2018_2019学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系章末总结课件新人教A版必修2.ppt

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1、章末总结,网络建构,知识辨析,判断下列说法是否正确(请在括号中填“”或“”) 1.如果一条直线过平面内一点与平面外一点,那么这条直线与这个平面有且只有一个交点.( ),2.如果两个平面有一个交点,则这两个平面有一条过这个点的公共直线.( ) 3.如果两个平面平行,则这两个平面没有交点.( ) 4.若一条直线上有两个点在某一平面内,则这条直线上有无数个点在这个平面内.( ) 5.平行于同一条直线的两个平面平行.( ) 6.一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线垂直于这个平面.( ),7.两个相交平面组成的图形叫做二面角.( ) 8.垂直于同一条直线的两个平面平行.( ) 9.垂直于同一个

2、平面的两条直线平行.( ) 10.过一点垂直于一个平面的直线有且只有一条.( ),题型探究,真题体验,题型探究素养提升,题型一,平面基本性质的应用,【典例1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线,并说明理由.,解:在平面AA1D1D内,延长D1F, 因为D1F与DA不平行,所以D1F与DA必相交于一点, 设为P,则PFD1,PDA. 又因为D1F平面BED1F,DA平面ABCD,所以P平面BED1F,P平面ABCD, 所以P为平面BED1F与平面ABCD的公共点. 又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,所以连接PB

3、(如图),PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.,规律方法 证明三线共点常用的方法是先证明两条直线共面且相交于一点;然后证明这个点在两个平面内,于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.也可以证明直线a、b相交于一点A,直线b与c相交于一点B,再证明A、B是同一点,从而得到a、b、c三线共点.,即时训练1-1:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为C1D1,B1C1的中点,AC BD=P,A1C1EF=Q,求证: (1)D,B,F,E四点共面;,证明:(1)因为E,F分别为C1D1,B1C1的中点, 所以EF是B1C1D1的中位线, 所以EFD1B1, 因为ABCD-

4、A1B1C1D1是正方体, 所以BB1DD1,BB1=DD1, 所以BB1D1D是平行四边形, 所以DBD1B1, 所以EFDB,所以D,B,F,E共面.,(2)若A1C平面DBFE=R,则P,Q,R三点共线.,证明:(2)因为ACBD=P,A1C1EF=Q,所以PQ是平面AA1C1C和平面DBFE的交线, 因为A1C交平面DBFE于R点, 所以R是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点, 因为两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上, 所以P,Q,R三点共线.,题型二,空间线面位置关系的证明,【典例2】 在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,BAC=90,AB=AA1,点M,

5、N分别为A1B 和B1C1的中点. (1)证明:A1M平面MAC;,(2)证明:MN平面A1ACC1.,证明:(2)连接AB1,AC1,由题意知,点M,N分别为AB1和B1C1的中点,所以MN AC1.又MN平面A1ACC1,AC1平面A1ACC1,所以MN平面A1ACC1.,方法技巧 空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间位置关系的转化主要有: (1)平行关系的转化.,(3)平行与垂直的转化.,即时训练2-1:(2016北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,AB DC,DCAC,(1)求证:DC平面PAC;,(1)证明:因为PC平面ABCD, 所以PCDC. 又因为D

6、CAC, 所以DC平面PAC.,(2)证明:因为ABDC,DCAC, 所以ABAC. 因为PC平面ABCD, 所以PCAB. 所以AB平面PAC. 所以平面PAB平面PAC.,(2)求证:平面PAB平面PAC;,(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.,题型三,空间位置关系的证明与空间角的计算,【典例3】如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD= PC=4,AB=6,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上.(1)证明:PEFG;,(1)证明:因为PD=PC,点E为DC中点, 所以PEDC. 又因为平面PDC平面ABCD

7、, 平面PDC平面ABCD=DC, 所以PE平面ABCD. 又FG平面ABCD,所以PEFG.,(2)求二面角P-AD-C的正切值.,规律方法 求角度问题时,无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上,求角度的解题步骤是:(1)找出这个角;(2)证该角符合题意;(3)构造出含这个角的三角形,解这个三角形,求出角.空间角包括以下三类: 两条异面直线所成的角,找两条异面直线所成的角,关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角. 求直线与平面所成的角关键是确定斜线在平面内的射影. 求二面角关键是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角时,

