高中数学第一章导数及其应用1.3.3最大值与最小值学案苏教版选修2_2.doc

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1、11.3.3 最大值与最小值学习目标 重点难点1知道函数的最大值与最小值的概念2能够区分函数的极值与最值3会用导数求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.重点：函数在闭区间上的最值的求解难点：与函数最值有关的参数问题.1最大值与最小值(1)如果在函数定义域 I 内存在 x0，使得对任意的 x I，总有_，则称f(x0)为函数在定义域上的最大值最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值_(2)如果在函数定义域 I 内存在 x0，使得对任意的 x I，总有_，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值_2求 f(x

2、)在区间 a， b上的最大值与最小值的步骤(1)求 f(x)在区间( a， b)上的_；(2)将第(1)步中求得的_与_，_比较，得到 f(x)在区间 a， b上的最大值与最小值预习交流 1做一做：函数 y xsin x， x 的最大值是_ 2， 预习交流 2做一做：函数 f(x) x33 ax a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围为_预习交流 3(1)函数的极值与最值有何区别与联系？(2)如果函数 f(x)在开区间( a， b)上的图象是连续不断的曲线，那么它在( a， b)上是否一定有最值？若 f(x)在闭区间 a， b上的图象不连续，那么它在 a， b上是否一定有最值？在预习中

3、还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：预习导引1(1) f(x) f(x0) 惟一 (2) f(x) f(x0) 惟一2(1)极值 (2)极值 f(a) f(b)预习交流 1：提示： y1cos x0， y xsin x 在 上是增函数， 2， 2 ymax.预习交流 2：提示： f( x)3 x23 a3( x2 a)，f(x)在(0,1)内有最小值，方程 x2 a0 有一根在(0,1)内，即 x 在(0,1)内，0 1,0 a1.a a预习交流 3：提示：(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况，是在局部上对函数值的比较，具有相对

4、性；而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，具有绝对性函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常函数就没有极大值，也没有极小值极值只能在函数的定义域内部取得，而最值可以在区间的端点取得有极值的不一定有最值，有最值的不一定有极值，极值有可能成为最值，最值只要不在端点处则一定是极值(2)一般地，若函数 f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么 f(x)在闭区间 a， b上必有最大值和最小值这里给定的区间必须是闭区间，如果是开区间，那么尽管函数是连续函数，那么它也不一定有最

5、大值和最小值一、求函数在闭区间上的最值求下列函数的最值：(1)f(x) x33 x， x ， ；3 3(2)f(x)sin 2 x x， x . 2， 2思路分析：按照求函数最值的方法与步骤，通过列表进行计算与求解1函数 f(x) x32 x21 在区间1,2上的最大值与最小值分别是_2求函数 y536 x3 x24 x3在区间2,2上的最大值与最小值1求函数在闭区间上的最值时，一般是先找出该区间上使导数为零的点，无需判断出是极大值还是极小值，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值2求函数在闭区间上的最值时，需要对各个极值与端点函数值进行比较，有时需要

6、作差、作商，有时还要善于估算，甚至有时需要进行分类讨论二、与最值有关的参数问题的求解已知当 a0 时，函数 f(x) ax36 ax2 b 在区间1,2上的最大值为 3，最小值为29，求 a， b 的值思路分析：先求出函数 f(x)在1,2上的极值点，然后与两个端点的函数值进行比较，建立关于 a， b 的方程组，从而求出 a， b 的值若函数 f(x) x33 x29 x a 在区间2,2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值1已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时，仍然可以按照求函数最值的方法步骤进行求解，最后建立方程(组)求得参数的值2含参数问题要注意分类讨论，本题在求解时，依据条件

7、 a0，从而判断出 f(2)是最小值若题目条件中没有“ a0”这一条件，需要对 a 进行分类讨论，以便确定函数f(x)在1,2上的最大值和最小值三、函数最大值、最小值的参数应用3设函数 f(x) tx22 t2x t1( xR， t0)(1)求函数 f(x)的最小值 h(t)；(2)由(1)若 h(t)2 t m 对 t(0,2)恒成立，求实数 m 的取值范围思路分析：第(1)小题可通过配方法求 f(x)的最小值；第(2)小题由 h(t)2 t m，得 h(t)2 t m，可转化为函数 g(t) h(t)2 t 在区间(0,2)上的最大值小于 m 时，实数m 的取值范围的问题若不等式 x3 2

8、 x5 m 对一切 x1,2恒成立，求实数 m 的取值范围x221当不等式恒成立时，求参数的取值范围问题是一种常见的题型这种题型的解法有多种，其中最常用的方法就是分离参数，然后转化为求函数的最值问题，在求函数最值时，可以借助导数求解2一般地，若不等式 a f(x)恒成立， a 的取值范围是 a f(x)max；若不等式 a f(x)恒成立，则 a 的取值范围是 a f(x)min.1函数 f(x) x24 x1 在1,5上的最大值和最小值分别是_2函数 f(x) x33 x22 在区间1,1上的最大值是_3函数 f(x) asin x sin 3x 在 x 处有极值，那么 a_.13 34函数

