2019版高考数学二轮复习专题七圆锥曲线专题突破练23圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题文.doc

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1、1专题突破练 23 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.已知椭圆 C: =1(ab0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线 l:x-y+ =0与以原点为圆心,以椭圆 C的短半轴长为半径的圆相切 .(1)求椭圆 C的方程;(2)设 M是椭圆的上顶点,过点 M分别作直线 MA,MB交椭圆于 A,B两点,设两直线的斜率分别为 k1,k2,且 k1+k2=4,证明:直线 AB过定点 .2.(2018河北保定一模,文 20)椭圆 C: =1(ab0)的离心率为 ,且过点 -1, .(1)求椭圆 C的方程;(2)设 P(x,y)为椭圆 C上任一点, F为其右焦点,点 P满足 =(4-x,0).

2、 证明: 为定值; 设直线 y= x+m与椭圆 C有两个不同的交点 A,B,与 y轴交于点 M.若 |AF|,|MF|,|BF|成等差数列,求 m的值 .23.已知中心在原点 O,焦点在 x轴上的椭圆,离心率 e= ,且椭圆过点 .(1)求椭圆的方程;(2)椭圆左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2的直线 l与椭圆交于不同的两点 A,B,则 F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由 .4.(2018河南郑州三模,文 20)已知动点 M(x,y)满足: =2 .(1)求动点 M的轨迹 E的方程;(2)设 A,B是轨迹 E上的两个动点,线段

3、 AB的中点 N在直线 l:x=- 上,线段 AB的中垂线与E交于 P,Q两点,是否存在点 N,使以 PQ为直径的圆经过点(1,0),若存在,求出 N点坐标,若不存在,请说明理由 .35.(2018山东烟台一模,文 20)已知椭圆 C: =1(ab0)的焦距为 2 ,斜率为 的直线与椭圆交于 A,B两点,若线段 AB的中点为 D,且直线 OD的斜率为 - .(1)求椭圆 C的方程;(2)若过左焦点 F斜率为 k的直线 l与椭圆交于点 M,N,P为椭圆上一点,且满足 OP MN,问:是否为定值?若是,求出此定值;若不是,说明理由 .6.(2018河北衡水中学考前仿真,文 20)已知椭圆 C: =

4、1(ab0)的离心率与双曲线=1的离心率互为倒数,且过点 P 1, .(1)求椭圆的方程;(2)过 P作两条直线 l1,l2与圆( x-1)2+y2=r2 00-2b0).则 解得 a2=4,b2=3. 椭圆方程为 =1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设 y10,y20,设 F1AB的内切圆的半径为 R,则 F1AB的周长 =4a=8, (|AB|+|F1A|+|F1B|)R=4R,因此, 最大, R就最大,由题知,直线 l的斜率不为零,可设直线 l的方程为 x=my+1,由 得(3 m2+4)y2+6my-9=0,y1+y2= ,y1y2=- .则 |F1F2|(y1-y

5、2)= .令 =t,则 m2=t2-1(t1),7 .令 f(t)=3t+ ,则 f(t)=3- ,当 t1 时, f(t)0, f(t)在1, + )上单调递增,有 f(t) f(1)=4, 3,即当t=1,m=0时, 3,由 =4R,得 Rmax= ,这时所求内切圆面积的最大值为 .故直线 l:x=1, F1AB内切圆面积的最大值为 .4.解 (1) 动点 M(x,y)满足 =2 ,由椭圆的定义,知 a=,c=1,b 2=1,椭圆方程为 +y2=1.(2)当 AB x轴时,直线 AB的方程为 x=- ,此时 P(- ,0),Q( ,0), =-1,不合题意;当直线 AB不垂直于 x轴时,设

6、存在点 N - ,m (m0),直线 AB的斜率为 k,A(x1,y1),B(x2,y2),由 得( x1+x2)+2(y1+y2) =0,则 -1+4mk=0,故 k= ,此时,直线PQ斜率为 k1=-4m,PQ的直线方程为 y-m=-4m x+ ,即 y=-4mx-m.联立 消去 y,整理得(32 m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.x 1+x2=- ,x1x2= ,由题意 =0,于是 =(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+(4mx1+m)8(4mx2+m)=(1+16m2)x1x2+(4m2-1)(x1+x2)+1+m2=+1+m2= =0,m= ,

7、因为 N在椭圆内, m 2 ,m= 符合条件 .综上:存在两点 N符合条件,坐标为 N - , .5.解 (1)由题意可知 c= ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆可得 =1, =1,两式相减并整理可得 =- ,即 kABkOD=- .又因为 kAB= ,kOD=- ,代入上式可得 a2=4b2.又 a2=b2+c2,c2=3,所以 a2=4,b2=1,故椭圆的方程为 +y2=1.(2)由题意可知, F(- ,0),当 MN为长轴时, OP为短半轴,此时 +1=;否则,可设直线 l的方程为 y=k(x+ ),联立 消 y可得(1+4k2)x2+8 k2x+12k2-4=0,则

8、x1+x2=- ,x1x2= ,所以 |MN|= |x1-x2|= .9设直线 OP的方程为 y=- x,联立 根据对称性,不妨设 P - ,所以 |OP|= .故 .综上所述, 为定值 .6.解 (1)可得 e= ,设椭圆的半焦距为 c,所以 a=2c,因为 C过点 P 1, ,所以 =1,又 c2+b2=a2,解得 a=2,b= ,所以椭圆方程为 =1.(2) 显然两直线 l1,l2的斜率存在,设为 k1,k2,M(x1,y1),N(x2,y2),由于直线 l1,l2与圆( x-1)2+y2=r2 0r 相切,则有 k1=-k2,直线 l1的方程为 y- =k1(x-1),10联立方程组

9、消去 y,得 x2(4 +3)+k1(12-8k1)x+(3-2k1)2-12=0,因为 P,M为直线与椭圆的交点,所以 x1+1= ,同理,当 l2与椭圆相交时, x2+1= ,所以 x1-x2= ,而 y1-y2=k1(x1+x2)-2k1= ,所以直线 MN的斜率 k= . 设直线 MN的方程为 y= x+m,联立方程组消去 y得 x2+mx+m2-3=0,所以 |MN|= ,原点 O到直线的距离 d= , OMN面积为S=11 ,当且仅当 m2=2时取得等号 .经检验,存在 r 0r ,使得过点 P 1, 的两条直线与圆( x-1)2+y2=r2相切,且与椭圆有两个交点 M,N.所以 OMN面积的最大值为 .