【考研类试卷】工程硕士(GCT)数学-90及答案解析.doc
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1、工程硕士(GCT)数学-90 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数:25,分数:100.00)1.从甲地到乙地,水路比公路近 40km上午 10 点,一艘轮船从甲地驶往乙地,下午 1 点,一辆汽车从甲地开往乙地,最后船、车同时到达乙地若汽车速度是 40km/h,轮船速度是汽车的 (分数:4.00)A.260kmB.280kmC.300kmD.320km2.某篮球联赛总决赛在甲、乙两队之间进行,比赛采用五局三胜制已知在每场比赛中甲队获胜的概率都是 ,那么甲队以 3:1 获胜的概率是( ) (分数:4.00)A.B.C.D.3.平面中 4 个点 P1,
2、P2,P3,P4,在某个球面上,且 P1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3,已知球心到该平面的距离是该球半径的一半,则该球的体积是( )(分数:4.00)A.B.C.D.4.设 A 是三阶不可逆矩阵,, 是线性无关的两个三维列向量,且满足 A=,A=,则 ( ) (分数:4.00)A.B.C.D.5.设三阶矩阵 (分数:4.00)A.-6B.-4C.4D.86.如下图所示,连续函数 y=f(x)在-,)上的图形是 sinx 的图形,在-2,-)和 ,2上的图形是底边长为 ,高为 的等腰三角形的两腰,设 ,则下列结论正确的是( ) (分数:4.00)A.B.C.D.7.若 ,则 =( ) (
3、分数:4.00)A.B.C.D.8.设 (分数:4.00)A.0B.1C.2D.39.设 f(x)在 x=0 处可导, (分数:4.00)A.-1B.0C.1D.210.计算(2+1)(2 2+1)(24+1)(264+1)+1=( )(分数:4.00)A.2128-1B.2128C.2128+1D.2128+211.若实数 a,b 满足|a+b|a-b|,则( )(分数:4.00)A.ab0B.b0aC.0baD.ab012.如果一组数据 5,-2,0,6,4,x 的平均数为 3,那么 x 等于( )(分数:4.00)A.3B.4C.5D.613.如图,将边长分别为 的正方形纸片从左到右顺次
4、摆放,其对应的正方形的中心依次为 A1,A2,A3,若摆放前 n(n2)个正方形纸片,则图中被遮盖的线段(虚线部分)长度之和为( )。(分数:4.00)A.B.C.D.14.若 x3+p2x2+2px+1 被 x+1 整除,则 p 的值是( )(分数:4.00)A.0B.1C.2D.0 或 215.对任意实数 x,恒有( ) (分数:4.00)A.B.C.D.16.在下列定积分中,积分值等于零的是( ) (分数:4.00)A.B.C.D.17.下列函数中,既是奇函数又在-1,1上单调递减的是( ) (分数:4.00)A.B.C.D.18.已知 x0,y0,则 的最小值是( ) (分数:4.00
5、)A.B.C.D.19.已知数列ln(a n-1)是等差数列,且 a1=3,a 2=5,则 = ( )(分数:4.00)A.B.C.D.20.三元线性方程组 Ax=6 的系数矩阵 A 的秩 r(A)=2,且 x1=(4,1,-2)T,x 2=(2,2,-1)T,x 3 =(0,3,a)T均为Ax=b 的解向量,则 A=( )(分数:4.00)A.-1B.0C.1D.221.如题 14 图所示,A 是半径为 1 的圆 O 外的一点,OA=2,AB 是圆 O 的切线,B 是切点,弦 BCOA,连接AC则阴影部分的面积等于 ( ) (分数:4.00)A.B.C.D.22.在坐标平面内,与点 A(-1
6、,2)距离为 ,且与点 B(4,-3)距离为 (分数:4.00)A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条23.设 f(x)在(-,+)内连续,则 a=( ) (分数:4.00)A.B.C.D.24.O 为坐标原点,P 为抛物线 y2=4x 上的一点,F 为抛物线的焦点,已知 与 x 轴正方向的夹角为60,则 =( )(分数:4.00)A.B.C.D.25.设 1=(1,2,-1,2)T, 2=(2,0,0) T, 3=(1,-2,4,) T,则 3 是向量组 1 2 3线性无关的( )(分数:4.00)A.充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件工程硕士(G
7、CT)数学-90 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数:25,分数:100.00)1.从甲地到乙地,水路比公路近 40km上午 10 点,一艘轮船从甲地驶往乙地,下午 1 点,一辆汽车从甲地开往乙地,最后船、车同时到达乙地若汽车速度是 40km/h,轮船速度是汽车的 (分数:4.00)A.260kmB.280km C.300kmD.320km解析:设甲、乙两地的公路长是 x(km),则水路长为 x-40(km)汽车以 40(km/h)的速度从甲地到乙地需用 (h),轮船以 40 (km/h)=24(km/h)的速度从甲地到乙地需用 (h)依题意,可知
8、 2.某篮球联赛总决赛在甲、乙两队之间进行,比赛采用五局三胜制已知在每场比赛中甲队获胜的概率都是 ,那么甲队以 3:1 获胜的概率是( ) (分数:4.00)A.B.C. D.解析:甲队以 3:1 获胜的情形是:共比 4 局,第 4 局甲队胜,且在前 3 局中甲队只输掉第 1 局、第 2 局或第 3 局 第 4 局甲胜,前 3 局中甲输掉任一局的概率是 因而所求概率3.平面中 4 个点 P1,P2,P3,P4,在某个球面上,且 P1P2=P2P3=P3P4=P4P1=3,已知球心到该平面的距离是该球半径的一半,则该球的体积是( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:由题意可知平面截球面截
9、线为一圆,点几,P 1,P2,P3,P4在此圆上,由题意,故四边形 P1P2P3P4为该圆的内接正方形设其中心点为 C(如题 15 图所示),由球心 O 引该平面的垂线,它与该平面的交点必为正方形的中心 C 点即|OC|为球心到该平面的距离P1C 的长度为正方形对角线长|P 1P3|的一半,故|P 1C|=在直角三角形 OP1C 中,|OP 1|为球的半径,设为 R,据题意 据勾股定理: 则该球的体积故选 D4.设 A 是三阶不可逆矩阵,, 是线性无关的两个三维列向量,且满足 A=,A=,则 ( ) (分数:4.00)A.B. C.D.解析:由已知得A=, A= 由+得 A+A=+,即 A(+
10、)=1?(+)又已知 , 线性无关,故 +0所以 1=1 是 A 的一个特征值由-得 A-A=-,即 A(-)=-1?(-)同理 -0,所以 2=-1 是 A 的第 2 个特征值又已知 A 是不可逆矩阵,故|A|=0,则 3=0 是 A 的第 3 个特征值由于三阶矩阵具有 3 个不同的特征值 1=1, 2=-1, 3=0,故 A 可对角化,且5.设三阶矩阵 (分数:4.00)A.-6B.-4C.4 D.8解析:此题是通过矩阵运算和行列式乘法公式求解由题意 BA=B+2E 3得到 BA-B=2E3,提取 B,得 B(A-E)=2E两边取行列式:6.如下图所示,连续函数 y=f(x)在-,)上的图
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