高中数学第一章导数及其应用1.3.3最大值与最小值学案苏教版选修2_2.doc
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1、11.3.3 最大值与最小值学习目标 重点难点1知道函数的最大值与最小值的概念2能够区分函数的极值与最值3会用导数求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.重点:函数在闭区间上的最值的求解难点:与函数最值有关的参数问题.1最大值与最小值(1)如果在函数定义域 I 内存在 x0,使得对任意的 x I,总有_,则称f(x0)为函数在定义域上的最大值最大值是相对函数定义域整体而言的,如果存在最大值,那么最大值_(2)如果在函数定义域 I 内存在 x0,使得对任意的 x I,总有_,则称f(x0)为函数在定义域上的最小值最小值是相对函数定义域整体而言的,如果存在最小值,那么最小值_2求 f(x
2、)在区间 a, b上的最大值与最小值的步骤(1)求 f(x)在区间( a, b)上的_;(2)将第(1)步中求得的_与_,_比较,得到 f(x)在区间 a, b上的最大值与最小值预习交流 1做一做:函数 y xsin x, x 的最大值是_ 2, 预习交流 2做一做:函数 f(x) x33 ax a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为_预习交流 3(1)函数的极值与最值有何区别与联系?(2)如果函数 f(x)在开区间( a, b)上的图象是连续不断的曲线,那么它在( a, b)上是否一定有最值?若 f(x)在闭区间 a, b上的图象不连续,那么它在 a, b上是否一定有最值?在预习中
3、还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做个备忘吧!我的学困点 我的学疑点答案:预习导引1(1) f(x) f(x0) 惟一 (2) f(x) f(x0) 惟一2(1)极值 (2)极值 f(a) f(b)预习交流 1:提示: y1cos x0, y xsin x 在 上是增函数, 2, 2 ymax.预习交流 2:提示: f( x)3 x23 a3( x2 a),f(x)在(0,1)内有最小值,方程 x2 a0 有一根在(0,1)内,即 x 在(0,1)内,0 1,0 a1.a a预习交流 3:提示:(1)函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况,是在局部上对函数值的比较,具有相对
4、性;而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况,是对整个区间上的函数值的比较,具有绝对性函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有惟一性;而极大值和极小值可能多于一个,也可能没有,例如:常函数就没有极大值,也没有极小值极值只能在函数的定义域内部取得,而最值可以在区间的端点取得有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能成为最值,最值只要不在端点处则一定是极值(2)一般地,若函数 f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么 f(x)在闭区间 a, b上必有最大值和最小值这里给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,那么尽管函数是连续函数,那么它也不一定有最
5、大值和最小值一、求函数在闭区间上的最值求下列函数的最值:(1)f(x) x33 x, x , ;3 3(2)f(x)sin 2 x x, x . 2, 2思路分析:按照求函数最值的方法与步骤,通过列表进行计算与求解1函数 f(x) x32 x21 在区间1,2上的最大值与最小值分别是_2求函数 y536 x3 x24 x3在区间2,2上的最大值与最小值1求函数在闭区间上的最值时,一般是先找出该区间上使导数为零的点,无需判断出是极大值还是极小值,只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值2求函数在闭区间上的最值时,需要对各个极值与端点函数值进行比较,有时需要
6、作差、作商,有时还要善于估算,甚至有时需要进行分类讨论二、与最值有关的参数问题的求解已知当 a0 时,函数 f(x) ax36 ax2 b 在区间1,2上的最大值为 3,最小值为29,求 a, b 的值思路分析:先求出函数 f(x)在1,2上的极值点,然后与两个端点的函数值进行比较,建立关于 a, b 的方程组,从而求出 a, b 的值若函数 f(x) x33 x29 x a 在区间2,2上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值1已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时,仍然可以按照求函数最值的方法步骤进行求解,最后建立方程(组)求得参数的值2含参数问题要注意分类讨论,本题在求解时,依据条件
7、 a0,从而判断出 f(2)是最小值若题目条件中没有“ a0”这一条件,需要对 a 进行分类讨论,以便确定函数f(x)在1,2上的最大值和最小值三、函数最大值、最小值的参数应用3设函数 f(x) tx22 t2x t1( xR, t0)(1)求函数 f(x)的最小值 h(t);(2)由(1)若 h(t)2 t m 对 t(0,2)恒成立,求实数 m 的取值范围思路分析:第(1)小题可通过配方法求 f(x)的最小值;第(2)小题由 h(t)2 t m,得 h(t)2 t m,可转化为函数 g(t) h(t)2 t 在区间(0,2)上的最大值小于 m 时,实数m 的取值范围的问题若不等式 x3 2
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