[考研类试卷]考研数学（数学三）模拟试卷416及答案与解析.doc

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1、考研数学（数学三）模拟试卷 416 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 f(x)在(a，b)内可微，且 f(a)=f(b)=0，f(a)0，f(b)0，则方程 f(x)=0(a，b)内( )（A）没有实根（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个不等实根（D）至少有两个不等实根3 设 f(x)有二阶连续导数，且(x 0 ，f(x 0)为曲线 y=f(x)的拐点，则（A）0（B） 1（C）一 1（D）不存在4 设 D=(x， y|x2+y2R2 ，R0，常数 0，则积分 02d0R(ercos一 ersin)rd

2、r 的值( )（A）为正（B）为负（C）为零（D）A0 时为正，A0 时为负5 设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若|A|=a，则行列式 等于( ) （A）一 an（B） an（C） 2an（D） 2nan6 设 A 是三阶矩阵，P 是三阶可逆矩阵，已知 P 一 1AP= 且 A1=1 ，A 2=2 ，A 3=0，则 P 是( )（A） 1 ， 2 ， 1+3（B） 2 ， 3 ， 1（C） 21+32 ，一 82 ，4 3（D） 1+2 ， 2+3 ， 3+17 设 A，B 为随机事件，P(A)=0 7，P(A 一 B)=03，则 =( )（A）04（B） 05（C） 06（

3、D）078 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)(2 已知)，X 1 ， X2 ，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，S 2 为样本方差，则 ( )二、填空题9 10 已知 f(x)是微分方程 xf(x)一 f(x)= 满足初始条件 f(1)=0 的特解，则01f(x)dx=_11 12 级数 的收敛域为_13 设 B 是三阶非零矩阵，且 BAT=0，则秩 r(B)=_14 设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为则随机变量 Z=minX，Y)的分布律为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 某三轮车厂每生产一付车架要搭配三付轮胎，设轮胎的

4、数量为 x，价格为 p1 ，车架的数量为 y，价格为 p2 ，又设需求函数 x=63 一 025p 1 与 y=60 一 p2 ，成本函数为 C(x，y)=x 2+xy+y2+90求该厂获最大利润时的产量与价格16 计算积分17 18 求积分 D：|x|1，0y219 已知某种商品的需求价格弹性为 = ep 一 1，其中 p 为价格，Q 为需求量，且当 p=1 时需求量 Q=1试求需求函数20 已知二维非零向量 X 不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明 X，AX 线性无关； (2)若 A2X+AX 一 6X=0，求 A 的特征值，并讨论 A 可否对角化21 设 1 ， 2 ， 3 ， 4

5、为四维列向量组，且 1 ， 2 ， 3 线性无关，4=1+2+23已知方程组 1 一 2 ， 2+3 ，一 1+2+3X=4 有无穷多解 (1)求 a 的值； (2)用基础解系表示该方程组的通解22 设试验成功的概率为 ，失败的概率为 ，独立重复试验直到成功为止，试求试验次数的数学期望23 已知产品某项指标 X 的概率密度为 f(x)= e 一|x 一 | ，一x+ ，其中 为未知参数现从该产品中随机抽取 3 个，测得其该项指标值为 1028，968，1007(1)试用矩估计法求 的估计； (2)试用最大似然估计法求 的估计考研数学（数学三）模拟试卷 416 答案与解析一、选择题下列每题给出的

6、四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 极限函数为幂指函数，可用换底法求其极限2 【正确答案】 D【试题解析】 利用极限的保号性及 f(a)0，f(b)0先证明存在一点 c(a，b) ，使 f(c)=0于是 f(x)有三个零点，两次使用罗尔定理便得到结论(D)成立因利用极限的保号性，在 a 的右邻域内必存在点 x1 ，使 f(x1)0，其中 ax 1 同理由 f(b)0 知，必存在一点 x2 ，使 f(x2)0，其中 x 2b由连续函数的零点定理知，必存在 c(x1 ，x 2) (a，b)，使 f(c)=0在闭区间a，c，c ，b上对 f(x)分别使用罗尔定理可

7、知，至少存在一点 1(a，c)使得 f(1)=0，至少存在一点 2(c，b)使 f(2)=0故方程f(x)=0 在(a，b)内至少有两个不等实根，仅 (D)入选3 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(x)有二阶连续导数，故可对左边的极限式两次使用洛必达法则，利用题设有 f“(x0)=0，从而所求极限的值即可得到而点(x 0 ，f(x 0)为曲线的拐点，故 f“(x0)=0仅(A)入选4 【正确答案】 C【试题解析】 化为直角坐标系下的二重积分，便于利用积分的对称性及被积函数的奇偶性求解 因 D 关于 y=x 对称，故又 D 关于 y 轴对称，而 ex一 e 一 x为奇函数(自变量带相反符号的

