[考研类试卷]考研数学一（重积分，曲线、曲面积分）历年真题试卷汇编1及答案与解析.doc

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1、考研数学一（重积分，曲线、曲面积分）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2010 年试题，4) 等于( )（A）（B）（C）（D）2 (2004 年试题，二) 设 f(x)为连续函数， ,则 F(2)等于( )（A）2f(2)（B） f(2)（C）一 f(2)（D）03 (2009 年试题，一) 如图 1 一 62，正方形(x，y)x1,y1被其对角线划分为四个区域 Dk(k=1，2，3，4)， 则 ( )（A）I 1（B） I2（C） I3（D）I 44 (2006 年试题，二) 设 f(x，y为连续函数，则 等于( )（A）

2、（B）（C）（D）5 (2007 年试题，一) 设曲线 L：f(x ，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)，过第象限内的点 M 和第象限的点 N，T 为 L 从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是( ) （A）（B）（C）（D）6 (2000 年试题，二) 设 S：x 2+y2+z2=a2(z0)，S 1 为 S 在第一卦限中的部分，则有( )（A）（B）（C）（D）二、填空题7 (2012 年试题，二) 设=(x ，y，z) x+y+z=1，x0，y0，z0，则=_.8 (2001 年试题，一) 交换二次积分的积分次序： =_.9 (2009 年试题，二) 设 =(x，y，

3、z)x 2+y2+z21，则 =_.10 (2010 年试题，二) 设 =(x，y，z)x 2+y2z1)，则 的形心坐标=_.11 (2009 年试题，二) 已知曲线 L：y=x 2(0x )，则 =_.12 (1998 年试题，一) 设 L 为椭圆 其周长记为 a，则=_.13 (2010 年试题，11) 已知曲线 L 的方程为 y=1 一x(一 1x1)，起点为(一1，0)，终点 (1，0), =_.14 (2004 年试题，一) 设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线积分一 2ydx 的值为=_.15 (2011 年试题，二) 设 L 是柱面方程 x2+y2=1

4、 与平面 z=x+y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 =_.16 (2007 年试题，二) 设曲面：x+y+ z=1，则=_.17 (2008 年试题，二) 设曲面是上半球面 的上侧，则+x2dxdy=_.18 (2006 年试题，一) 设是锥面 (0x1)的下侧，则=_.19 (2012 年试题，二) =_.20 (2001 年试题，一) 设 则 div(gradr) (1,-2,2)=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (2011 年试题，19) 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0，f(x，1)=0， ，

5、其中 D=(x，y)10x1，0y1，计算二重积分22 (21006 年试题，15) 设区域 D=(x，y)x 2+y21，x0，计算二重积分23 (2005 年试题，15) 设 D=(x，y)x 2+y2 ，x0，y01+x 2+y2表示不超过1+x2+y2 的最大整数计算二重积分24 (2002 年试题，五) 计算二重积分 其中 D=(x，y)10x1，0y124 (2003 年试题，八) 设函数 f(x)连续且恒大于零，其中 (t)=(x， y，z) x 2+y2+z2t2，D(t)=(x ，y)x 2+y2t225 讨论 F(t)在区间(0，+)内的单调性；26 证明当 t0 时， 2

6、7 (1997 年试题，三) 计算 其中 为平面曲线 绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平面 z=8 所围成的区域28 (2001 年试题，八) 设有一高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆，在融化过程中其侧面满足方程 (设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 09)，问高度为 130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?29 (2000 年试题，八) 设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比( 比例常数 k0)，求球体的重心位置30 (2012 年试题，三) 已知 L 是第一象限中从点(0 ，

7、0)沿圆周 x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周 x2+y2=4 到点(0 ，2)的曲线段，计算曲线积分31 (2008 年试题，16) 计算曲线积分 其中 L 是曲线 y=sinx上从点(0 ，0)到点(，0)的一段32 (2003 年试题，五) 已知平面区域 D=(x，y)10x，0)， ，L 为 D 的正向边界，试证： (2)33 (2000 年试题，五) 计算曲线积分 其中 L 是以点(1，0)为中心，R为半径的圆周(R1)，取逆时针方向34 (1999 年试题，四) 求 其中 a，b 为正的常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线 到原点 O(0，0) 的弧35 (2006 年试