9、 f(x)sin 2x 在 上的最大值是_，最小值是_ 4， 05若函数 f(x) x22 x3 在区间 a,2上的最大值为 ，则实数 a 的值为154_提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解：(1) f( x)3 x233( x1)( x1)，令 f( x)0，得x1 或 x1.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 3 ( ，1)3 1 (1,1) 1 (1， )3 3f( x) 0 0 f(x) 0 A2 A2 A0由上表可知：当 x1 时， f(x)取得最大值， f(x)

10、max f(1)2.当 x1 时， f(x)取得最小值， f(x)min f(1)2.(2)f( x)2cos 2 x1，令 f( x)0 得 x 或 x . 6 6当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 2 ( 2， 6) 6 ( 6， 6) 6 ( 6， 2) 24f( x) 0 0 f(x) 2 A 6 32 A32 6 A 2由上表可知：当 x 时 f(x)取得最大值 f ， 2 ( 2) 2当 x 时 f(x)取得最小值 f . 2 ( 2) 2迁移与应用：11，2 解析： f( x)3 x24 x.令 f( x)0，有 3x24 x0，解得 x0 或 x.当

11、x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：43x 1 (1,0) 0 (0， 43) 43 (43， 2) 2f( x) 0 0 f(x) 2 A1 A527 A1从上表可知，最大值是 1，最小值是2.2解： y366 x12 x2，令 12x26 x360，解得 x12， x2 .32所以 f(2)57， f 28 ， f(2)23.(32) 34所以函数的最大值为 57，最小值为28 .34活动与探究 2：解： f( x)3 ax212 ax3 ax(x4)，由 f( x)0，解得 x0 或 x4.在区间1,2上 x0 是极值点由于 a0，当1 x0 时， f( x)0；当 0

12、 x2 时， f( x)0. f(x)在区间1,0上是增函数，在区间0,2上是减函数 f(0) b 为极大值，也是最大值又 f(1) a6 a b7 a b，f(2)8 a24 a b16 a b， f(1) f(2)， f(0)为最大值， f(2)为最小值，则Error!解得Error!迁移与应用：解： f( x)3 x26 x9，令 f( x)0，得 x1 或 3，但 x2,2，故只取x1.当2 x1 时， f( x)0；当1 x2 时， f( x)0. x1 是函数 f(x)的极小值点，该极小值也就是函数 f(x)在2,2上的最小值，即 f(x)min f(1) a5.又函数 f(x)的

13、区间端点值为f(2)81218 a a22，f(2)81218 a a2， a22 a2，5 f(x)max a2220， a2.此时 f(x)min a57.活动与探究 3：解：(1) f(x) t(x t)2 t3 t1( xR， t0)，当 x t 时， f(x)取最小值 f( t) t3 t1，即 h(t) t3 t1.(2)令 g(t) h(t)(2 t) t33 t1，由 g( t)3 t230，及 t0 得 t1.当 t 变化时， g( t)， g(t)的变化情况如下表：t (0,1) 1 (1,2)g( t) 0 g(t) A极大值 A由上表可知当 t1 时， g(t)有极大值

14、 g(1)1.又在定义域(0,2)内， g(t)有惟一极值点，函数 g(t)的极大值也就是 g(t)在定义域(0,2)内的最大值 g(t)max1.h(t)2 tm 在(0,2)内恒成立，即 g(t)m 在(0,2)内恒成立，当且仅当 g(t)max1m，即 m1 时上式成立实数 m 的取值范围是(1，)迁移与应用：解：令 f(x) x3 2 x5，x22则 f( x)3 x2 x2.令 f( x)0，即 3x2 x20，解得 x 或 x1，23 f(1) ， f 5 ， f(1) ， f(2)7，112 ( 23) 2227 72当 x1,2时函数 f(x)的最小值为 .72故要使不等式 f

15、(x)m 恒成立，应有 m ，72即 m 的取值范围是 m .72当堂检测16，3 解析： f( x)2 x4，令 f( x)0 得 x2.又 f(1)2， f(2)3， f(5)6，故最大值是 f(5)，最小值是 f(2)22 解析： f( x)3 x26 x，令 f( x)0，得 x0( x2 舍去)，计算 f(1)2， f(0)2， f(1)0，比较得 f(x)的最大值是 2.32 解析： f( x) acosxcos 3x，则 f a cos ( 3) 12 10， a2.a24 0 解析： f( x)2sin xcosxsin 2 x，令 f( x)0，得 x0.12又 f ， f(0)0，( 4) 12 f(x)max ， f(x)min0.125 解析： f( x)2 x2，当 a1 时，最大值为 4，不合题意；当1261 a2 时， f(x)在 a,2上是减函数， f(a)最大， a22 a3 ，解得 a ，或154 12a (舍去)32