8、首先要确定二面角的棱,然后结合题设构造二面角的平面角.,即时训练3-1:(2018河北唐山期中)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,侧棱AA1底面ABC,且AA1=2,E是BC的中点.,(1)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值;,(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值.,题型四,空间几何体中位置关系的证明与体积计算,【典例4】 (2017北京卷)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC, PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;,(1)证明:因为PAAB,PABC, 所以PA平面

9、ABC, 又因为BD平面ABC,所以PABD.,(2)求证:平面BDE平面PAC;,(2)证明:因为AB=BC,D为AC的中点, 所以BDAC. 由(1)知,PABD, 所以BD平面PAC. 所以平面BDE平面PAC.,(3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.,规律方法 (1)求空间几何体的体积的关键是确定几何体的高,若几何体的高容易求出,可直接代入体积公式计算,否则可用下列方法进行转化: 等体积转化法:对于三棱锥因为任何一个面都可作为底面,所以在求三棱锥的体积时,可将其转化为底面积和高都易求的形式求解. 补体法:将几何体补成易求体积的几何体,再根据它们的体积关系求解. 分割法:将

10、几何体分割为易求体积的几部分,分别求解再求和. (2)有关平面图形翻折成空间图形的问题,应注意翻折前后各元素(直线、线段、角)的相对位置(平行、垂直)和数量的变化,搞清楚哪些发生了变化、哪些不变.,即时训练4-1:(2018陕西延安期末)如图,四边形ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO底面ABCD,E是PC的中点.PO= ,AB=2.(1)求棱锥P-ABCD体积;,(2)求证:平面PAC平面BDE.,(2)证明:因为PO平面ABCD,BD平面ABCD, 所以POBD, 因为ABCD是正方形,所以ACBD, 因为POAC=O,所以BD平面PAC, 因为BD平面BDE, 所以平面PAC平面BD

11、E.,题型五,易错辨析推理过程不严谨导致错误,【典例5】 如图,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1上的点,且AE=C1F.求证:四边形EBFD1是平行四边形.,错解:因为平面A1ADD1平面B1BCC1,D1E=平面A1ADD1平面BFD1E,BF=平面B1BCC1平面BFD1E,所以D1EFB.同理可得D1FEB. 所以四边形EBFD1是平行四边形.,纠错:错解中盲目地认为E,B,F,D1四点共面,由已知条件并不能说明这四点共面,同时条件AE=C1F也没有用到.,1.(2017全国卷,文6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱

12、的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( ),真题体验素养升级,A,解析:如图,O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在ACB中,OQ为中位线,所以OQAB,OQ平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行, 故选A.,2.(2017全国卷,文10)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( ) (A)A1EDC1 (B)A1EBD (C)A1EBC1 (D)A1EAC,C,3.(2017全国卷,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP =90.(1)证明:平面PAB平面PAD;,(1)证明:由已知BA

13、P=CDP=90, 得ABAP,CDPD. 由于ABCD,故ABPD, 从而AB平面PAD.又AB平面PAB, 所以平面PAB平面PAD.,(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.,4.(2017全国卷,文18)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90.,(1)证明:直线BC平面PAD;,(2)若PCD的面积为2 ,求四棱锥P-ABCD的体积.,5.(2017全国卷,文19)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;,(2)已知AC

14、D是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.,6.(2017山东卷,文18)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E 平面ABCD.,(1)证明:A1O平面B1CD1;,(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.,证明:(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点, 所以EMBD. 又A1E平面ABCD,BD平面ABCD, 所以A1EBD.因为B1D1BD, 所以EMB1D1,A1EB1D1. 又 A1E, EM平面A1EM,A1EEM=E, 所以B1D1平面A1EM. 又B1D1平面B1CD1, 所以 平面A1EM平面B1CD1.,谢谢观赏！,