8、题，19) 设在上半平面 D=(x，y)y0内，函数，(x，y)具有连续偏导数，且对任意的 t0 都有 f(tx，ty)=t -2f(x,y)证明：对 D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 L，都有35 (2005 年试题，19) 设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分 的值恒为同一常数36 证明：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C 上，有37 求函数 (y)的表达式37 (2002 年试题，六) 设函数 f(x)在(一，+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面(y0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)记38 证明曲

9、线积分，与路径 L 无关；39 当 ab=cd 时，求 I 的值40 (1998 年试题，四) 确定常数 ，使在右半平面 x0 上的向量 (x，y)=2xy(x 4+y2)i 一 x2(x4+y2)j 为某二元函数 u(x，y) 的梯度，并求 u(x，y)40 (2009 年试题，17) 椭球面 S1 是椭圆 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S2 是过点(4，0)且与椭圆 相切的直线绕轴旋转而成41 求 S1 及 S2 的方程；42 求 S1 与 S2 之间的立体体积43 (2001 年试题，六) 计算 I= (y2z 2)dx+(2z2 一 x2)dy+(3x2 一 y2)dz，其中 L 是平面

10、x+y+z=2 与柱面x+ y=1 的交线，从 z 轴正向看去，L 为逆时针方向44 (1997 年试题，三) 计算曲线积分 其中 C 是曲线从 z 轴正向往 z 轴负向看 C 的方向是顺时针的45 (2010 年试题，19) 设 P 为椭圆面 S：x 2+y2+z2 一 yz=1 上的动点，若 S 在点 P 处的切平面与 xOy 平面垂直，求点 P 的轨迹 C，并计算曲线积分其中是椭球面 S 位于曲线 C 上方的部分46 (1999 年试题，八) 设 S 为椭球面 的上半部分，点 P(x，y，z) S，为 S 在点 P 处的切平面， p(x，y，z)为点 0(0，0，0)到平面 的距离，求4

11、7 (2009 年试题，19) 计算曲面积分 其中是曲面2x2+2y2+z2=4 的外侧48 (2007 年试题，18) 计算曲面积分 其中为曲面 z=1x2 一 (0z1)的上侧49 (2005 年试题，一) 设 是由锥面 与半球面 围成的空间区域，是 的整个边界的外侧，则50 (2004 年试题，三) 计算曲面积分 其中是曲面z=1 一 x2 一 y2(z0)的上侧51 (2000 年试题，六) 设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面 S 都有其中函数 f(x)在(0，+)内具有连续的一阶导数，且 ，求 f(x)52 (1998 年试题，六) 计算 其中为下半球面 z=一的上侧，a

12、为大于零的常数考研数学一（重积分，曲线、曲面积分）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因 ，故根据积分的几何定义可知 即正确答案为 D【知识模块】 章重积分2 【正确答案】 B【试题解析】 由题设，二重积分 F(t)的被积函数为 f(x)，则应通过交换积分次序化为变上限定积分，即 从而 F(t)=(1 一 1)f(t)，则 F(2)=f(2)，选 B【知识模块】 章重积分3 【正确答案】 A【试题解析】 利用二重积分区域的对称性以及被积函数的奇偶性可以方便求解，令 f(x，y)=ycosx D 1，D

13、3 两个区域关于 y 轴对称，且 f(一 x，y)=ycos(一 x)=ycosx=f(x，y)，即被积函数是关于 x 的偶函数，则D2，D 4 两个区域关于 x 轴对称，且 f(x，一 y)=一 ycosx=一 f(x，y)，即被积函数是关于 y 的奇函数，所以 I2=I4=0故正确答案为A【知识模块】 章重积分4 【正确答案】 C【试题解析】 先用排除法若选择先 y 后 x 的积分顺序，则要分块积分，选项并未分块积分，所以可排除 A，B 选项又设 其中 D 的极坐标表示为： (图 1 一 65)考虑转换为先 x 后 y 的积分顺序因为 y=x 与 x2+y2=1 在第一象限的交点是 A ，

