四川省资阳市2017_2018学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）.doc

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1、- 1 -2017-2018 学年四川省资阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.函数 的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正切函数的定义域，由 ，解不等式即可得结果.【详解】由 ，得 ,所以，函数 的定义域是 ，故选 C【点睛】本题主要考查正切型函数的定义域，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题2.已知集合 ，则 （ ）A. B. C. 1， D. 1，【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的值域化简集合 ，由交集的定义可得结果.【详解】集合 ， 所以 故选 B【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的

2、属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且属于集合 的元素的集合.3. （ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式将 化为 ，结合特殊角的三角函数可得结果.【详解】因为 ,所以 ，故选 B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.4.已知幂函数 的图象过点 ，若 ,则实数 的值为（ ）A. 9 B. 12 C. 27 D. 81【答案】D【解析】【分析】由幂函数 的

3、图象过点 ，求得函数解析式，由 ，利用解析式列方程求解即可.【详解】因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，解得 ，因为 ,所以解得 ，实数 的值为 81,故选 D【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题5.一个半径为 的扇形的面积为 ,则这个扇形的中心角的弧度数为（ ）- 3 -A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】直接利用扇形面积计算公式列方程求解即可【详解】设这个扇形的中心角的弧度数为 ，因为扇形的半径为 ，面积为 ，所以 ，解得 故选 D【点睛】本题考查了扇形面积计算公式，属于基础题扇形的面积公式为：（1） ；（2） .6.

4、函数 的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的单调性，利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间【详解】因为 单调递增，且是连续函数， 故函数 至多有一个零点， 因为 ， ， 所以 ， 所以函数 的零点所在区间是 ,故选 C【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.7.已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则 （ ）- 4 -A. B. C. 0 D. 【答案】B【解析】【分析】由函数的解析式可求得 的值，结合函数

5、的奇偶性可得 ，计算可得答案【详解】因为当 时， ，所以又由函数 为奇函数，则 = ，故选 B【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题8.若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出二次函数 的对称轴，结合二次函数的单调性，分析可得 ，从而可得答案【详解】根据题意，函数 的对称轴为 ，的减区间是 若 在区间 上是减函数，则 ，解可得： ，则实数 的取值范围是 ,故选 A【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，以及由单调性求参数，属于中档题利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知

6、数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，若函数在区间 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式 或 恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 求- 5 -解的9.已知 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出 的取值范围，利用幂函数的性质比较 的大小，从而可得结果.【详解】因为 ；;；,所以 ，故选 B【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于综合题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间） ；二是利用函数的单调性

7、直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10.已知 ， ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据同角三角函数关系由 求得 ，于是可得 ，然后再根据两角和的余弦公式求解即可详解： ， ， ， ，- 6 - 故选 A点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力11.已知函数 ,若对任意的 使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】问题转化为对任意的 使得 恒成立，令 ， ，根据函数的单调性求出 的最小值，从而可得结果【详解】对任意的

8、使得 成立，即对任意的 使得 恒成立，令 ， ，显然 在 递增，故 的最小值为 ，故 ， ，实数 的取值范围为 ,故选 D【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，以及不等式恒成立问题，属于中档题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（- 7 -即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可 )； 讨论最值 或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.12.已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ，则关于 的方程 在 上的所有实数解之和为（ ）A. -7 B. -6 C. -3 D. -1【答案】A【解析】因为函数 是 R 上的偶函数，

9、且 ，所以 是函数的对称轴，且周期为2，分别画出 与 在 上的图象，交点依次为 所以 ，所以，故选 A. 点睛：函数中常用性质要注意总结，一般 直接可得出函数的对称轴为，由 可推出函数的周期，注意在解题时要灵活运用.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知 ,则 _【答案】1【解析】【分析】由 ,可得 ，利用对数的运算法则求解即可.【详解】因为 ,所以 ，- 8 -可得 ，故答案为 1【点睛】本题主要考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题14.求值 【答案】【解析】试题分析： ，考点：两角和与差的正切函数15.如图，已

10、知 是函数 图象上的两点， 是函数 图象上的一点，且直线 垂直于 轴，若 是等腰直角三角形（其中 为直角顶点） ，则点 的横坐标为_【答案】【解析】设 因为 ，所以 ，因为 是等腰直角三角形，所以可得 ，又因为在 函数 图象上，所以 ，解得 点 A 的横坐标为 ，故答案为 .16.如图，已知扇形 的半径为 2，圆心角为 ，四边形 为该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为_- 9 -【答案】【解析】【分析】设 ，利用直角三角形中的边角关系求得 、正弦弦定理求得 ，利用降幂公式、辅助角公式，化简接矩形 的面积 为，依据余弦函数的有界性求得它的最大值【详解】设 ，由题意可得矩形的一边 中，由正弦定

