[考研类试卷]考研数学三线性代数(矩阵)模拟试卷1及答案与解析.doc
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1、考研数学三线性代数(矩阵)模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为三阶方阵,A *为 A 的伴随矩阵,A= ,则4A-(3A *)-1=( )(A)(B) 3(C) 6(D)92 设 A,B 是 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )3 设 A,B 均为 n 阶可逆矩阵,且(A+B) 2=E,则(E+BA -1)-1=( )(A)(A+B)B(B) E+AB-1(C) A(A+B)(D)(A+B)A4 下列命题中, (1)如果矩阵 AB=E,则 A 可逆且 A-1=B (2)如果 n 阶矩阵 A,B满足(AB) 2=E,则(BA) 2
2、=E (3) 如果矩阵 A,B 均为 n 阶不可逆矩阵,则 A+B 必不可逆 (4)如果矩阵 A,B 均为 n 阶不可逆矩阵,则 AB 必不可逆 正确的是( )(A)(1)(2)(B) (1)(4)(C) (2)(3)(D)(2)(4)5 设 A,B 均为 n 阶矩阵,且 AB=A+B,则(1)若 A 可逆,则 B 可逆; (2)若 B 可逆,则 A+B 可逆;(3)若 A+B 可逆,则 AB 可逆; (4)A-E 恒可逆上述命题中,正确的命题共有( )(A)1 个(B) 2 个(C) 3 个(D)4 个6 设 A,B 均为 n 阶对称矩阵,则下列结论不正确的是 ( )(A)A+B 是对称矩阵
3、(B) AB 是对称矩阵(C) A*+B*是对称矩阵(D)A-2B 是对称矩阵7 设 A=则 B=( )(A)P 1P3A(B) P2P3A(C) AP3P2(D)AP 1P38 设 A= ,B 是 42 的非零矩阵,且 AB=O,则( )(A)a=1 时, B 的秩必为 2(B) a=1 时,B 的秩必为 1(C) a1时,B 的秩必为 1(D)a1 时,B 的秩必为 2二、填空题9 设 A 为 4 阶矩阵,且A=2,则A *=_10 设 A,B 是 3 阶矩阵,满足 AB=A-B,其中 B= ,则A+E=_11 设矩阵 A= ,矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E,其中 A*为 A 的伴
4、随矩阵,E 是单位矩阵,则B=_12 已知矩阵 A= ,则 AB-BA=_13 设 A= ,则 AB=_14 设 , 均为 3 维列向量, T 是 的转置矩阵,如果 T= ,则T=_15 设方阵 A 满足 A2-A-2E=O,并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵,则 (A+2E)-1=_16 设矩阵 A= , B=A2+5A+6E,则 =_17 设 A= ,B=(E+A) -1(E-A),则(E+B) -1=_18 设 A= ,则 A-1=_19 如果 A= (B+E),且 B2=E,则 A2=_20 设 =(1, 2,3) T,= ,A= T,则 A3=_21 已知 2CA-2AB=C-B,
5、其中 A= ,则 C3=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设 A 是 n 阶可逆方阵,将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B22 证明 B 可逆;23 求 AB-124 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ,且 ABA-1=BA-1+3E,其中 E 为 4 阶单位矩阵,求矩阵 B25 设 A 是 n 阶矩阵,A 2=E,证明:r(A+E)+r(A-E)=n25 已知 3 阶矩阵 A 和三维向量 x,使得 x,Ax,A 2x 线性无关,且满足 A3x=3Ax一 2A2x26 记 P=(x,Ax ,A 2x)求 3 阶矩阵 B,使 A=PBP-1;27 计算行
6、列式A+E27 设 A,B 为同阶方阵,28 若 A,B 相似,证明 A,B 的特征多项式相等;29 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立;30 当 A,B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立考研数学三线性代数(矩阵)模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由A= ,则(3A *)-1=(3AA -1)-1=A,所以 4A-(3A *)-1= 4A-A=3A=3 3A=9 所以应选 D【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 C【试题解析】 由AB=AB=0 ,且行列式是数值,故有A=0或B =0 ,反之亦
7、成立,故应选 C取 A= ,AB=O,但AO,BO,选项 A 不成立取A= ,选项 B不成立取A= ,选项 D 不成立 所以应选 C【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 因为(E+BA -1)-1=(AA-1+BA-1)-1 =(A+B)A-1-1 =(A-1)-1(A+B)-1 =A(A+B),所以应选 C 注意,由(A+B) 2=E,即(A+B)(A+B)=E,按可逆矩阵的定义知(A+B)-1=(A+B)【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A、B 均为 n 阶矩阵,命题(1)当然正确,但是题中没有 n 阶矩阵这一条件,故(1)不正确例如 显然 A 不可逆
8、 若A、B 为 n 阶矩阵,(AB) 2=E,即(AB)(AB)=E,则可知 A、B 均可逆,于是ABA=B-1,从而 BABA=E即(BA) 2=E因此(2)正确若设显然 A、B 都不可逆,但 A+B= 可逆,可知(3)不正确由于 A、B 均为 n 阶不可逆矩阵,知A= B=0,且结合行列式乘法公式,有AB= A B=0 ,故 AB 必不可逆(4)正确 所以应选 D【知识模块】 矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=A+B,有(A-E)B=A若 A 可逆,则(A-E)B=A-EB=A0 ,知B 0 即矩阵曰可逆,从而命题(1)正确应用命题(1),由曰可逆可得出 A 可逆,从而 AB
9、 可逆,那么 A+B=AB 也可逆,故命题(2)正确因为 AB=A+B,若 A+B 可逆,则有 AB 可逆,即命题(3)正确对于命题(4),用分组因式分解,即AB-A-B+E=E,则有(A-E)(B-E)=E,所以得 A-E 恒可逆,命题(4)正确所以应选 D【知识模块】 矩阵6 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件,则 (A+B) T=AT+BT=A+B, 及 (kB) T=kBT=kB, 所以有 (A-2B)T=AT-(2BT)=A-2B, 从而选项 A、D 的结论是正确的 首先来证明(A *)T=(AT)*,即只需证明等式两边(i,j)位置元素相等(A *)T 在位置(i,j)的元素
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