8、两同名函数之差为奇函数)，故仅(C)入选。5 【正确答案】 D【试题解析】 利用行列式性质及|A *|=|A|n 一 1 求之仅(D)入选6 【正确答案】 C【试题解析】 P 的三个列向量是 A 的对应于特征值的特征向量，判别时要利用下述三条原则： (1)A 的对于同一特征值的特征向量 1 ， 2 的线性组合如 k1 ，k 1+k22 仍是 A 的属于同一特征值的特征向量； (2)对于不同特征值的特征向量的线性组合(例如其和或其差)不再是 A 的特征向量； (3)P 中特征向量的排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致 利用上述原则即可判定正确的选项 (A)中1+3 不是 A 的特征向量， (D

9、)中 2+3 ， 3+1 也不再是 A 的特征向量，(B)中特征向量与对角阵中特征值的排列不一致，故均不能充当 P仅(C) 入选 因为1、 2 是 =1 的特征向量， 3 是 =0 的特征向量，2 1+32 ，一 82 仍是 =1 的特征向量，4 3 仍是 =0 的特征向量，且其排列次序与对角阵中特征值的排列次序一致 仅(C)入选7 【正确答案】 C【试题解析】 先用事件的运算将 ，则所求概率归结为求利用全集分解有=1 一(07 一 03)=1 一 04=068 【正确答案】 C【试题解析】 利用 2 分布的下述可加性求之设 Xi 2(mi)(i=1，2，k) ，X 1 ，X 2 ，X k 相

10、互独立，则 X1+X2+Xk 2 (m1+m2+mk)因 XiN(0， 2)，则且与 S2 相互独立，由 2 分布的可加性得到 2(n)仅(C)入选二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 极限式中含幂指函数(l+xlnx) ，首先用换底法将其化为以 e 为底的指数函数10 【正确答案】 【试题解析】 按一般的思路先求出 f(x)后再积分，但由于求 f(x)计算量较大，可充分利用所给的有关信息，不用求 f(x)而直接求出 01 f(x) dx先用分部积分法得到01f (x) dx=xf (x)|01 一 01xf (x) dx=一 01f (x)+ dx=一 01f (x) dx01故 01

11、f(x)dx=11 【正确答案】 【试题解析】 利用 +C 求之较简12 【正确答案】 一 2，2【试题解析】 所给级数为缺项幂级数，用比值判别法求其收敛半径，再讨论在其端点的敛散性。 由比值判别法知，当|x|2 时，所给级数收敛；当 x=2 或 x=一 2 时，原级数成为交错级数 由莱布尼茨判别法知，这两个级数收敛故原级数 在区间一 2，2上收敛，在(一，一 2)、(2，+)内发散13 【正确答案】 1【试题解析】 先确定 A 的秩，再求 B 的秩。 由 BAT=0，有 r(B)+r(A T)3，即 r(B)+r(A)3 又因 B0，有 r(B)1，因而 r(A)3 一 r(B)3 一 1=

12、2 显然，矩阵 A 中有二阶子式不为 0，有 r(A)2所以必然是 r(A)=2，从而 r(B)3 一 r(A)=3 一2=1，故 r(B)=114 【正确答案】 【试题解析】 先求出(X，Y)的联合分布律，再用同一表格法求出 Z=minX，Y) 的分布律。由题设易求得 P(X=0，Y=0)=p 11=P(X=0)P(Y=0)=(1/2)(1/2)=1/4，P(X=0，Y=1)=p 12=P(X=0)P(Y=1)=(1/2)(1/2)=1/4 ，P(X=1 ，Y=0)=p21=P(X=1) P(Y=0)=(1/2)(1/2)=1/4，P(X=1，Y=1)=p 22=P(X=1) P(Y=1)=

13、(1/2)(1/2)=1/4，故得到联合分布率为 将其改写为同一表格形式为 故得到 Z=minX，Y的分布律为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由需求函数，可得 p1=252 一 4x，p 2=180 一 3y则利润函数为=xp1+yp2 一 C(x，y)=x(252 一 4x)+y(180 一 3 y)一 x2 一 xy 一 y290=252x 一5x2+180y 一 4y2 一 xy 一 90约束条件是 x=3y，所以拉格朗日函数是 1=252x 一5x2+180y 一 4y2 一 xy 一 90+(x 一 3 y)为求极大值，先求偏导数：消去 ，则有