11、理可得 ，即 ，所以 故内接矩形 的面积为，故当 最大时，内接矩形 的面积最大而 的最大值为 1，此时， ，故内接矩形 的面积最大值为 ，故答案为 【点睛】本题考查扇形内接矩形面积问题，正弦定理以及两角和与差的三角函数以及降幂公式、辅助角公式的应用，考查计算能力，属于难题以三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.- 10 -三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）

12、17.已知集合 （1）若全集 ,求 ；（2）若 ,求实数 的取值范围【答案】 （1） 或 ；（2） .【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解法化简集合 ，由补集的定义可得结果；（2） 等价于，根据包含关系，结合数轴列不等式求解即可.【详解】 （1）由一元二次不等式的解法可得集合，又因为全集 ，所以 或 ;(2) 等价于 ，化简 ，由（1）得 ，在数轴上表示集合 ，如图，由图可知 ,即实数 的取值范围 .【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单

13、明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 图18.已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴非负半轴重合，其终边为射线 （1）分别求 的值；- 11 -（2）求 的值【答案】 （1） ， ， ；（2） .【解析】【分析】（1）由角 的顶点为坐标原点，终边为射线 ，利用任意角的三角函数的定义，可求得 的值； （2）利用诱导公式以及同角三角函数的关系，化简原式为，结合（1）即可得结果【详解】 （1）角 a 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，其终边为射线y= x（ x0） ，由已知可设角 a 终边上一点 P（2，1） ，则 OP= ，sin a= = ，

14、cos a= = ，t ana= （2）= = = = = 【点睛】本题主要考查诱导公式以及同角三角函数之间的关系的应用. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.19.已知函数 （1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；（2）用函数单调性的定义证明： 在 为增函数；（3）解不等式： 【答案】 （1） 为偶函数；（2）证明见解析；（ 3） .【解析】- 12 -【分析】（1）先求解函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性定义判断即可；（2） 内任取 ，不妨设 ，再作差 ，化为 ，判断差的符号，结合单调性定义作出

15、判断；（3）根据 ，利用函数的单调性，转化为 ，结合绝对值不等式以及对数函数的单调性即可得结果.【详解】 （1）函数 f（ x）= 的定义域为（-，-11，+） ，定义域关于原点对称， f（- x）= ，函数 为偶函数（2）在 内取任意 x1 x2，则 ，所以 = ，又 0， f（ x1）- f（ x2）0，即 f（ x1） f（ x2） ， f（ x）在1，+为增函数；（3）根据 =f（2） ，且函数 f（ x）= 为偶函数由不等式： f（log 2m） 可得 f（log 2m） f（2） ，|log 2m|2，且 m0，则 log2m2 或 log2m-2，解得： m4 或 ，故得不等式：

16、 f（log 2m） 的解集为（0， ）（4，+）.【点睛】本题主要考查，函数的奇偶性和单调性的证明与应用，属于中档题利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取 ；（2）作差 ；（3）判断 的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号） ， 可得 在已知区间上是增函数， 可得 在已知区间上是减函数.- 13 -20.已知函数 ，其中 ,函数 图象的一个对称中心坐标为 （1）求 的单调递增区间；（2）将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到函数 的图象若 ，其中 ,求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】

17、（1）利用两角差的正弦公式化简函数的解析式，结合对称性求得函数解析式，再利用正弦函数的单调性列不等式，可求得 的单调递增区间 （2）利用函数 的图象变换规律求得 的解析式，根据 ，求得 和 的值，再利用两角和的正弦公式，可求得 的值【详解】 （1）函数 f（ x）=sin（ x- ）-cos x= sin x- cos x= sin（ x- ） ，因为函数 f（ x）图象的一个对称中心坐标为（ ，0） ， - =k，即 =6（ k+ ） ， k Z03，=2， f（ x）= sin（2 x- ） 令 2k- 2 x- 2 k+ ，求得 k- x k+ ，可得函数的增区间为 k-， k+ ， k

