，其余选项可用反例否定11.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 Ax= 有解 r(B)=r 2 ，=R(B)=R 2 无解，设 A= 1

24、 ， 2 ， N ，B= 1 2 n ，且 r( 1 , 2 n ， 1 2 n ，)=r，则 ( )（分数：2.00）A.r=r 1 +r 2B.rr 1 +r 2C.r=r 1 +r 2 +1D.rr 1 +r 2 +1 解析：解析：由题设 r( 1 , 2 n ，)=r 1 ，r( 1 2 n ，)=r 2 +1，故 r( 1 , 2 n ， 1 2 n ，)r 1 +r 2 +112.已知向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性无关，则向量组 2 1 + 3 + 4 ， 2 3 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 +2 2 + 3 的秩是 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.

25、3 D.4解析：解析： 13.设 n 阶(n3)矩阵 （分数：2.00）A.1B. C.-1D.解析：解析：因二、填空题(总题数：11，分数：22.00)14.方程组 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0 的基础解系是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 =1，一 1，0，0，0 T ， 2 =1，0，一1，0，0 T ， 3 =1，0，0，一 1，0 T ， 4 =1，0，0，0，一 1 T）解析：15.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k1，1，1，1 T ，其中 k 是任意常数）解析：16.方程组 （分数：2.00

26、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设线性方程组 有解，则方程组右端 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 使方程组有解，即当 其中 k 1 ,k 2 ,k 3 是任意常数，方程组有解，即k 1 ,k 2 ,k 3 T 或说 18.已知非齐次线性方程组 A 34 X=b 有通解 K 1 1，2，0，一 2 T +K 2 4，一 1，一 1，一 1 T +1，0，一 1，1 T ，则满足方程组且满足条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2，一 1，一 1 T）

27、解析：解析：方程组的通解为 由题设 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 得 19.已知 4 阶方阵 A= 1 , 2 , 3 , 4 ， 1 , 2 , 3 , 4 均为 4 维列向量，其中 1 , 2 线性无关，若 = 1 +2 2 一 3 = 2 +2 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 ，则Ax= 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：= 1 +2 2 - 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 可知 均为 Ax=0 的解由于 1 ， 2 线性无关，可知 r(A)2又由于 Ax=0 有两个

28、线性无关的解 1 一 2 ， 2 一 3 ，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4 一 r(A)2，即 r(A)2综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故 1 一 2 ， 2 一 3 即为 Ax=0 的基础解系故 Ax= 的通解为 20.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k-1，1，0 T ，k 为任意常数）解析：解析：由于 A 为 43 矩阵，AB=0，且 B0，我们得知 r(A)3，对 A 作变换 21.已知一 2 是 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：由E 一 A=一 2EA=

29、0，可求得 x=一 422.设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0(n 一 1 重根)，n(单根)）解析：解析：23.设 A 是 3 阶矩阵，已知A+E=0，A+2E=0，A+3E=0，则A+4E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由A+E=A+ZE=A+3E=0，知 A 有特征值=一 1，一 2，一 3，A+4E 有=3，2，1，故A+4E=624.设 A 是 3 阶矩阵，A=3，且满足A 2 +2A=0，2A 2 +A=0，则 A * 的特征值是 1（分数：2.0

30、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：AA+2E=0，因A=3，则A+2E=0，故 A 有 1 =一 2 因A=3= 1 2 3 故 3 =3 故 A * 有特征值 三、解答题(总题数：10，分数：22.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设有两个非零矩阵 A=a 1 ，a 2 ，a n T ，B=b 1 ，b 2 ，b n T （分数：6.00）(1).计算 AB T 与 A T B；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).求矩阵 AB T 的秩 r(AB T )；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 AB T 各

31、行(或列)是第 1 行(列)的倍数，又 A，B 皆为非零矩阵，故 r(AB T )=1,)解析：(3).设 C=EAB T ，其中 E 为 n 阶单位阵证明：C T C=E 一 BA T AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 C T C=(E 一 AB T ) T (E 一 AB T )=(E 一 BA T )(EAB T )=E 一 BA T 一 AB T +BA T AB T ，故若要求 C T C=E-BA T 一 AB T +BB T ，则 BA T AB T -BB T =O，B(A T A 一 1)B T =O，即(A T

32、 A 一 1)BB T =O因为 BO，所以 BB T O故 C T C=E-BA T 一 BB T +BB T 的充要条件是 A T A=1)解析：26.证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意到 当 B 有一个 t 1 阶子式不为 0，A 有一个 t 2 阶子式不为 0 时， 一定有一个 t 1 +t 2 阶子式不为 O，因此 )解析：27.证明：r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= 1 , 2 n ，

33、B= 1 2 n ，则 A+B= 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n 由于 A+B 的列向量组 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n 都是由向量组 1 , 2 n ， 1 2 n 线性表出的，故 r( 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n )r( 1 , 2 n ， 1 2 n ). 又由于 r( 1 , 2 n ， 1 2 n )r( 1 , 2 n )+r( 1 2 n )，故 r(A+B)=r( 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n ) r( 1 , 2 n ， 1 2 n ) r( 1 , 2 n )+r( 1 2 n ) =r(A)+r(B)解析：28.设

34、A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T )=0 的充分必要条件是 A=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性 A=0，显然 tr(AA T )=0必要性 tr(AA T )=0，设 记 B=AA T ，则 )解析：29.证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AA T =E 的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 且 A 是正交矩阵(1)AA T =E，A，A T 互为逆矩阵，有 A T AE，故 (2)AA T =E，即 )解析：30.证明：n3 的非零实方阵 A，若它的

35、每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，a ij =A ij ，则 A * =A T ，AA * =AA T =AE两边取行列式，得A n =A n ，得A 2 (A n-2 一 1)=0因 A 是非零阵，设 a ij 0，则A按第 i 行展开有 )解析：31.证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若A=一 1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 A 是正交矩阵 )解析：32.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =0，A=E+ T ，试计算：(1)A； (2)A n ； (3)A -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) )解析：33.设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是四阶单位阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ，因(E+AB) T =(E+AB)故有 b=c=d=e=0又 E+AB 不可逆，有 ，从而得 )解析：