14、所以故选 C 将极坐标系下的二次积分表达式还原为直角坐标系下的二次积分表达式，其关键在于画出相应二重积分的积分区域，然后根据积分区域来定积分上、下限【知识模块】 章重积分5 【正确答案】 B【试题解析】 由 df(x，y)=f xdx+fydy，又在弧 F 上有 f(x，y)=1 ，则 A 选项：C 选项： D 选项： B 选项：故 B 选项正确解析二设 M，N 点的坐标分别为M(x1，y 1)，N(x 1，y 2)，x 1x 2，y 1y 2先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：故正确答案为 B计算曲线、曲面积分，应先将曲线、曲面方程代入被积表达式化简，然后再求积分【知识模块】 曲线、曲面积

15、分6 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查积分曲面和被积函数在具有对称性和奇偶性时第一型曲面积分的特殊性质，由题设所给 S 及 S1。有 因此显然有 A,B,D 不成立；关于 C，积分 的被积函数 z 关于 x 和 y 都是偶函数，因而 同时积分曲面 S1 关于 x，y，z 三轴对称，则由轮换对称性知，所以 综上，选 C应注意积分区域的对称性和积分函数的周期性在第一类曲线、曲面积分、二重积分和三重积分中的灵活运用【知识模块】 曲线、曲面积分二、填空题7 【正确答案】 其中 D 为 投影在 xOy 平面上的区域，D=(x，y)x0，y0，x+y1【知识模块】 章重积分8 【正确答案】 首先明确

16、题设，所给的二重积分的积分区域 D 如图 16 一 1 所示因此原积分【知识模块】 章重积分9 【正确答案】 解析二根据变量轮换对称性知，解析三因被积函数只与 z 有关，与 xOy 平面平行的平面与 的截面区域为 D：x 2+y21一 z2，其面积为(1一 z2)，故而有：【知识模块】 章重积分10 【正确答案】 所表示区域的体积为则 n 的形心的竖坐标为【知识模块】 章重积分11 【正确答案】 由题意可知，y =2x，则 则【知识模块】 曲线、曲面积分12 【正确答案】 本题考查对曲线积分性质的理解，因为积分是沿着曲线 L 进行的积分，因此曲线 L 的方程可以直接代入被积表达式由题设 即为3

17、x2+4y2=12，因此 同时注意到被积表达式中的2xy 关于 x 为奇函数，且曲线 L 关于 x=0 对称，则 从而原式= 又已知周长为 a，所以原式 =12a【试题解析】 求曲线积分，应将曲线的方程代人被积函数，有时以直角坐标式代入，有时以参数式代入，有时曲线分段后才能代入，代入变形后化成定积分或重积分计算【知识模块】 曲线、曲面积分13 【正确答案】 根据 L1：y=1+x，x 一 1，0； L2：y=1 一 x，x0，1及 L 的方程可知，L=L 1+L2，故解析二被积表达式可分成 2xy+x2 和一 xy 两部分，前者可求原函数，后者可转代定积分求解【知识模块】 曲线、曲面积分14

18、【正确答案】 如图 1 一 71 所示，设 L 与 x， y 轴的交点分别为 P1，P 2 所围区域为 D则由 构成封闭曲线正向，应用格林公式，有所以解析二由题设知，L 为 x2+y2=2 在第一象限，则可写出其参数方程如下，从而【知识模块】 曲线、曲面积分15 【正确答案】 由圆柱 x2+y2=1 与 z=x+y 围成的平面块的上侧位 s(按右手准则)，其法向量为 =一 1，一 1，1 ，方向余弦为 由斯托克斯公式得 因为 所以【知识模块】 曲线、曲面积分16 【正确答案】 根据曲面的对称性，【知识模块】 曲线、曲面积分17 【正确答案】 记 D1 为曲面 在 xOy 平面中投影面的下侧，即