18、 Z（2）将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变） ，得到函数 g（ x）= sin（ x- ）的图象，由 g（）=- ，其中 （0， ） ，可得 sin（- ）=- ，cos（- ）= ，sin=sin（- ）+ =sin（- ）cos +cos（- ）sin =- + = 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数 的图象变换规律，属于中档题函数 的单调区间的求法：若 ,把 看作是一个整体，由 求得函数的减区间，由- 14 -求得增区间 .21.某企业一天中不同时刻的用电量 （万千瓦时）关于时间 （单位：小时，其中对

19、应凌晨 0 点）的函数 近似满足 ,如图是函数 的部分图象（1）求 的解析式；（2）已知该企业某天前半日能分配到的供电量 （万千瓦时）与时间 （小时）的关系可用线性函数模型 模拟，当供电量 小于企业用电量 时，企业必须停产初步预计开始停产的临界时间 在中午 11 点到 12 点之间，用二分法估算 所在的一个区间（区间长度精确到 15 分钟） 【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由图象，利用最大值与最小值差的一半求得 ，由最大值与最小值和的一半求得 ，由周期求得 ，由特殊点求得 的值，从而可得 的解析式； （2）构造函数 ，先判断 在 上是单调递增函数，再利用二分法判断函数 的零

20、点所在的区间【详解】 （1）由图象可知 A= = ， B= =2， T=12= ，= ，代入点（0，2.5）得 sin=1，0，= ；综上， A= ， B=2，= ，= ，即 f（ t）= sin（ t+ ）+2. （2）由（1）知 f（ t）= sin（ t+ ）+2= cos t+2，- 15 -令 h（ t）= f（ t）- g（ t） ，设 h（ t0）=0，则 t0为该企业的开始停产的临界时间；易知 h（ t）在（11，12）上是单调递增函数；由 h（11）= f（11）- g（11）= cos +2+211-25= -10，h（12）= f（12）- g（12）= cos +2+2

21、12-25= 0，又 h（11.5）= f（11.5）- g（11.5）= cos +2+211.5-25= cos（- ）= cos = 0，则 t0（11，11.5） ，即 11 点到 11 点 30 分之间（大于 15 分钟） ，又 h（11.25）= f（11.25）- g（11.25）= cos +2+211.25-25 1-0.5=0，则 t0（11.25，11.5） ，即 11 点 15 分到 11 点 30 分之间（正好 15 分钟） 所以，企业开始停产的临界时间 t0所在的区间为（11.25，11.5）.【点睛】本题主要通过已知 的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.

22、 利用最大值与最小值差的一半求得 ，由最大值与最小值和的一半求得 ， 利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，正确求 是解题的关键.22.已知函数 且 为偶函数，且 （1）求 的解析式；（2）令函数 ，是否存在实数 ，使得 的最小值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2）存在，-2.【解析】【分析】（1）由 ，可得 ，再由偶函数的定义可得 ，利用等式恒成立可求得 ，进而得到 的解析式；（2）化简函数 ，令 ， 的最小值就为的最小值假设存在实数 ，使得 的最小值为 ，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得所求值【详解】 （1）

23、f（0）=1， f（0）=log a2=1，可得 a=2，- 16 -即 f（ x）=log 2（2 x+1）+ bx，函数 f（ x）为偶函数，log 2（2 -x+1）- bx=log2（2 x+1）+ bx 恒成立，即 log2（2 -x+1）-log 2（2 x+1）-2 bx=0 恒成立，化为（2 b+1）x=0 恒成立，2 b+1=0，可得 b=- ，则 f（ x）=log 2（2 x+1）- x.（2） h（ x）= =4x+1+2 x-1=4x+2 x， （ x-1，2） ，令 m=2x（ x-1，2） ，则 m ，4， y=4x+2 x=m2+ m=（ m+ ） 2- ， h

24、（ x）的最小值就为 y=（ m+ ） 2- ， m ，4的最小值假设存在实数 ，使得 h（ x）的最小值为-1，当- 即 -1 时， y=（ m+ ） 2- 在 ，4上为增函数，ymin= + =-1，解得 =- -1，+） ，舍去当 - 4 即-8-1 时，y=（ m+ ） 2- 在 ，- 上为减函数，在- ，4上为增函数，ymin=- =-1，可得 =2，=2（-8，-1） ，舍去，此时 =-2当- 4，即 -8 时， y=（ m+ ） 2- 在 ，4上为减函数，ymin=16+4=-1，解得 =- （-，-8） ，舍去综上，存在实数 =-2，使得 h（ x）的最小值为-1【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，考查了换元法以及二次函数在闭区间上最值的求法，考查分类讨论思想与方程思想的应用，属于中档题二次函数在闭区间上的最值主要有三种- 17 -类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.- 18 -