2018年高中数学第三章导数应用3.2.2最大值、最小值问题课件3北师大版选修2_2.ppt

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1、2.2 最大值、最小值问题, 求极值的步骤：,1. 求导数 ；,2. 解方程 ；,3. 对于方程 的每一个解 ，分析 在 左右两侧的符号，确定极值点： 在 两侧若的符号,（1） “左正右负”，则 为极大值点；,（2） “左负右正”，则 为极小值点；,（3）相同，则 不是极值点；,复习回顾,极值是函数的局部性质，而不是在整个定义域内 的性质，即：如果 是 的极大(小)值点，那 么在 附近找不到比 更大(小)的值。但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往 往更关心在某个区间上，函数的哪个值最大，哪个值 最小。,观察下面区间a,b上函数y=f (x)的图象，找出它的极大值点，极小值点？,极大值点

2、，,极小值点,你能说出函数的最大值点和最小值点吗？,最大值点 ：a ，,最小值点：d,抽象概括：,函数y=f(x)在区间a,b上的最大(小)值点 指的是：函 数在这个区间上所有点的函数值都不超过(不小于) 。其中 叫函数在这个区间上的最大(小)值。 函数的最大值和最小值统称为最值。,问题1.,函数的最值与极值有什么区别?,（1）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须 是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须 是整个区间上所有函数值中的最小者。,（2）函数的最大值和最小值是比较整个定义区间 的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值 点附近的函数值得出的。极值可以有多个，但最值只能有一个；

3、极值只 能在区间内取得，最值可以在端点取得。,注意：,概括总结,问题2.,函数y=f (x)在区间a ,b内的最大值 和最小值可能在什么地方取到?,最小值是f (b).,单调函数的最大值和最小值容易被找到。,函数y=f(x)在区间a,b上,最大值是f (a),图1,最大值是f (x3),图2,函数y=f (x)在区间a,b上,最小值是f (x4).,图3,一般地，如果在区间a,b上函数y=f (x)的图象是一条连续不断的曲线,最大(小)值在极大(小)值点或区间的端点处取得。,结论：,怎样求函数y=f (x)在区间a ,b内的最大值 和最小值？,思考,只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点

4、的函数值进行比较即可。,例1 求函数 在区间 上的 最值。,分析：,最值是在极值点或者区间的端点取得的，所以 要想求最值，应首先求出函数的极值点，然后将所 有的极大(小)值与端点的函数值进行比较，其中最 大(小)的值即为函数的最大(小)值。,解：,求导得,令 ，得,通过比较可知：,列表可知， 是函数的极大值点， 是 极小值点，计算极值和端点的函数值得,求最值的步骤：,（1）求 f (x)在 (a，b) 内的极值；,（2）将 f (x) 的各极值与 f (a)，f (b) 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。,概括总结,例2 边长为 48 cm 的正方形铁皮，四角各截去一 大小

5、相同的正方形后折起，可做成无盖的长方体容 器，其容积 V 是关于截去小正方形边长 x 的函数。,（1）随 x 的变化，容积 V 如何变化？（2）截去小正方形边长为多少时，容积最大？ 最大容积是多少？,分析：,解决实际应用问题，首先要分析并列出函数关 系，要注意根据实际意义写出定义域,再求最值。,解：,求导得,，,令 ，得,分析可知，x = 8 是极大值点，极大值为,V= f (x)在 上递增，在 上递减。,由表知：,（2）由函数的单调性和图像可知，x = 8时最大值点，,此时,V = f (8) =,即当截去小正方形边长为 8 cm时，得到最大容 积为 。,练习：,1. 求函数 在区间-3，3上的最值。,2. 已知函数 ，（1）求f (x) 单调减区间； （2）若f (x) 在-2，2上的最大值是20，求它在该 区间上的最小值。,小结：,若 是 在 上的最大(小)值点，则 不小 (大)于 在此区间上的所有函数值。, 函数的最大(小)值：, 求最值的步骤：,（1）求 f (x)在 (a，b) 内的极值；,（2）将 f (x) 的各极值与 f (a)，f (b) 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。,