14、936 一 31x 一 11y=0，再代入 x=3y，消去 x，得 936 一 104y=0从而 y=9，x=3y=27，这就是获最大利润时的产量其相应价格为 p1=252 一 427=144，p 2=180 一 39=153【试题解析】 使用拉格朗日乘数法求之。16 【正确答案】 先作倒代换 x=1/t利用此法可降低被积函数分母的变量因子 xn的次数，甚至可消去这个变量因子，当被积函数为分式，其分母关于 x 的最高次数比分子的最高次数至少高一次时，就可试用倒代换求其积分17 【正确答案】 题设中有隐函数的等式，应设出等于 0 的确定隐函数的方程再应用公式 求偏导18 【正确答案】 因|y 一

15、 x2|= D1：一1x1，0 yx 2 ，D 2：一 1x1，x 2y2，【试题解析】 被积函数含绝对值为去掉绝对值符号用|y 一 x2|=0，即用曲线 y=x2将 D 分为上、下两部分，分别记为 D1 与 D2这时所求积分也分区域计算19 【正确答案】 设需求函数关系式为 Q=Q(p)，则由题设和 的表示式有则此微分方程的通解为将 Q(1)=1 代入，得C=1故所求需求函数为【试题解析】 利用需求价格弹性公式 可得一微分方程，解此微分方程，利用初始条件即可求得此需求函数 Q=Q(p)20 【正确答案】 (1)用反证法证之若 X 与 AX 线性相关，则存在不全为零的常数k1 ，k 2 使 k

16、1X+k2AX=0为方便计，设 k20，则 AX= 于是 X 为 A 的特征向量，与题设矛盾(2)由题设有 A2X+AX_6X=(A+3E)(A 一 2E)X=0下证 A2E，A+3E 必不可逆，即|A 一 2E|=|A+3E|=0事实上，如 A+3E 可逆，则由方程得到(A 一 2E)X=AX 一 2X=0，即 AX=2X这说明 X 为 A 的特征向量与题设矛盾，故|A+3E|=0 同法可证 A 一 2E 也不可逆，即|A 一 2E|=0由式、式即知，一 3 与 2 为 A 的特征值，所以 A 能与对角阵相似【试题解析】 A 为抽象矩阵，则 AX，X 均为抽象的向量组讨论其特征值、特征向量的

17、有关问题常用有关定义及其性质证明，也常用反证法证之21 【正确答案】 为求参数 a 的值，在线性代数中常先找出含此参数的等于 0 的行列式，然后解之。所给方程组由于有无穷多解，则 r(A)=r(1 一 2 ， 2+3 ，一1+a2+3)3由 1 一 2 ， 2+3 ，一 1+a2+3=1 ， 2 ， 3知，必有 从而可求出 a，为求其基础解系，需将原方程组恒等变形去掉满秩矩阵，得其同解方程组而求之由题设，得矩阵1 一 2 ， 2+3 ，一 1+a2+3=1 ， 2 ， 3 的秩小于 3，又 1 ， 2 ， 3 线性无关，故矩阵 不可逆，由 =2 一a=0，得 a=2方程组 1 一 2 ， 2+

18、3 ，一 1 一 22+3X=4 化为 1 ， 2 ， 3X=1 ， 2 ， 3 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以原方程组与方程组 同解下面求方程组 的通解，为此先求出其导出组的基础解系及原方程组的二特解将增广矩阵 用初等行变换化为系数矩阵含最高阶单位矩阵的矩阵：用基础解系、特解的简便求法得到其基础解系只含一个解向量 =1，一 1，1 T ，特解为 =1，2，0 T ，故所求的通解为 k+=k1，一 1，1 T+1，2，0 T ，k 为任意常数22 【正确答案】 设随机重复 X 表示试验次数 k，其中 k=2，3，又设事件A=k 次试验中成功两次，A 1=k 次试验中第 k 次试验成功

19、，A 2=前 k 一 1 次试验中有一次成功则事件 A 发生等价于 A1 ，A 2 同时发生，故 A=A1 A2 ，又 A1和 A2 相互独立，所以 P(A)=P(A1)P(A2)设 X 为所需试验次数忌，则 X 的可能取值为 2，3，而 P(X=k)=P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)。23 【正确答案】 待估参数只有一个，可用一阶矩进行估计|x1 一 |=|1028 一 |+| 968 一 |+|1007 一 |当 968 时，l=(1028 一 )+(968 一 )+(1007 一 )=3(1001 一 )3(1001 一 968)=99；当 1028 时，l=( 一1028)+( 一 968)+( 一 1007)=3( 一 1001) 3 (1028 一 1001)=81；当 968 1028时，1=(1028 一 )+( 一 968)+|1007 一 |=60+|1007 一 |故当 =1007 时，1 最小，取值 60最大似然估计值五 =1007