(新课改省份专用)2020版高考数学一轮复习第八章解析几何第一节直线与方程讲义(含解析).doc
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1、1第一节 直线与方程突破点一 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系基 本 知 识 1直线的倾斜角(1)定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0.(2)范围:直线 l 倾斜角的范围是0,)2直线的斜率公式(1)定义式:若直线 l 的倾斜角 ,则斜率 ktan_ . 2(2)两点式: P1(x1, y1), P2(x2, y2)在直线 l 上,且 x1 x2,则 l 的斜率 k .y2 y1x2 x13两条直线平行与垂直的判定两条直线平行对于两条不重合的直线 l
2、1, l2,若其斜率分别为 k1, k2,则有l1 l2k1 k2. 当直线 l1, l2不重合且斜率都不存在时, l1 l2两条直线垂直如果两条直线 l1, l2的斜率存在,设为 k1, k2,则有l1 l2k1k21. 当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为 0 时, l1 l2基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ,错的打“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置( )(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( )(3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大( )(4)当直线 l1和 l2斜率都存在时,一定有 k1 k2l1 l2.( )(5)如果两条直线 l1与 l
3、2垂直,则它们的斜率之积一定等于1.( )答案:(1) (2) (3) (4) (5)二、填空题1过点 M(1, m), N(m1,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为_答案:12若直线 l1:( a1) x y10 和直线 l2:3 x ay20 垂直,则实数 a 的值为_2答案:343(2019湖南百所中学检测)若直线 l1: ax y10 与 l2:3 x( a2) y10 平行,则 a 的值为_答案:14直线 x( a21) y10 的倾斜角的取值范围是_答案: 34, )全 析 考 法 考法一 直线的倾斜角与斜率 1直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,二者的关系具体如下:斜率 kk
4、tan 0k0ktan 0不存在倾斜角 锐角 0 钝角 902在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要根据正切函数 ktan 的单调性,如图所示:(1)当 取值在 内,由 0 增大到 时, k 由0, 2) 2( 2)0 增大并趋向于正无穷大;(2)当 取值在 内,由 增大到 ( )时, k 由负无穷大增大( 2, ) 2( 2)并趋近于 0.解决此类问题,常采用数形结合思想例 1 (1)(2019江西五校联考)已知直线 l 与两条直线 y1, x y70 分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点坐标为(1,1),那么直线 l 的斜率是( )A. B.23 32C D23 32(2)(2019张
5、家口模拟)直线 l 经过 A(2,1), B(1, m2)(mR)两点,则直线 l 的倾斜角 的取值范围是( )A. B.0, 4 ( 2, )3C. D. 4, 2) ( 2, 34解析 (1)设 P(a,1),Q( b, b7),则Error! 解得Error!所以 P(2,1),Q(4,3),所以直线 l 的斜率 k ,故选 C.1 3 2 4 23(2)直线 l 的斜率 ktan m211,所以 .1 m22 1 4 2答案 (1)C (2)C方法技巧求直线倾斜角范围的注意事项直线倾斜角的范围是0,),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分 与 两种情况讨
6、论由正切函数图象可以看出,当0, 2) ( 2, ) 时,斜率 k0,);当 时,斜率不存在;当 时,斜率0, 2) 2 ( 2, )k(,0) 考法二 两直线的位置关系 两直线位置关系的判断方法(1)已知两直线的斜率存在两直线平行两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等;两直线垂直两直线的斜率之积为1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在,当两直线在 x 轴上的截距不相等时,两直线平行;否则两直线重合例 2 (1)(2019武邑中学月考)已知过两点 A(3, m), B(m,5)的直线与直线3x y10 平行,则 m 的值为( )A3 B7C7 D9(2)(2019安徽六安四校联考