19、 x2+y24(z=0)的下侧，记 D2 为它的上侧， 为 D1 和所围成的体积，则有解析二采用投影法直接代入公式求解根据曲面的方程 其在 xOy 面上的投影为Dxy：x 2+y24，且有 则可得【知识模块】 曲线、曲面积分18 【正确答案】 如图 1 一 74 所示，添加辅助面 1：z=1(x 2+y21)，取法向量朝上，则有 对与 1 所围成的区域 ，用高斯公式得所以解析二采用投影法直接计算由记 Dxy：x 2+y21为 在 xOy 面上的投影，代入公式化为二重积分得：原式=其中利用了对称性【试题解析】 采用投影法和加、减曲面后利用高斯公式是求非封闭曲面上第二类曲面积分的常用方法【知识模块

20、】 曲线、曲面积分19 【正确答案】 则由梯度定义,将点(2，1，1)代入，上式=(1，1，1)【知识模块】 曲线、曲面积分20 【正确答案】 由梯度和散度的定义，有由题设 则从而 由对称性易得到因此因而【知识模块】 曲线、曲面积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 又于是【知识模块】 章重积分22 【正确答案】 如图 163 所示，D 为右半单位圆，它关于 x 轴对称，可知由此知 又因为D1=(x，y) x2+y21，y0，y0，作极坐标变换：x=rcos，y=rsin，则所以【知识模块】 章重积分23 【正确答案】 由题意可知，在 D 上：将 D 分成两块

21、，其中D1：x 2+y22：1x 2+y2 于是 作极坐标变换有有解析二直接利用极坐标求解，即【知识模块】 章重积分24 【正确答案】 由于题设所给被积函数为 emax(x1,y1)，因此应将积分区域 D 分块，分别求相应部分的积分值再累加，由已知 D=(x，y)0x1，0y1，则如图 1一 64 所示显然应将 D 划分为 D1 与 D2 两部分，在 D1 上 maxx2，y 2=x2，在D2 上 maxx2，y 2=y2，由此解析二由于被积函数中的 x，y 具有可交换性，即 f(x，y)=emax(x2,y2)=f(y，x)，f(x，y)关于直线 y=x 对称，故而【知识模块】 章重积分【知

22、识模块】 章重积分25 【正确答案】 由题设，结合积分区域的几何特点，可将原二、三重积分用极坐标、球坐标表示，可化为变上限定积分，即674 则675 从而 F(t)在(0，+)内单调递增【知识模块】 章重积分26 【正确答案】 同理可得 欲证明当 t0 时, 即等价于证明 引入辅助函数 g(t)，令 由于 因此g(t)在(0，+)内单调递增，且 g(t)在 x=0 处连续及 g(0)=0，因而 t0 时，g(t)g(0)=0，综上可知 成立【试题解析】 当积分区域的边界函数和被积函数中含有因子 x2+y2+z2 时，常采用球坐标计算三重积分，它与直角坐标的关系为： 在球坐标系下，体积元 dv=

23、r2sindddr【知识模块】 章重积分27 【正确答案】 先明确积分区域 的几何特征，为此需求出旋转曲面的方程为x2+y2=2z，该区域在 xOy 平面上投影为 Dxy(x，y) x 2+y216易看出选取柱坐标计算较为方便，则 解析二与可最后再对 z 积分，此时需用平行于 xDy 平面的平面截积分域 ，截面为Dx=(x，y) x 2+y22x，0x8)，同样采用柱坐标计算，有【试题解析】 选定坐标系后，适当调换积分顺序，往往使问题会进一步得到简化【知识模块】 章重积分28 【正确答案】 本题关键是要导出 h(t)所满足的方程，根据题意，设 V 为雪堆的体积，S 为雪堆的侧面积，则雪堆的侧面

24、在 xOy 平面上的投影为则又由题设知 因此从而 结合初始条件 h(0)=130，得 C=130，于是 不难算出 t=100(小时)，雪堆全部融化【试题解析】 本题综合考查了曲面面积和立体体积的计算本题求解时可能出现的错误有：(1)审题错误，误认为侧面面积满足方程 (2)想从比例关系 一 09S 中求 V，且关系式中的负号易漏；(3)将 t 看成与 x，y 有关，计算三重积分时，不知如何处理 t 与 x，y 的关系【知识模块】 章重积分29 【正确答案】 由题设，首先建立直角坐标系如图 1 一 66 所示，则 P0 为(R，0，0) ，且球面方程为 x0+y0+z0=R0根据已知对称性，可知球

25、体 的重心必在x 轴上。因此设重心坐标为(x 0，0，0)，由重心的物理意义知，显然采用球坐标计算较为方便，则 702 因此 从而球体 的重心为 解析二设所考虑的球体为 ，球心为 0，以定点 P 为原点，射线 P0O为正 z 轴，建立直角坐标系，则球面的方程为x2+y2+z2=2Rz设力的重心为 ( )，则由对称性得，故 球体 的重心位置为【试题解析】 本题建立坐标系还可采取其他方式，所导致的不同只是在于球面方程和 P0 点坐标的不同，而求解思路和步骤大同小异【知识模块】 章重积分30 【正确答案】 补充线段 L1 为，L 1：x=0 ，0y2，则由题意，L+L 1 所包围区域为平面上的有界闭

26、区域，记为 D。则可利用格林公式计算【知识模块】 曲线、曲面积分31 【正确答案】 L 是曲线 Y=sinx 上从点(0，0) 到点(，0)的一段，则 dy=cosdx。因此， 解析二采用格林公式添加 x 轴上从点(，0)到点(0，0)的直线段 L1，设 D 为 L 与 L1 围成的封闭曲域，则解析三将原积分拆成两部分分别积分：因，故 I1 与积分路径无关，I 1= ，又 I2，故 I=I1+I2=【知识模块】 曲线、曲面积分32 【正确答案】 由题设，积分曲线如图 172 所示(1)原式左边原式右边 因此左边=右边，原式成立(2) 由 e-sinx+esinx2，由(1) 已知得解析二(1)

27、由格林公式得， 因区域 D 具有转换对称性，即关于直线 y=x 具有对称性，则(2)由(1)知(其中 esiny+e-siny2，e sinx+e-sinx2)【知识模块】 曲线、曲面积分33 【正确答案】 由题设，积分曲线是圆，原点(0，0)包含于内，因此不满足直接应用格林公式的条件，作一足够小的椭圆 使椭圆 C 包含于L 内，记 不难验证 (x，y)(0，0)，取 C 为逆时针方向，由格林公式，有将参数方程代入上式化为对参数的定积分，有原积分【试题解析】 本题的关键是构造挖去奇点的闭曲线，若取其为圆，计算相当复杂，本题是选用的是椭圆此外，若 R【知识模块】 曲线、曲面积分34 【正确答案】

28、 由题设，积分曲线不封闭，为应用格林公式，添加从原点O(0，0)沿 x 轴(即 y=0)到点 A(2a，0) 的有向直线段 L1，则原积分由格林公式，第一部分其中 D 为 L1 与 L 围成的半圆；第二部分于是 此外还可将原积分中与路径无关的部分 与其余部分分开计算，对于前者可寻找简单路径(如直线段 AO)加以计算，对剩余部分可以利用曲线的参数方程化为对其参数的定积分计算，同样可得结果【试题解析】 当积分曲线 L 不是封闭曲线，且用参数法计算比较复杂时，可考虑的方法有：(1)添加有向曲线段，利用格林公式化为重积分计算；(2)利用凑微分的方法求原函数如，中前一部分【知识模块】 曲线、曲面积分35

29、 【正确答案】 根据题意，不妨设 L 取正向，D 内任意分段光滑有向简单闭曲线L 所围区域记为 D0，D 0cD，由格林公式有将方程 f(tx，ty)=t 2一 f(x，y)两边对 t 求导，由复合函数求导法得 xf1(tx，ty)+yf 2(tx，ty)=一 2t-3f(x，y)xf x(x，y)+f y(x，y)+2 厂(x，y)=0(x，y) D)代入(1) 式即得由此得所要结论【试题解析】 本题的求证关键在于如何由已知条件 f(tx，ty)=t -2(x，y)，得到一f(x，y)一 xfx(x，y)=f(x ， y)+yfy(z，y) 不难看出，等式中不包含 t，故而知对 t 求导且令