7、)设 mR,则“ m0”是“直线 l1:( m1) x(1 m)y10 与直线 l2:( m1) x(2 m1) y40 垂直”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 (1)由题可知, 3,解得 m7,故选 C.5 mm 34(2)由直线 l1与 l2垂直可得( m1)( m1)(1 m)(2m1)0,解得 m0 或 m1.所以“ m0”是“直线 l1:( m1) x(1 m)y10 与直线 l2:( m1) x(2 m1)y40 垂直”的充分不必要条件故选 A.答案 (1)C (2)A方法技巧由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1: A1x
8、 B1y C10( A B 0) 21 21l2: A2x B2y C20( A B 0)2 2l1与 l2垂直的充要条件 A1A2 B1B20l1与 l2平行的充分条件 (A2B2C20)A1A2 B1B2 C1C2l1与 l2相交的充分条件 (A2B20)A1A2 B1B2l1与 l2重合的充分条件 (A2B2C20)A1A2 B1B2 C1C2提醒 当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意 x, y 的系数不能同时为零这一隐含条件集 训 冲 关 1. 已知直线过 A(2,4), B(1, m)两点,且倾斜角为 45,则 m(
9、)考 法 一 A3 B3C5 D1解析:选 A 直线过 A(2,4), B(1, m)两点,直线的斜率为 4 m.又直线m 41 2的倾斜角为 45,直线的斜率为 1,即 4 m1, m3.故选 A.2. 已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x2 y30 垂直,则 cos 2 的值考 法 一 、 二 为( )A. B35 35C. D15 15解析:选 B 由题意得 tan 1,tan 2,cos 122 ,故选 B.1 tan21 tan2 1 41 4 353. 若直线 l1: ax( a1) y10 与直线 l2:2 x ay10 垂直,则实数考 法 二 5a( )A3 B0C3 D0 或
10、3解析:选 D 直线 l1与直线 l2垂直,2 a a(a1)0,整理得 a23 a0,解得 a0 或 a3.故选 D.4. 设 aR,则“ a1”是“直线 l1: ax2 y10 与直线 l2: x( a1)考 法 二 y40 平行”的( )A充分必要条件 B必要不充分条件C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件解析:选 C 当 a1 时,直线 l1: x2 y10 与直线 l2: x2 y40 的斜率都是 ,截距不相等,两条直线平行,故前者是后者的充分条件;当两条直线平行时,得12 ,解得 a2 或 a1,后者不能推出前者,前者是后者的充分不必要a1 2a 1 14条件故选 C.突破点二
11、直线的方程基 本 知 识 直线方程的五种形式形式 几何条件 方程 适用范围点斜式 过一点( x0, y0),斜率 k y y0 k(x x0) 与 x 轴不垂直的直线斜截式 纵截距 b,斜率 k y kx b 与 x 轴不垂直的直线两点式过两点( x1, y1),(x2, y2) y y1y2 y1 x x1x2 x1与 x 轴、 y 轴均不垂直的直线截距式 横截距 a,纵截距 b 1xa yb 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax By C0, A2 B20平面直角坐标系内所有直线基 本 能 力 一、判断题(对的打“” ,错的打“”)(1)经过定点 A(0, b)的直线都可以用方程 y
12、kx b 表示( )(2)经过任意两个不同的点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线都可以用方程( y y1)(x2 x1)( x x1)(y2 y1)表示( )6(3)不经过原点的直线都可以用 1 表示( )xa yb答案:(1) (2) (3)二、填空题1过点 M(3,4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_答案:4 x3 y0 或 x y102(2019开封模拟)过点 A(1,3),斜率是直线 y3 x 斜率的 的直线方程为14_答案:3 x4 y1503已知三角形的三个顶点 A(5,0), B(3,3), C(0,2),则 BC 边上中线所在的直线方程为_解析:由已
13、知,得 BC 的中点坐标为 ,且直线 BC 边上的中线过点 A,则 BC 边(32, 12)上中线的斜率 k ,故 BC 边上的中线所在直线方程为 y ,即113 12 113(x 32)x13 y50.答案: x13 y50全 析 考 法 考法一 求直线方程 例 1 (2019湖北十堰模拟)已知菱形 ABCD 的顶点 A, C 的坐标分别为 A(4,7),C(6,5), BC 边所在直线过点 P(8,1)求:(1)AD 边所在直线的方程;(2)对角线 BD 所在直线的方程解 (1) kBC 2, 5 16 8 AD BC, kAD2. AD 边所在直线的方程为 y72( x4),即 2x y
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