30、 t=1【知识模块】 曲线、曲面积分【知识模块】 曲线、曲面积分36 【正确答案】 根据题意，在右半平面 x0 内任取两点 A，B，以 A 为起点，B为终点任作两条分段光滑曲线 L1 与 L2，记 ，要证783 不妨以 B 为起点作另一曲线 L 绕过原点 A 连接，如图 173 所示，则有【知识模块】 曲线、曲面积分37 【正确答案】 记 785 由(I)的结论知：对右半平面 x0 内的任意分段光滑简单闭曲线 c 上有 说明 Pdx+Qdy 为某一全微分( 右半平面上)，从而 (1)而 代入(1)式得 2y5+4y3(y)一 y4(y)=2x2(y)+2y)(2)令 F(y)=2y5+4y3(

31、y)一 y4(y)，A(y)=(y)+2y，则(2) 式成立的 F(y)=2A(y)x2 如果 A(y)0，则 因为 x，y 是独立自变量，所以左式不可能成立，因此 A(y)0，从而 F(y)=0，且 A(y)=0由此得如下两个方程：2y 5+4y3(y)一 y4(y)=0(3)(y)+2y=0(4)由(4)式得 (y)=一 y2+C，代入(3)式定积分常数 C：2y 5+4y3(一 y2+C)一 y4(一 2y)=0 化简得 4y3C=0，推出C=0所以 (y)=一 y2【知识模块】 曲线、曲面积分【知识模块】 曲线、曲面积分38 【正确答案】 由题设，根据平面曲线积分与路径无关的充要条件，

32、记则要验证满足 其中显然有 成立，所以曲线积分，与路径无关(2)关于求积分值，由于已知积分与路径无关，所以可选取简单折线路径来计算，即 解析二(1)同分析一；【知识模块】 曲线、曲面积分39 【正确答案】 求曲线积分值这一步，还可利用求原函数及其改变量的方法，因为第一问中已证得曲线积分与路径无关，因此必存在原函数 u(x，y)，使得du(x， y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy 且有由于 f(x)连续，所以令 F(x)=f(x)，则 从而因此【知识模块】 曲线、曲面积分40 【正确答案】 根据题意，设 P(x，y)=2xy(x 4+y2)，Q(x,y)=-x 2(x4+y2)已知向量是

33、u(x，y)的梯度，则由梯度的定义知，其中 Py=2x(x4+y2)+2xy.(x4+y2)1 .2y;Qx=一 2x(x4+y2)一 x2.(x4+y2)1 .4x3 于是 2x(x4+y2)+4xy2(x4+y2)1 =一2x(x4+y2)一 4x5(x4+y2)1 解得 =一 1，从而 在右半面平面取一点(1，0) 作为积分起点，根据曲线积分与路径无关，有806 解析二先求出 =一 1，则被积表达式故而得解析三先求出 =一 1由于 两边对变量 y 积分，得 由 ，故 C（x）=0 ，即 C（x）=C,所以，【试题解析】 如果通过下述凑微分，得到的结果只适用于y0 或 y0 的区域上含有 y=0，故而这种解法是不正确的【知识模块】 曲线、曲面积分【知识模块】 曲线、曲面积分41 【正确答案】 令 则该曲线绕 x 轴旋转所得曲面的方程为即 S1 的方程为 设过点(4，0) 与椭圆 相切的切线斜率为 k，则其方程为 y=k(x 一 4)，联立切线方程和椭圆方程并消去 y 可得，(4k 2+3)x2 一 32k2x+64k2 一 12=0，则有 =(32k2)2 一 4(4k2+3)(64k2 一 12)=一144(4k2 一 1)=0，得到 则切线方程为 从而 S2 的方程为，即为 y2+z2=【知识模块】 曲线、曲面积分